কেন সময় ধ্রুবক 63৩.২% এবং ৫০% বা %০% নয়?

30

আমি আরসি এবং আরএল সার্কিট সম্পর্কে অধ্যয়ন করছি। কেন সময় ধ্রুবক আউটপুট ভোল্টেজের 63.2% এর সমান? কেন এটি 63% হিসাবে সংজ্ঞাযুক্ত এবং অন্য কোনও মান নয়?

একটি সার্কিট আউটপুট ভোল্টেজের 63% এ কাজ শুরু করে? কেন 50% না?

— বালা সুব্রামনিয়ান manian
সূত্র

41

1-ই ^ -1 = 0.6321 ...

— অ্যান্ড্রু মর্টন

3

এটি 1 / ব্যান্ডউইথের সাথে মিলে যায় এবং এটি প্রথম ক্রম

পিছনে সময় মান

বা

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

। তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ে তারা 50% ('অর্ধ-জীবন') ব্যবহার করে।

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— চু

1

@ অ্যান্ড্রুমার্টন: আমার সম্পর্কে এটি কী বলেছে তা আমি পুরোপুরি নিশ্চিত নই যে আমি অনুমান করেছি যে এটি শিরোনাম থেকে উত্তর হবে।

— ইলমারি করোনেন

4

@code_monk: যেমন যত মজার

?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— নামমাত্র প্রাণী

3

কেবল একটি নটপিক: সময় ধ্রুবকটি 63৩ % হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না । এটি কোনও ক্ষতিকারক ক্রিয়াকলাপের সূচকগুলিতে সহগের বিপরীত হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয় (এই থ্রেডের দুর্দান্ত উত্তরগুলি দেখুন)। এটি কেবলমাত্র ফলাফল হিসাবে দেখা যায় যে সময়ের ধ্রুবকের সমান সময়ের পরে পরিমাণটির মান প্রাথমিক মানের 63% ( প্রায় 2-অঙ্কের নির্ভুলতার সাথে) হয়।

— লোরেঞ্জো দোনাতি মনিকে

64

অন্যান্য উত্তরগুলি এখনও কি বিশেষ করে তোলে তা নিয়ে আঘাত করেনি : ই ধরণের সময়কে ধ্রুবক হিসাবে নির্দিষ্ট করে কোনও কিছুর জন্য কোনও কারণকে ই ফ্যাক্টর দ্বারা নামিয়ে দেওয়ার অর্থ সময়টির যে কোনও মুহুর্তে, পরিবর্তনের হার এমন হবে - যদি তা হয় হার অবিরত ছিল - কোন কিছুর ক্ষয় হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সময়টি এক সময় ধ্রুব হবে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি কারও কাছে 1uF ক্যাপ এবং 1 এম প্রতিরোধক থাকে তবে সময় ধ্রুবকটি এক সেকেন্ড হবে। ক্যাপাসিটারটি যদি 10 ভোল্টে চার্জ করা হয় তবে ভোল্টেজটি 10 ভোল্ট / সেকেন্ডের হারে নেমে আসবে। যদি এটি 5 ভোল্টে চার্জ করা হয় তবে ভোল্টেজটি 5 ভোল্ট / সেকেন্ডের হারে পড়বে। ভোল্টেজের ফলে পরিবর্তনের হার হ্রাস পাওয়ার অর্থ এই যে ভোল্টেজটি আসলে এক সেকেন্ডে কিছুতেই ক্ষয় হবে না, তবে সময়ের যে কোনও মুহুর্তে হ্রাসের হার হবে ধ্রুবক দ্বারা বিভক্ত বর্তমান ভোল্টেজ voltage

যদি সময় ধ্রুবককে অন্য কোনও ইউনিট হিসাবে চিহ্নিত করা হয় (যেমন অর্ধজীবন), তবে ক্ষয়ের হার আর ধ্রুবকের সাথে এত সুন্দরভাবে মেলেনি।

— supercat
সূত্র

3

This may well be the best answer, as it answers the question of "Why?" in a tangible way, instead of showing "how" to calculate it.

— Bort

Awesome, I can't believe I've never learned this! (BTW, a graph would make this answer even more awesome).

— Reinstate Monica

1

That's an excellent intuitive insight. +1

— Spehro Pefhany

1

"the rate of decrease at any moment in time will be the current voltage" I suppose that while "current" in this context is ambiguous, both meanings work.

— Acccumulation

11

@supercat - I've added a graph of your example. Feel free to suggest any changes to it.

— Reinstate Monica

49

It's built into the mathematics of exponential decay associated with first-order systems. If the response starts at unity at t=0, then after one "unit of time", the response is $e^{-1} = 0.36788$ . When you're looking at a risetime, you subtract this from unity, giving 0.63212 or 63.2%.

The "unit of time" is referred to as the "time constant" of the system, and is usually denoted τ (tau). The full expression for the system response over time (t) is

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

So the time constant is a useful quantity to know. If want to measure the time constant directly, you measure the time it takes to get to 63.2% of its final value.

In electronics, it works out that the time constant (in seconds) is equal to R×C in an R-C circuit or L/R in an R-L circuit, when you use ohms, farads and henries as units for the component values. This means that if you know the time constant, you can derive one of the component values if you know the other.

— Dave Tweed
সূত্র

1

For an exponential decay or rise we should use step response to reduce complexity. So that e−1 is taken into account.Am i right?

— Bala Subramanian

@BalaSubramanian: yes, right.

— Dave Tweed

But i have one doubt, for example in designing RC circuit for timer or counter.It discharges and charges at particular time period. Is the time period is same as time constant. Does the required IC or device stops working at 63% of voltage?

— Bala Subramanian

2

@BalaSubramanian: No, not necessarily. Each timer has its own method of picking a threshold. For example, the (in)famous 555 uses 1/3 and 2/3 Vcc as its thresholds, which means that its time intervals are 0.693⋅R⋅C or 1.1⋅R⋅C, depending on the mode of operation.

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$ and

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$ .

— Dave Tweed

11

The decay of an RC parallel circuit with capacitor charged to Vo

v(t) = $Vo(1-e^{-t/\tau})$ , where $\tau$ is the time constant R $\cdot$ C.

So v( $\tau$ )/Vo is approximately 0.63212055882855767840447622983854

In other words, the time constant is defined by the RC product (or L/R ratio), and the seemingly arbitrary voltage is a result of that definition and the way exponential decay or charging occurs.

Exponential decay is common to various physical processes such as radioactive decay, some kinds of cooling etc. and can be described by a first-order Ordinary Differential Equation (ODE).

Suppose you want to know the time when the voltage is 0.5 of the initial voltage (or final voltage if charging from 0). It is (from the above)

t = - $\ln(0.5)\tau$ or about 0.693RC

Either way you do it, some irrational numbers pop up and dealing with RC= $\tau$ is the "natural" way.

— Spehro Pefhany
সূত্র

10

That is a very rough approximation.

— Arsenal

1

@Arsenal I could use MATLAB and get it to a few thousand decimal places if you'd like.

— Spehro Pefhany

2

@Arsenal, I suppose 22/7 isn't good enough for you either? :D

— Wossname

3

22/7 is a terrible approximation to e. 19/7 is much better.

— alephzero

2

@SpehroPefhany (wrt to that approximation you linked to) I'm always amazed at how math people like to spend their time (well, I guess crosswords puzzles are too easy for them! :-)

— Lorenzo Donati supports Monica

3

Just as a complement to the other excellent answers by Dave Tweed, supercat and Spehro Phefany, I'll add my 2 cents.

First a bit of nitpicking, as I wrote in a comment, the time constant is not defined as 63%. Formally it is defined as the inverse of the coefficient of the exponent of an exponential function. That is, if Q is the relevant quantity (voltage, current, power, whatever), and Q decays with time as:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

Then the time constant of the decaying process is defined as $\tau = 1 / k$ .

As others have pointed out, this means that for $t = \tau$ the quantity has decreased by about 63% (i.e. the quantity is about 37% of the starting value):

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

What other answers have only marginally touched is why that choice has been made. The answer is simplicity: the time constant gives an easy way to compare the speed of evolution of similar processes. In electronics often the time constant can be interpreted as "reaction speed" of a circuit. If you know the time constants of two circuits it's easy to compare their "relative speed" by comparing those constants.

Moreover, the time constant is a quantity easily understandable in an intuitive way. For example, if I say that a circuit settles with a time constant $\tau = 1 \mu s$ , then I can easily understand that after a time $3\tau=3\mu s$ (or maybe $5\tau=5\mu s$ , depending on the accuracy of what you are doing) I can consider the transient ended ( $3\tau$ and $5\tau$ are the most common choices as rules of thumb for the conventional transient duration).

In other words the time constant is an easy and understandable way to convey the time scale on which a phenomenon occurs.

— Lorenzo Donati supports Monica
সূত্র

-1

This comes from the $e$ constant value $1-e^{-1} \approx 0.63$ .

— Matthijs Huisman
সূত্র