এস = ষষ্ঠ * / 2 ডেরাইভেশন

Question

আমি ভাবছিলাম যে জটিল শক্তির সূত্র, S = VI * / 2, যেখানে এস, ভি এবং আমি জটিল পদক্ষেপগুলি পেয়েছি যেখানে আমি অনুভূতি পেতে পারি।

আমি যাচাইয়ের পুরো গোছাটি দেখেছি যেখানে লোকেরা সমীকরণে কাজ করে তা দেখায় যে এটি কাজ করে।

আমি এখনও অবধি যা জানি তা এখানে, যদি $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ এবং $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ এবং $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$ ,
তবে $V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ এবং$I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ এবং এস = ভিএম_ভি * ইম∠ø_আই / 2$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

Comments

আপনাকে এস, ভি, আই, এবং "* /" এর অর্থ বোঝাতে হবে।

— অলিন ল্যাথ্রপ

@ অলিনল্যাথ্রপ, আমি (কন্ট্রোল) -এর জটিল সংমিশ্রনের জন্য আমি * এবং দুটি দ্বারা বিভক্ত, যেহেতু তারা উভয় পাপ তরঙ্গ (ভি এবং আমি *) তাই উভয়েরই তাদের আরএমএস রূপান্তর রয়েছে।

— কর্টুক

Answer 1

ভি এবং আমি একটি লোডের তাত্ক্ষণিক ভোল্টেজ এবং স্রোত যাক । শক্তি, ভোল্টেজ এবং বর্তমানের সংজ্ঞা থেকে , আমাদের তাত্ক্ষণিক শক্তির জন্য সম্পর্ক রয়েছে:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

যার অর্থ একটি প্রদত্ত তাত্ক্ষণিক শক্তি ভোল্টেজের উত্পাদনের সমান এবং তাত্ক্ষণিকভাবে ঠিক বর্তমানের।$t$

আমি ধরে নেব যে আপনি ফাসর উপস্থাপনের আসলে কী বোঝেন তার সাথে আপনি পরিচিত। কেবল তাড়াতাড়ি উল্লেখ করতে: একটি ফাসর একটি নির্দিষ্ট অজানা ফ্রিকোয়েন্সিতে সাইনোসয়েডের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য একটি গাণিতিক শর্টহ্যান্ড।

সুতরাং, জন্য একটি সাঁটে লেখার হয় বনাম ( T ) = ভী এম ⋅ গ ণ গুলি ( ω টি + + φ ভী ) । একইভাবে: আমি = আমি এম ∠ φ আমি মানে আমি ( T ) = আমি এম ⋅ গ ণ গুলি ( ω টি + + φ আমি ) ।$V=V_{M} ∠ \phi _{V}$$v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$$I=I_{M} ∠ \phi _{I}$$i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

গুন সবার জন্য টি , আমাদের তরঙ্গাকৃতি দেয় ক্ষণিক শক্তি যে জন্য টি । সেই গুণটির উপরে কাজ করা:$v(t) \cdot i(t)$$t$$t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

যেমন ,u=ωt+ϕVএবংv=ωt+ϕI সহ, আমরা উপরের সমীকরণটি আরও সহজ করতে পারি:$cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$$u = \omega t+ \phi _{V}$$v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

এই তরঙ্গরূপটি নিজের জন্য বেশ আকর্ষণীয়: এটি একটি ধ্রুবক মান একটি সাইনোসয়েড দ্বারা সংক্ষেপিত$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$।$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

এটি পরিষ্কারভাবে দেখায় যে তাত্ক্ষণিক শক্তি সময়ের সাথে ধ্রুবক নয় ।

ফলাফলের ভিত্তিতে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে গড় শক্তিটি ( টি ) বিবিধ উপাদানগুলির সমান (এটি গাণিতিকভাবে প্রমাণ করা বেশ সোজা, একটিকে কেবল অবিচ্ছেদ্য সমাধান করতে হবে$s(t)$)$\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

এই ফলাফলের দ্বারা পরিচালিত হয়ে, এবং বেশ মিষ্টি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দ্বারা , যে মান হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে প্রকৃত শক্তি , যে শক্তি যে আসলে লোড বিতরণ করা হয়। এখন আপনি জানেন যে এই তথাকথিত আসল শক্তি লোডের গড় শক্তি ছাড়া আর কিছুই নয়।$VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

এই ধারণায় ডুব দিয়ে কিছুটা (এটি আমি খুব সহজেই আঁকতে পারি না, তবে আমি চেষ্টা করব):

ভ এর দৈর্ঘ্যের সাথে ভেক্টর হতে দিন || ভি || এবং পর্যায় , এবং আমি প্রস্থের সাথে ভেক্টর হব || i || এবং পর্ব ϕ i আপনি গুণ করলে || i || দ্বারা গ ণ গুলি ( φ বনাম - φ আমি ) আপনার আছে বনাম ধরে আমি প্রজেকশন । অন্যদিকে, | | i | | র আমি এন ( φ বনাম - φ আমি ) বলা হয় এর উপাদান বলে আমি এ পাদসংস্থান সঙ্গে বনাম$\phi_v$$\phi_i$$cos(\phi_v-\phi_i)$$||i||sin(\phi_v-\phi_i)$।

এখন আপনি বুঝতে পারবেন কেন মধ্যবর্তী শক্তিটির একটি দুর্দান্ত জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে: গড় শক্তি হ'ল ভোল্টেজটি ভাসোলের ওপরে ভোল্টেজের উপর দিয়ে বর্তমানের প্রজেকশন দ্বারা গুণিত হয়।

এটি জটিল শক্তি এস তৈরি করতে অনুপ্রাণিত করেছিল :

S = P + jQ

এই সংজ্ঞা দিয়ে, ভেক্টরের আসল অংশটি হ'ল লোডকে অর্পিত গড় শক্তি, এবং জটিল অংশটি হল শক্তিটিকে বলা হয় কোয়াড্রেচারে , প্রতিক্রিয়াশীল শক্তি বলে (এই ফলাফলের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেখতে পাওয়ার ত্রিভুজের জন্য গুগল) ।

ঠিক আছে, এখন সংজ্ঞায় ফিরে যাচ্ছি , আমরা দেখি যে পি $s(t)$এবংQ, সংজ্ঞা অনুসারে এবং এস এর সংজ্ঞা মেনে চলার সমান$P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$$Q$$\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

সুতরাং, আমরা যেমন শুরুতে প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

সুতরাং, আপনি সেখানে যান, যা আপনি দেখতে চেয়েছিলেন;)

সম্পাদনা : কিউ এর শারীরিক ব্যাখ্যা কি?

জটিল বিদ্যুতের আসল অংশের দৈহিক ব্যাখ্যা কী, আমি উপরে দেখিয়েছি, পি, অর্থাৎ লোডে অর্পিত গড় শক্তি। তবে কিউ ঠিক কী, কেউ কীভাবে এটি কল্পনা করতে পারে? এটা সত্য যে কোসাইন্ ও পাপের উপর ভিত্তি করে এর লম্ব এবং উপরিপাত নীতিকে ক্ষমতা প্রয়োগ করা যেতে পারে যদি হিসাব জড়িত দুই waveforms লম্ব হয়। আসুন গণিতে ,ুকি, কারণ এটাই আসলে গুরুত্বপূর্ণ।

উপরে প্রাপ্ত ফলাফলটি ব্যবহার করে: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

প্রথম কেস: খাঁটি প্রতিরোধী লোড, যাতে $\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

এটি কেন্দ্রিক একটি সাইনোসয়েড $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ একই প্রশস্ততা সহ (এর সর্বনিম্ন মান 0 এবং এর সর্বাধিক মান )। যাক এটি পি$V_{M}I_{M}$

দ্বিতীয় কেস: খাঁটি অন্তর্নিহিত বোঝা, যাতে $\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

মানে মান একটি বিশুদ্ধরূপে দোদুল্যমান তরঙ্গাকৃতি 0. আসুন কল এই ফলাফল সমান প্রশ্ন ।

তৃতীয় কেস: জেনেরিক কেস $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

এই ক্ষেত্রে, s (টি) হ'ল সাধারণ সমীকরণ যা আমরা উপরের আলোচনায় পেয়েছি। তবে আমরা পূর্বের দুটি মামলার ফলাফলটি ব্যবহার করতে এটি আবার লিখতে পারি:

$\theta$$\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$$cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$, letting $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ and $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Rearranging the terms:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Using the result of the two first cases above:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

An amazing result, right? What does that mean?

Let's go back to what we are doing: calculating the power for the generic case where $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$, that is, solvig the equation:

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Can we rewrite $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ in the form of $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$?

Let's try:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$) \$

Letting $\omega t + \phi_V = u$ and $\theta = v$

With the relation:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

We have:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Just what we wanted, to rewrite i(t) as a sum of two components: one in phase with v(t), and one in quadrature with v(t)!

Now the result of the case 3 can be explained: i(t) can be decomposed in two components, as shown above, and the power generated by i(t) is equal to the power generated by each one of these components individually. Whoa, just like superposition but for power! (Remember that this is only true, and it was proven above, because cos and sin are orthogonal)

So Q is the amount of power generated by the component of i(t) that's in quadrature with v(t). It is purely oscillatory and has no mean value.

P is the amount of power generated by the component of i(t) that's in phase with v(t). It is oscillatory but has a mean value that's equal the mean power delivered to the load.

And the complex power S, the total power, is exactly the sum of these two components

Comments

Thank you for your good explantation! I have a few questions though: 1. I don't follow what happened to $-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$. I thought this term would be the reactive power, Q; however, $Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$. 2. I don't understand how you went from $S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$ tp $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$. It's as though $\cos(\phi_v - \phi_i)$ is a phasor, but it's just a constant. Thanks again for your answer!

— user968243

Yep. you're right, that's NOT Q. The reactive power is defined only in terms of the phase difference between voltage and tension, and it's a value that's directly related to the definition of S as a phasor. It's the power that would be delivered by the current in quadrature with the voltage. The time varying component is not taken into account, because in this sense what really matters is the mean power at the load. The varying part EXISTS, is really there (watch a incandescent light bulb, for example), but, over time, the power is related only to the static part of s(t). ;)

— Castilho

Okay, so does this varying part have a special name? Anyway, so if I understand it correctly, the amount of I in the direction of V is the real power, and the amount of I, perpendicular to V is the complex power.

— user968243

almost that, the amount of I in the direction of V multiplied by V is the real power P, the amount of I perpendicular to V multiplied by V is the REACTIVE power Q, P+jQ is the complex power, or apparent power ;)

— Castilho

Okay, that makes sense! Actually in my previous comment, I was asking what the name for this is: −VMIM2cos(2ωt+ϕV+ϕI) I really thought that it was the reactive power... Thanks for your reples by the way, I'm grateful!

— user968243