একটি ত্রিভুজ তরঙ্গ সীমাবদ্ধ বা অসীম সাইনোসয়েডাল উপাদান আছে?

Question

একটি বিচ্ছিন্নতা সিগন্যাসিডাল উপাদানগুলির সিগন্যাল সৃষ্টি করে, তবে একটি ত্রিভুজ তরঙ্গ অবিচ্ছিন্ন থাকে, আমি একটি ক্লাস নিচ্ছিলাম যেখানে একজন প্রশিক্ষক বলেছিলেন যেহেতু ত্রিভুজ তরঙ্গ অবিচ্ছিন্ন তাই এটি একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যার সাইন উপাদান দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে এবং এটিও দেখিয়েছিল সাইনোসয়েডগুলির একাধিক ফ্রিকোয়েন্সি সীমাবদ্ধ সংযোজন যা খাঁটি ত্রিভুজ তরঙ্গকে আকৃতি দেয়।

আমার মনে একমাত্র সমস্যাটি হ'ল ত্রিভুজ তরঙ্গটির ব্যুৎপাত ক্রমাগত নয় কারণ এটি একটি বর্গাকার তরঙ্গ এবং তাই সাইনোসয়েডগুলির অসীম যোগফলের প্রয়োজন হবে তাই যদি কেউ একটি ত্রিভুজ তরঙ্গের ফুরিয়ার সিরিজের সূত্রের উভয় দিককে সঞ্চার করে তবে , আমরা সীমাবদ্ধ সংখ্যার সাইনোসয়েডের যোগফল হিসাবে দেখানো হচ্ছে এমন একটি বর্গাকার তরঙ্গ পাব। এটা কি ভুল হবে না?

Comments

ত্রিভুজ তরঙ্গে একটি সঞ্চারিত ফুরিয়ার সিরিজ রয়েছে। মনে রাখবেন যে টিউটররা ফলসই হয়।

— অটিস্টিক

আপনি যখন জিজ্ঞাসা করলেন তখন আপনার শিক্ষক কী বললেন?

— সৌর মাইক

@ সাইয়েদ মোহাম্মদ আসজাদ: ডেরাইভেটিভ নিয়ে আপনার যুক্তি সঠিক is আপনার ইন্সট্রাক্টরের চেয়ে আপনার কাছে বিষয়টি সম্পর্কে আরও ভাল ধারণা থাকতে পারে।

— দই

আসলে, একটি সসীম ফুরিয়ার সিরিজ পেতে, এর ডেরাইভেটিভগুলির সমস্ত ক্রিয়াকলাপ এবং ক্রমাগত হতে হবে। সাইনোসয়েডের সমস্ত ডেরাইভেটিভস অবিচ্ছিন্ন এবং সাইনোসয়েডের কোনও সীমাবদ্ধ পরিমাণের ক্ষেত্রেও এটি সত্য।

— ডেভ টুইট করেছেন

কোনও উত্তর নয়, তবে: সসীম সহগ সহ ফুরিয়ার সিরিজটি অত্যন্ত সীমাবদ্ধ। বেশিরভাগ পর্যায়ক্রমিক ক্রিয়ায় অসীম ফুরিয়ার সিরিজ থাকে have যাইহোক, কাজটি মসৃণ, অনন্তের সহগের ক্ষয় তত দ্রুত। যদি কোনও ফাংশন সীমাবদ্ধ ডেরাইভেটিভের সাথে কে সময়ের পার্থক্যযুক্ত হয় তবে তার ফুরিয়ার সহগ (সি_এন) ক্ষয় তত দ্রুত 1 / n ^ (কে + 1) হিসাবে ক্ষয় হয়, যেমন আবেশন দ্বারা দেখা যায়। বিশ্লেষণমূলক ফাংশনগুলির জন্য (কনভারজেন্ট টেলর সিরিজের সাথে ফাংশনগুলি, অর্থাত্ স্বতন্ত্র পার্থক্যের চেয়েও মসৃণ), ক্ষয়টি ক্ষয়ীয়। ত্রিভুজটির ফুরিয়ার সিরিজ রয়েছে যা হুবহু 1 / n ^ 2।

— আলেকজান্দ্রি সি

Answer 1

একটি ত্রিভুজ তরঙ্গ অবিচ্ছিন্ন হয়

এখান থেকে উদ্ধৃতি : -

ত্রিভুজ তরঙ্গের কোনও বিচ্ছিন্ন জাম্প নেই, তবে opeাল বিচলিতভাবে প্রতিটি চক্রের জন্য দুবার পরিবর্তিত হয়

অনিয়মিতভাবে discালের পরিবর্তন হওয়া মানে সাইনোসাইডাল উপাদানগুলির সীমাহীন পরিসীমা।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি সময় বর্গাকার তরঙ্গকে সংহত করেন তবে আপনি একটি ত্রিভুজ তরঙ্গ উত্পাদন করেন তবে, মূল বর্গাকার তরঙ্গের সমস্ত হ্যামোনিকস সময় সংহত হওয়ার পরেও উপস্থিত থাকে: -

Comments

একই চিন্তাভাবনা করছিলেন, গ্রামীণিক উপস্থাপনা অনেকটাই সাহায্য করেছিল, থ্যাঙ্কি :)

— সৈয়দ মোহাম্মদ আসজাদ

Answer 2

প্রশিক্ষক বলেছিলেন যেহেতু ত্রিভুজ তরঙ্গ অবিচ্ছিন্ন তাই এটি একটি সীমাবদ্ধ সাইন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে

আপনি হয় এই অধিকার পায় না বা প্রশিক্ষকের ভুল বানান। সিগন্যাল নিজেই অবিচ্ছিন্ন থাকার পক্ষে এটি পর্যাপ্ত নয়, তবে সমস্ত ডেরাইভেটিভগুলি অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন হতে হবে। যদি কোনও ডেরাইভেটিভের মধ্যে যদি কোনও বিরতি থাকে, তবে পুনরাবৃত্তি সংকেতটিতে অসীম ধারাবাহিক সুরেলা থাকবে।

একটি ত্রিভুজ অবিচ্ছিন্ন, তবে এর প্রথম ডেরাইভেটিভ একটি বর্গাকার তরঙ্গ, যা অবিচ্ছিন্ন নয়। একটি ত্রিভুজ তরঙ্গ সুতরাং সুরেলা এক অসীম সিরিজ আছে।

Comments

কোনও কথা ভুল শুনেনি, ভুলও শুনেনি, কারণ সে দু'বার বলেছিল এবং ক্লাসকে পরে জিজ্ঞাসা করেছিল সে কী বলেছিল, এবং আমি কী ভেবেছিলাম :)

— সৈয়দ মোহাম্মদ আসজাদ

@ সাইয়েদমোহাম্মদআজাদাদ আপনি দুজনেই ঠিক আছেন। গুগল থেকে; ভুল বানান: "নিজেকে অপর্যাপ্তভাবে পরিষ্কার বা নির্ভুল উপায়ে প্রকাশ করুন।" আমি মনে করি যে আপনার একজন "অপর্যাপ্তভাবে পরিষ্কার" ব্যবহার করছেন এবং অন্যটি "অপর্যাপ্ত নির্ভুলতা" ব্যবহার করছেন।

— আহো

যদিও এই উত্তরগুলির শব্দটি কিছুটা এটিকে বোঝায়, সমস্ত ডেরাইভেটিভ উপস্থিত রয়েছে (এবং এর ফলে পরবর্তী ডেরিভেটিভের অস্তিত্বের দ্বারা এটি অবিরত), এখনও সসীম ফুরিয়ার সিরিজ থাকার পক্ষে যথেষ্টই দূরে is পর্যায়ক্রমিক সংকেতের জন্য সর্বাধিক ফুরিয়ার সিরিজ, তবে মসৃণ (শ্রেণি \ th ম্যাথকল সি \ \ ইনফটি $, বা এমনকি বিশ্লেষক) অসীম অনেকগুলি নঞ্জেরো উপাদান রয়েছে; "সাইনস এবং কোসাইনগুলির সীমাবদ্ধ পরিমাণ" ব্যতীত অন্যদের বর্ণনার একটি বিবরণ নিয়ে আসা কঠিন। যে সমস্ত স্নিগ্ধতা বোঝা একটি যা দিয়ে কোফিসিয়েন্টস হয় ঝোঁক 0

— মার্ক ভ্যান Leeuwen

একটি ইটের ফিল্টারটি সুরেলা সংখ্যার সংখ্যা সীমাবদ্ধ করতে পারে এবং এটি এখনও অন্তত 20 এর সাথে / \ / \ / \ / \ / \ / ag / ত্রিভুজাকার দেখায়, ইনফিন্ট থেকে অনেক দূরে

— টনি স্টিয়ার্ট সানিসস্কিগুয়ে EE75

Answer 3

গণিতের প্রমাণ:

সাইন / কোসাইন উপাদানগুলির একটি সীমাবদ্ধ সিরিজের ওজনযুক্ত যোগ করে তৈরি একটি ফাংশন নিন।

এর ডেরাইভেটিভ হ'ল সাইন / কোসাইন উপাদানগুলির একটি সীমাবদ্ধ সিরিজের একটি ওজনযুক্ত যোগফল। আপনি যদি কোনও সংখ্যা বের করেন তবে একই।

যেহেতু সাইন এবং কোসাইন অবিচ্ছিন্ন, ফাংশন এবং এর সমস্ত ডেরাইভেটিভ অবিচ্ছিন্ন।

সুতরাং, এর ডেরাইভেটিভগুলির কোনওর মধ্যেই একটি ক্রিয়াকলাপ বন্ধ রেখে একটি ফাংশন সাইন / কোসাইন উপাদানগুলির একটি সীমাবদ্ধ সিরিজ দিয়ে তৈরি করা যায় না।

Comments

ঠিক কি আমি চিন্তা ছিল, আপনাকে ধন্যবাদ :)

— সৈয়দ মোহাম্মদ Asjad

"সাইন এবং কোসাইনটি মসৃণ হওয়া উচিত" কেবল অবিচ্ছিন্ন নয় - তবে গিস্টটি সঠিক, সাইনস এবং কোসাইনগুলির একটি সীমাবদ্ধ সমান মসৃণ তাই এর ডেরাইভেটিভগুলির

— কোনওটিতেই

@ নিমিশ তিনি প্রমাণ করেছেন যে সমস্ত ডেরাইভেটিভস (কো) সাইনের সীমাবদ্ধ পরিমাণ, তাই কেবল তার (কো) সাইনের ধারাবাহিকতা দরকার, মসৃণতা নয় :-)

— 'ই

হ্যাঁ, মিস করেছি। যদিও \ mathbb {C $ \ $ z $ এর জন্য $ \ Exp (z) $ এর বিশ্লেষণ থেকে, এটি যাইহোক তুচ্ছভাবে অনুসরণ করা হয়।

— নিমিশ

গণিতের উত্তরের জন্য কুডোস যা কেবলমাত্র পেস্ট করার পরিবর্তে গণিতকে ব্যাখ্যা করে!

— আহো

Answer 4

ভাল উত্তর এখানে প্রচুর, কিন্তু এটি আপনার দ্বারা "দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে" এর ব্যাখ্যা উপর নির্ভর করে ।

একটি বুঝতে হবে যে একটি ত্রিভুজ তরঙ্গ একটি তাত্ত্বিক গাণিতিক গঠন যা বাস্তবে বাস্তবে থাকতে পারে না।

গাণিতিকভাবে বলতে গেলে, একটি খাঁটি ত্রিভুজ তরঙ্গ পেতে আপনার একাধিক হারমোনিক সাইন-তরঙ্গের প্রয়োজন হবে, তবে ত্রিভুজ তরঙ্গের একটি প্রতিনিধিত্ব পেতে সেগুলির বেশিরভাগ উপাদানগুলির পক্ষে খুব ছোট, পটভূমির শব্দে হারিয়ে যেতে পারেন সিস্টেম, বা এ জাতীয় উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি থেকে আর সংক্রমণযোগ্য হতে পারে না।

যেমন, বাস্তবে, ব্যবহারের উপস্থাপনের জন্য আপনার কেবল সীমাবদ্ধ নম্বর প্রয়োজন। আপনি কতটা ভাল চান যে উপস্থাপনা আপনাকে কতটা সুরেলা ব্যবহার করতে হবে তা নির্দেশ করে।

Comments

এটি অবশ্যই দেখার বিষয়গুলির মধ্যে একটি, আমি অবশ্যই অবশ্যই আমার শিক্ষককে জিজ্ঞাসা করব যদি তিনি বোঝাতে চেয়েছিলেন যে আপনি সঠিক, বাস্তবে আমরা অসীম ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে মোটেও যাই না, এমনকি বর্গাকার তরঙ্গেও নেই (যা এটি 'নয়') টি একটি খাঁটি স্কোয়ার) :)

— সৈয়দ মোহাম্মদ আসজাদ

আপনি যখন ঠিক বলেছেন যে ত্রিভুজাকার তরঙ্গটি একটি গণিতের গঠন, তবে আপনার যুক্তিটি ভুল। আপনি এটি চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি সুরেলা তৈরি করতে পারবেন না এমন প্রমাণ কোনও প্রমাণ দেয় না যে আপনি একে একে তৈরি করতে পারবেন না।

— yo

@yo 'সত্যই এটি আমার মনে হয় আমাদের অনেকের সাথে কঠিন সময় কাটাচ্ছে things যদি কোনও ত্রিভুজ তরঙ্গ = কোনও সময়ে সাইন ওয়েভগুলির সীমাহীন সংখ্যার সংখ্যা আপনি হারমোনিকস যুক্ত বা পাস করতে পারবেন না। যদি এটি কেবল একটি ত্রিভুজ তরঙ্গ .... অন্য কোনও উপায়ে উত্পন্ন হয় ... তবে কী ... আপনি কীভাবে এটি সংক্রমণ করবেন .. এবং যে জিনিসটি এটি সংক্রমণ করছে তা কীভাবে পার্থক্যটি জানতে পারে ... আমাকে মাথা ব্যথার চিন্তাভাবনা দেয় এটি সম্পর্কে .. মূলত, এমনকি এটি কেবল তারের একটি ছোট টুকরো বা পিসিবি ট্রেস হলেও ... এটি বিকৃত না করেই পারে না।

— ট্রেভর_জি

সংক্ষেপে গাণিতিক আদর্শ এবং বাস্তব বিশ্বের মধ্যে পার্থক্য।

— পিটারজি

Answer 5

অন্য পদ্ধতির।

এক্স (টি) কে ত্রিভুজ তরঙ্গ এবং y (টি) বলি এটি ডেরাইভেটিভ, যা বর্গাকার তরঙ্গ, অতএব বিচ্ছিন্ন।

যদি এক্স (টি) সাইনোসয়েডাল সংকেতগুলির একটি সীমাবদ্ধ পরিমাণ হত, তবে তার অপারেশনটি সেই অপারেশনের রৈখিকতার দ্বারা সাইনোসয়েডাল সিগন্যালের ডেরিভেটিভসের সীমাবদ্ধ সমষ্টি হত, আবার সাইনোসয়েডাল সংকেতের একটি সীমাবদ্ধ যোগফল হবে।

তবে এই পরবর্তী সংকেতটি বর্গাকার তরঙ্গ y (টি) হতে পারে না, কারণ সাইনোসয়েডাল সিগন্যালের একটি সীমাবদ্ধ পরিমাণ ক্রমাগত is সুতরাং আমাদের একটি দ্বন্দ্ব আছে।

সুতরাং এক্স (টি) এর অবশ্যই অসীম ফুরিয়ার উপাদান থাকতে হবে।

Answer 6

অনুশীলনে ব্যবহার করার জন্য আমি অনেক সহজ পরীক্ষার প্রস্তাব দিই। তরঙ্গটির যদি কোনও তীক্ষ্ণ কোণ থাকে তবে এটি নির্মাণের জন্য অসীম সাইনোসিয়োডাল উপাদানগুলির প্রয়োজন।

কেন? কারণ সাইনাসিওডের একটি সীমাবদ্ধ সিরিজ একটি তীক্ষ্ণ কোণ তৈরি করতে পারে না। এটি অঙ্কের ক্ষয় নিয়ম (যা, Σ (a + b) = Σ a + Σ b সকল সীমাবদ্ধতার জন্য এবং সমস্ত নিঃশর্ত অভিযোজিত অসীম সংখ্যার জন্য) থেকে প্রমাণিত হয়।

Answer 7

সীমাবদ্ধ ফুরিয়ার সিরিজের দ্বারা কার্যকরভাবে ফাংশনগুলির সেটগুলি হ'ল:

$$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$$

সূচকের সমস্ত সীমাবদ্ধ সেটগুলির জন্য এন । টার্ম-বাই টার্ম পার্থক্য দেখায় যে ডেরাইভেটিভ (1) অবিচ্ছিন্ন এবং (2) এফ এও রয়েছে । যেহেতু ত্রিভুজ তরঙ্গটির ডেরাইভেটিভ অবিচ্ছিন্ন নয়, ত্রিভুজ তরঙ্গের ক্রিয়াকলাপ এফ এ নয় ।

এই প্রমাণটি বিরতিহীন ভিত্তিতে তৈরি, তবে বেশিরভাগ ক্রমাগত ফাংশনগুলিও এফ এর সাথে সম্পর্কিত নয় । যেহেতু কোনও বহুপদী বা ঘৃণ্য ক্রিয়াকলাপ সাইন এবং কোসাইনগুলির সীমাবদ্ধ হিসাবে প্রকাশ করা যায় না, কেবলমাত্র এফের সদস্যরা উপরের আকারে স্পষ্টভাবে লিখিত হয়।