ফুরিয়ার, ল্যাপ্লেস এবং জেড ট্রান্সফর্মগুলির মধ্যে সম্পর্ক এবং পার্থক্য

Question

আমি এই বিষয়গুলি সম্পর্কে কিছুটা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি। তারা সবাই আমার কাছে একইরকম দেখতে শুরু করেছে। এগুলির সাথে লিনিয়ারিটি, শিফটিং এবং স্কেলিংয়ের মতো একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে বলে মনে হয়। আমি এগুলি আলাদা করে রেখেছি এবং প্রতিটি রূপান্তরটির উদ্দেশ্য সনাক্ত করতে পারি না। এছাড়াও, এর মধ্যে কোনটি ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত হয়?

আমি (গুগলের সাথে) একটি নির্দিষ্ট উত্তর খুঁজে পাইনি যা এই নির্দিষ্ট সমস্যাটিকে সম্বোধন করে। আমি তাদের একই পৃষ্ঠায় তুলনা করে দেখতে চাই যাতে আমার কিছুটা স্পষ্টতা থাকতে পারে।

Answer 1

ল্যাপ্লেস এবং ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি ধারাবাহিক (অবিচ্ছেদ্য) ক্রমাগত ফাংশনগুলির রূপান্তর হয়।

Laplace রুপান্তর মানচিত্র একটি ফাংশন একটি ফাংশন এফ ( গুলি ) জটিল ভেরিয়েবলের গুলি , যেখানে গুলি = σ + + ঞ ω ।$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

যেহেতু ডেরাইভেটিভ মানচিত্রগুলিs এরF(গুলি)এরমধ্যে লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ল্যাপ্লেস রূপান্তর একটি বীজগণিত সমীকরণ। সুতরাং, ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য অন্যান্য জিনিসের মধ্যেও দরকারী useful$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

আমরা জটিল পরিবর্তনশীল এর আসল অংশ সেট করেন তাহলে গুলি শুন্যতে, , ফলে ফুরিয়ার রূপান্তরিত হয় এফ ( ঞ ω ) যা মূলত হয় ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে উপস্থাপনা এর চ ( T ) (নোট যে এই সত্য শুধুমাত্র যদি এর যে মান σ সূত্র প্রাপ্ত Laplace এর রুপান্তর চ ( T ) বিদ্যমান, অর্থাৎ, এটি অনন্ত যেতে না)।$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

জেড রুপান্তর মূলত রুপান্তর Laplace একটি বিযুক্ত সংস্করণ এবং, এইভাবে, সমাধানে উপযোগী হতে পারে পার্থক্য সমীকরণ, এর বিযুক্ত সংস্করণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নেই। জেড রুপান্তর একটি ক্রম মানচিত্র একটি ক্রমাগত ফাংশন এফ ( z- র ) জটিল ভেরিয়েবলের z- র = R ই ঞ Ω ।$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

আমরা মাত্রার সেট করেন তাহলে z- র ঐক্য চাই, , ফলে বিচ্ছিন্ন সময় ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম আছে (DTFT) এফ ( ঞ Ω ) যা মূলত ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন উপস্থাপনা চ [ এন ] ।$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Comments

Laplace মধ্যে গুলি ট্রান্সফর্ম একটি জটিল সংখ্যা, একটি + ঞ বলে , তাই তার একটি আরো সাধারণ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক ফুরিয়ার চেয়ে রুপান্তর। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যতক্ষণ কনভার্জেন্সের অঞ্চলে রয়েছেন, ততক্ষণ এই দু'জনের মধ্যে ঠিক জে la এর পরিবর্তে এবং এর বিপরীতে এগিয়ে যাওয়া সুষ্ঠু খেলা$\omega$$\omega$

— স্কট সিডম্যান

ফুরিয়ার রূপান্তরকে আপনি পর্যায়ক্রমিক সংকেতগুলিতে প্রয়োগ করেন এমন কিছু হিসাবে এবং সময়-পরিবর্তিত সংকেতগুলিতে আপনি প্রয়োগ করেন এমন কিছু হিসাবে ল্যাপ্লেস রূপান্তরকে ভাবতে সুবিধাজনক বলে মনে করি । (এটি উপরে @ স্কটসিডম্যান ব্যাখ্যা করেছেন তারই পরিণতি ence)

— লি-অং ইপ

@ অ্যালফ্রেড: আপনি আসলে সম্বোধন করেননি which one of these is used for frequency analysis- সম্পূর্ণতার জন্য সম্ভবত এটি উল্লেখযোগ্য যে বেশিরভাগ লোকেরা ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণের জন্য এফএফটি ব্যবহার করেন এবং ইতিমধ্যে তালিকাভুক্ত জিনিসগুলির সাথে কীভাবে এফএফটি ফিট করে।

— লি-অং ইপ

@ লি-অংইইপ, আমি মনে করি আপনি ফুরিয়ার সিরিজ এবং ফুরিয়ার রূপান্তরকে ঘৃণা করছেন । ফুরিয়ার সিরিজটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির জন্য; ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটিকে পিরিয়ড অনন্তের দিকে যাওয়ার সাথে সীমাতে ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে ভাবা যেতে পারে। সুতরাং, ফুরিয়ার রূপান্তরটি এপিওরিওডিক সংকেতের জন্য। এছাড়াও, যেহেতু পর্যায়ক্রমিক সংকেতগুলি প্রয়োজনীয়ভাবে সময়-পরিবর্তিত সংকেত হয়, তাই আপনি যে পার্থক্যটি আঁকছেন তা আমি "পাই" না।

— আলফ্রেড সেন্টাউরি

@ লি-অংওয়াইপ এছাড়াও, ডিএফটি গণনা করতে এফএফটি ব্যবহার করা হয় যা ডিটিএফটি নয়। ডিএফটি হ'ল ডিটিএফটি থাকার পরে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে নমুনা নেওয়ার মতো (যা এপিওরিওডিক সংকেতের জন্য ক্রমাগত)। এটি কম্পিউটারে দ্রুত গণনার জন্য ব্যবহৃত একটি সরঞ্জাম (ঠিক আছে, আমরা এটি ম্যানুয়ালিও ব্যবহার করতে পারি)। তবে এফএফটি আপনি ডিটিএফটি এবং সিটিএফটি অতীত হওয়ার পরে আসে।

— আনশুল

Answer 2

ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি সিটিএফটি-র জন্য একটি সুপার সেট হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কোনও আরওসি-তে যদি ট্রান্সফার ফাংশনটির শিকড়গুলি কাল্পনিক অক্ষের উপরে থাকে, যেমন এস = σ + জে, σ = 0 এর জন্য, পূর্ববর্তী মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে, ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলির সমস্যাটি কন্টিনিউজ টাইম ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্মে কমে যায়। কিছুটা পিছনে ফিরে যাওয়ার জন্য, জেনে রাখা ভাল হবে যে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মগুলি যখন ছিল তখন ল্যাপলেস কেন প্রথমে বিবর্তিত হয়েছিল। আপনি দেখুন, ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্ম (সম্পূর্ণ সংক্ষিপ্ত) উপস্থিতির জন্য ফাংশন (সংকেত) রূপান্তরকরণ একটি বাধ্যতামূলক শর্ত, তবে শারীরিক জগতে এমন সংকেত রয়েছে যেখানে এই ধরণের রূপান্তর সংকেত পাওয়া সম্ভব নয়। তবে, যেহেতু এগুলি বিশ্লেষণ করা প্রয়োজনীয়, তাই আমরা এগুলিকে একঘেয়েভাবে হ্রাসকারী ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন করে এটিকে রূপান্তরিত করি যা তাদের প্রকৃতির দ্বারা তাদের একত্রিত করে। এই নতুন ω + jω কে একটি নতুন নাম 'গুলি' দেওয়া হয়েছে, যা আমরা প্রায়শই এলসিটি সিস্টেমের কার্যকারিতা সম্পর্কিত সাইনোসয়েডাল সংকেতের জন্য 'জে' হিসাবে প্রতিস্থাপন করি। এস-প্লেনে, যদি কোনও ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের আরওসি কল্পনার অক্ষকে coversেকে দেয়, তবে এটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম সর্বদা উপস্থিত থাকবে, যেহেতু সংকেত রূপান্তরিত হবে। এটি কাল্পনিক অক্ষের এই সংকেত যা পর্যায়ক্রমিক সংকেতগুলি ই ^ জে = কোস cost + জে পাপ ωt (ইউলারের দ্বারা) দ্বারা গঠিত।

অনেক একইভাবে, জেড-ট্রান্সফর্মটি আমাদের জীবনকে আরও সহজ করার জন্য প্রথমে, ডিটিএফটি-তে একটি এক্সটেনশন। আয়ে জে (সার্কিট আরওসি এর ব্যাসার্ধকে অস্বস্তিকর হিসাবে নির্ধারণের চেয়ে) এর সাথে অজয়ের সাথে মোকাবিলা করা সহজ।

এছাড়াও, আপনার অবি-কার্যকারী সংকেতগুলির জন্য ল্যাপ্লেসের চেয়ে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করার সম্ভাবনা বেশি, কারণ একতরফা (একতরফা) রূপান্তর হিসাবে ব্যবহৃত হলে ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি জীবনকে আরও সহজ করে তোলে। আপনি এগুলি উভয় পক্ষেই ব্যবহার করতে পারেন, কিছু গাণিতিক প্রকরণের সাথে ফলাফলটি একই হতে পারে।

Comments

আপনার উত্তরটি ত্রাণকর্তা .... তাই যথাযথ এবং দুর্দান্ত ব্যাখ্যার জন্য থাম্বস আপ ..

— প্রবীণ পাউডেল

Answer 3

ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে সময়-পরিবর্তিত ফাংশনকে রূপান্তর / প্রতিনিধিত্ব করার জন্য।

"অবিচ্ছেদ্য ডোমেন" এ সময়-পরিবর্তিত ফাংশনকে রূপান্তর / প্রতিনিধিত্ব করার জন্য একটি লেলেস ট্রান্সফর্ম

জেড-ট্রান্সফর্মগুলি লেলেসের সাথে খুব মিল, তবে ডিজিটাল বাস্তবায়নের জন্য কাছাকাছি সময়ে-বিরতি রূপান্তর হয়।

এগুলি সমস্ত একই দেখা যায় কারণ রূপান্তর করতে ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলি খুব একই রকম।

Answer 4

আমি বৈদ্যুতিন সার্কিটের উপর ভিত্তি করে একটি উদাহরণ সহ ল্যাপ্লেস এবং ফুরিয়ার রূপান্তরগুলির মধ্যে পার্থক্যটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব। সুতরাং, ধরুন আমাদের একটি সিস্টেম রয়েছে যা একটি পরিচিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে বর্ণিত হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ বলা যাক যে আমাদের একটি সাধারণ আরএলসি সার্কিট রয়েছে। এছাড়াও ধরে নিন যে একটি সাধারণ সুইচটি সার্কিট চালু বা বন্ধ করতে ব্যবহৃত হয়। এখন যদি আমরা সাইনোসয়েড অবিচলিত অবস্থায় সার্কিট অধ্যয়ন করতে চাই তবে আমাদের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি ব্যবহার করতে হবে। অন্যথায়, যদি আমাদের বিশ্লেষণে স্যুইচ অন বা সার্কিট অফ স্যুইচটি অন্তর্ভুক্ত হয় তবে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য আমাদের ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি প্রয়োগ করতে হবে।

অন্য কথায় ল্যাপলেস রূপান্তরটি প্রাথমিক অবস্থার থেকে চূড়ান্ত সাইনোসয়েড অবিচল স্থিতিতে সিস্টেমের প্রতিক্রিয়ার ক্ষণস্থায়ী বিবর্তন অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি কেবলমাত্র সিস্টেমের প্রাথমিক অবস্থা থেকে ক্ষণস্থায়ী ঘটনা নয় চূড়ান্ত সাইনোসয়েড অবিচল স্থিতিশীল রাষ্ট্রও অন্তর্ভুক্ত করে।

Answer 5

বিভিন্ন কাজের জন্য বিভিন্ন সরঞ্জাম। ষোড়শ শতাব্দীর শেষে জ্যোতির্বিদরা কদর্য গণনা শুরু করেছিলেন। লোগারিদমগুলি প্রথম গুণ এবং বিভাগকে সহজ সংযোজন এবং বিয়োগফলে রূপান্তর করতে গণনা করা হয়েছিল। তেমনিভাবে, ল্যাপ্লেস এবং জেড আপনার দুষ্টু ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলিকে বীজগণিতীয় সমীকরণগুলিতে রূপান্তরিত করে যা আপনার সমাধানের সুযোগ রয়েছে। ফুরিয়ার সিরিজটি প্রাথমিকভাবে ইট এবং অন্যান্য আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তাপ প্রবাহের সমাধানের জন্য উদ্ভাবিত হয়েছিল। কম্পনের স্ট্রিং, অর্গান পাইপ এবং টাইম সিরিজ বিশ্লেষণের প্রয়োগ পরে এসেছিল later

Answer 6

যে কোনও এলটিআই সিস্টেমে ট্রান্সফার ফাংশন গণনা করার জন্য আমরা কেবল ফুরিয়ার বা জেড ট্রান্সফর্মের পরিবর্তে লেপ্লেস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করি কারণ ফুরিয়ারে আমরা সীমাবদ্ধ আউটপুট পাই; এটি অনন্তে যায় না। এবং জেড ট্রান্সফর্মটি বিচ্ছিন্ন সংকেতগুলির জন্য ব্যবহৃত হয় তবে এলটিআই সিস্টেমগুলি ক্রমাগত সংকেত হয় তাই আমরা জেড ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করতে পারি না .. সুতরাং ল্যাটাল ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে আমরা কোনও এলটিআই সিস্টেমের স্থানান্তর ফাংশন গণনা করতে পারি।