F + F '= 1 কেন করে?

Question

আমার ফাংশনটি রয়েছে:$f(x,y,z,w) = wx + yz$

আমি এর পরিপূরক ফাংশনটি পেয়েছি:$f '(x,y,z,w) = w'y' + w'z' + x'y' + x'z'$

আমাকে এটি দেখাতে হবে: তবে এটি কীভাবে করব তা আমি দেখতে পাচ্ছি না।$f + f '=1$

দেখে মনে হচ্ছে যেন একে অপরকে বাতিল করে দেওয়ার মতো কিছু নেই।

সম্পাদন করা

প্রস্তাবিত হিসাবে, আমি এখন ডি মরগান এর উপপাদ্য ব্যবহার করেছি এবং এটি পেয়েছি:

$f + f' = wx+yz+(w+y)'+(w+z)'+(x+y)'+(y+z)'$

তবে এটি এখনও আমার কাছে মনে হয় যে এমন কিছু নেই যা আমাকে এর উপলব্ধির নিকটে নিয়ে আসে$f+f' = 1$

Comments

ইঙ্গিত:

— ডিমরগানের

হয় চ বা এফ 'অবশ্যই 1 হতে হবে

— চু

আপনার কাছে কেবল 4 টি ইনপুট রয়েছে। অন্য কিছু না হলে, আপনি কেবল একটি সত্যের ছক লিখতে পারেন।

— ফোটন

স্পিহ্রো অর্থের উপরে ঠিক আছে, তবে হ্যাঁ প্রথম পদক্ষেপ হিসাবে ডি-মরগান প্রয়োগ করা কোনও লাভ করে না। সুতরাং স্পিহ্রোর ইঙ্গিতটি কিছুটা প্রসারিত করার জন্য: সমাধানটিতে কিছু মৌলিক বীজগণিত করা জড়িত, যার মধ্যে একটি পদক্ষেপ হিসাবে DeMorgan অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। সাধারণ বীজগণিত + ডি-মরগান ব্যবহার করে আপনি f এর ক্রিয়াকলাপটিকে এফ এর স্পষ্ট-সুস্পষ্ট অবহেলায় রূপান্তর করতে পারেন। এটি কাগজের টুকরোতে স্ক্রিবলিং করে, এটি করতে আমাকে কেবল 4 টি পদক্ষেপ নিয়েছে।

— মিঃ স্নরব

@ মিঃসনরব "" আমি এর পরিপূরক ফাংশনটি পেয়েছি "এর প্রথম ধাপটি হওয়া উচিত (

— ডাব্লুএক্স

Answer 1

যেহেতু কার্ল সুন্দরভাবে জিজ্ঞাসা করলেন। শুরুর পয়েন্ট:

$$f(x,y,z,w)=wx+yz$$ এবং $$f′(x,y,z,w)=w′y′+w′z′+x′y′+x′z′$$

সাথে নিম্নলিখিত পদক্ষেপ নিন $f'$ :

$$f′(x,y,z,w)=w′(y′+z′)+x′(y′+z′)$$ $$f′(x,y,z,w)=(w′+x')(y′+z′)$$ DeMorgan: $$f′(x,y,z,w)=(wx)′(yz)'$$ DeMorgan, আবার: $$f′(x,y,z,w)=(wx + yz)'$$ তাই এখন ডান দিকে$f'$ ডান দিকে মাত্র সহজ অস্বীকৃতি$f$। যা সামান্য বিরোধী জলবায়ু, এখন থেকে আমরা কেবল যে কোনও এক্সপ্রেশন $x + x' = 1$ উপর নির্ভর করি , যা লোকেরা $f+f'=1$ সম্পর্কে সমস্ত কিছু বলে চলেছে , তবে কমপক্ষে এটি সামান্য সরবরাহ করে বুলিয়ান-বীজগণিতের ব্যাখ্যা কেন এটি সত্য।

Comments

আপনার চূড়ান্ত উত্তর না দিয়ে আপনি কীভাবে দ্বিতীয় লাইনে পৌঁছেছিলেন তা আমি বুঝতে পারি না। আপনার চূড়ান্ত উত্তরটি আমার প্রথম পদক্ষেপ ছিল: এটি কেবল উভয় পক্ষের অবহেলা।

— সি ল্যাঞ্জ

প্রথম দুটি লাইন হল ওপি প্রদত্ত সূত্র। সংজ্ঞা অনুসারে এগুলি সূচনা পয়েন্ট। আমি পুরোপুরি সম্মত যে স্টাফগুলি পরে ওপি'র প্রথম দুটি সূত্রের উত্সের অংশ হতে পারে। তবে আমাদের সেই তথ্য নেই; আমরা ঠিক নিশ্চিত করতে পারি না।

— মিঃ স্নরব

বোঝা - এই ধারণাটি নিয়ে যে এবং f ′ প্রশ্নে দেওয়া হয়েছিল যেমন ওপি সেগুলি লিখেছিল। আমার বোঝার যে ওপি ইতিমধ্যে প্রসারিত করার চেষ্টা ছিল চ ' এবং যেখানে সেখানে থেকে যেতে জানি না। $f$$f'$$f'$

— সি ল্যাঙ্গ

Answer 2

বিন্দু এটা সত্যিই কোন ব্যাপার না কি ফাংশন, হয় $f()$ আসলে। মূল বিষয়টি হ'ল এর আউটপুটটি একক বাইনারি মান value

বুলিয়ান বীজগণিতের এটি একটি মৌলিক সত্য যে যখনই মান নিজেই মিথ্যা হয় তখন বাইনারি মানের পরিপূরকটি সত্য। এটি বাদ পড়া মাঝের আইন হিসাবে পরিচিত । সুতরাং এর পরিপূরক সহ একটি মান ORing করা সর্বদা সত্য এবং এর পরিপূরক সহ একটি মানগুলি বরাবরই মিথ্যা।

এটি দুর্দান্ত যে আপনি নির্দিষ্ট ফাংশন $f'()$ অর্জন করতে সক্ষম হয়েছিলেন তবে এটি প্রকৃত প্রশ্নের সাথে আসলে অপ্রাসঙ্গিক!

Comments

এটি বাদ পড়া মাঝের আইন হিসাবে পরিচিত ।

— বলপয়েন্টবেন

@ বালপয়েন্টপেন: ধন্যবাদ! আমি আমার উত্তরে এটি যুক্ত করেছি।

— ডেভ টুইট করেছেন

Answer 3

পূর্ববর্তী সমস্ত উত্তর সঠিক, এবং গভীরতা অনেক। তবে এটির কাছে যাওয়ার একটি সহজ উপায় হতে পারে মনে রাখতে হবে যে বুলিয়ান বীজগণিতের ক্ষেত্রে সমস্ত মান 0 বা 1 হওয়া আবশ্যক।

সুতরাং ... হয় হয় এফ 1, তারপরে এফ 0 হয়, বা অন্য উপায়ে: এফ 0 এবং এফ 'হয় 1। আপনি যদি বুলিয়ান OR- ফাংশন: F + F' প্রয়োগ করেন তবে আপনার সর্বদা একটি থাকবে উভয় পদ 1, তাই ফলাফল সর্বদা 1 হবে।

Answer 4

আমার উত্তর ডেভ টোয়েডের একটির সাথে মিল, যার অর্থ আমি এটিকে আরও আনুষ্ঠানিক স্তরে রেখেছি। আমি স্পষ্টতই পরে উত্তর দিয়েছি, তবে তবুও আমি এটি পোস্ট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি কারণ কেউ এই পদ্ধতির আকর্ষণীয় বলে মনে করতে পারে।

---

সম্পর্ক আপনি তা প্রমাণ করার চেষ্টা করছেন ফাংশনের গঠন থেকে স্বাধীন $f$ যেহেতু এটি বস্তুত, একটি হিসাবে, হয় অনুলাপ । ব্যাখ্যা কি আমি বলতে চাচ্ছি, আমি একটি সাধারণ সঠিকভাবে গঠিত, বুলিয়ান প্রকাশের জন্য একটি বিক্ষোভের প্রস্তাব $P$ বুলিয়ান ভেরিয়েবল একটি অবাধ সংখ্যা বলতে $n\in\Bbb N$ , $y_1,\ldots,y_n$ , যেখানে $y_i\in\{0,1\}$ সমস্ত $i=1,\ldots,n$ ।
আমাদের সেই $P(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}$ এবং নিম্নলিখিত দুই জন্য বুলিয়ান মান সেট বিবেচনা$n$ -dimensional বুলিয়ান ভেক্টর$(y_1,\ldots,y_n)$

$$\begin{align} Y&=\{(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n|P(y_1,\ldots,y_n)=1\}\\ \bar{Y}&= \{(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n|P(y_1,\ldots,y_n)=0\} \end{align}$$ These set are a partition of the full set of values the input Boolean vector can assume, i.e. $Y\cup\bar{Y}=\{0,1\}^n$ and $Y\cap\bar{Y}=\emptyset$ (the empty set), thus $$\begin{align} P(y_1,\ldots,y_n)&= \begin{cases} 0&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in \bar{Y}\\ 1&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in Y\\ \end{cases}\\ &\Updownarrow\\ P'(y_1,\ldots,y_n)&= \begin{cases} 1&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in \bar{Y}\\ 0&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in Y\\ \end{cases} \end{align}$$ therefore we always have $$P+P'=1\quad\forall(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n$$

Answer 5

All good answers that provide the necessary justification in one way or the other. Since it is a tautology, it's hard to create a proof that doesn't just result in "it is what it is!". Perhaps this method help tackle it from yet another, broader angle:

Expand both statements to include their redundant cases, and the remove the repeated cases:

$𝑓=𝑤𝑥+𝑦𝑧\\ \ \ =wx\cdot(y'z'+y'z+yz'+yz)\ +\ yz\cdot(x'w'+x'w+xw'+xw)\\ \ \ =wxy'z'+wxy'z+wxyz'+wxyz\ +\ yzx'w'+yzx'w+yzxw'+yzxw\\ \ \ =wxy'z'+wxy'z+wxyz'+wxyz\ +\ yzx'w'+yzx'w+yzxw'$

and

$𝑓′=𝑤′𝑦′+𝑤′𝑧′+𝑥′𝑦′+𝑥′𝑧′\\ \ \ \ = w'y'\cdot(x'z'+x'z+xz'+xz)\ +\ 𝑤′𝑧′\cdot(x'y'+x'y+xy'+xy)\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′\cdot(w'z'+w'z+wz'+wz)\ +\ x′𝑧′\cdot(w'y'+w'y+wy'+wy)\\ \ \ \ = w'y'x'z'+w'y'x'z+w'y'xz'+w'y'xz\ +\ 𝑤′𝑧′x'y'+𝑤′𝑧′x'y+𝑤′𝑧′xy'+𝑤′𝑧′xy\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′w'z'+x′y′w'z+x′y′wz'+x′y′wz\ +\ x′𝑧′w'y'+x′𝑧′w'y+x′𝑧′wy'+x′𝑧′wy\\ \ \ \ = w'y'x'z'+w'y'x'z+w'y'xz'+w'y'xz\ +\ 𝑤′𝑧′x'y+𝑤′𝑧′xy\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′wz'+x′y′wz\ +\ x′𝑧′wy$

I've kept the terms in consistent order to make the derivation more obvious, but they could be written alphabetically to be clearer. In any case, the point is that $f$ ORs seven 4-bit cases, and $f'$ ORs nine, distinct 4-bit cases. Together they OR all sixteen 4-bit cases, so reduce to $1$.

Comments

+1 this is the only answer that is answering the true intention of the OPs question, which is to do some Boolean algebra rather than making theoretical arguments. But per my comment on the OP, note that a more elegant solution does exist; this problem can be solved without needing to add in the redundant cases.

— Mr. Snrub

I would very much like to see that as well. That is, if you have the time and the generosity to do it.t

— Carl

Answer 6

F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1,

A few minutes in excel shows it is indeed the case. You can use "NOT()" to invert between 0 and 1 in excel.

F = W * X + Y * Z

F' = W' * Y' + W' * Z' + X' * Y' + X' * Z'

As to why this is the case, If you want F to be false, e.g. setting W and Y low, you just made F' true. If you make X and Z low, you also made F" true, same for swapping there pairs.

Comments

"F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1" . No, it doesn't. It merely means that you have to show that regardless of the output (which can only have two possibilities) and the corresponding output of its complement, the relation holds. The inputs are irrelevant, as is the function. The only truth table needed is the one showing the relationship between the output of the function and the output of anything qualifying as its complement.

— Chris Stratton

@ChrisStratton, that depends if the question is to show that the OR of a function and its complement is always 1 (which is trivial by definition of the complement) or to show that the proposed function F' is actually the complement of F. From OP's wording, I think they had a 2 part problem. Part A: find the complement function. Part B: show that it actually is the complement.

— The Photon

Answer 7

By simple definition of $+$ (OR) and $′$ (NOT)

 A | B | A + B
---------------
 0 | 0 |   0
 1 | 0 |   1
 0 | 1 |   1
 1 | 1 |   1

 A | A′| A + A′
----------------
 0 | 1 |   1
 1 | 0 |   1

$∴ ∀f. f + f′ = 1$