গাণিতিক প্রমাণ যে আরএমএস ভোল্টেজের বার আরএমএস কারেন্ট মানে শক্তি দেয়

Question

আমি জানি এটি সত্য কারণ আমি এটি একটি নামী উত্সে পড়েছি। আমি স্বজ্ঞাতভাবেও বুঝতে পারি যে শক্তিটি প্রতিরোধী লোডের জন্য ভোল্টেজ বা কারেন্টের বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক এবং আরএমএসে "এস" "বর্গক্ষেত্রের" জন্য। আমি একটি কঠিন গাণিতিক প্রমাণ চাইছি।

যাক $I_i$ তাত্ক্ষণিক বর্তমান বোঝাতে $i$ , এবং অনুরূপভাবে $V_i$ যে তাত্ক্ষণিক ভোল্টেজ উল্লেখ করে। আমরা সবাই instants এ ভোল্টেজ এবং বর্তমান পরিমাপ করতে পারেন, এবং থাকে তাহলে $n$ instants, তারপর গড় আপাত শক্তি হল:

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

একটি মার্জিত গাণিতিক প্রমাণ কি

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

প্রতিরোধের বোঝা জন্য একই ফলাফল অর্জন?

Comments

যদি আমি সঠিকভাবে মনে রাখি, এমন একটি প্রমাণ থাকতে হবে যা দেখায় যে কীভাবে আরএমএস হ'ল সুদের সময়কালে একটি সংকেতের আসল মানটির সর্বাধিক নিকটবর্তী হয়। এটি ব্যবহার করে আমরা সম্ভবত প্রমাণ করতে পারি যে । দুর্ভাগ্যক্রমে, মনে হচ্ছে আমি সেই বইটি হারিয়েছি যার প্রমাণ ছিল। :($P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

আরএমএস বর্তমান সময় আরএমএস ভোল্টেজের সমান গড় শক্তি হয় না। এটি সমান (গড়) আপাত শক্তি যদি আপনি অ-প্রতিরোধী লোড পেয়ে থাকেন তবে এটি একটি পার্থক্য করতে পারে।

— উইমেনসোমোয়ারসসোপার্সসমনসিকা 29:25

Answer 1

ওহমের আইন

$$1: V(t) = I(t)R$$

তাত্ক্ষণিক শক্তি অপচয় হ'ল ভোল্টেজ এবং বর্তমান

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

ভোল্টেজ বা কারেন্টের ক্ষেত্রে প্রতিরোধকের মাধ্যমে তাত্ক্ষণিক শক্তি পেতে 1 থেকে 2 প্রতিস্থাপন করুন:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

গড় শক্তি সংজ্ঞা অনুসারে একটি সময়কালে তাত্ক্ষণিক শক্তির অবিচ্ছেদ্য, সেই সময়ের দ্বারা বিভক্ত হয়। ভোল্টেজ এবং স্রোতের ক্ষেত্রে গড় পাওয়ার পেতে এর মধ্যে 3 টি বিকল্প দিন।

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

আরএমএস বর্তমান 5 এর সংজ্ঞা : আই আর এম এস = √ √

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ উভয় পক্ষের বর্গ $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ গড় পাওয়ার 7 : I 2 R M S R = R ∫ T 0 I 2 ( t ) d t এর সমীকরণ 4 পেতে R দিয়ে গুণ করুন $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ আরএমএস ভোল্টেজ 8 এর সংজ্ঞা : ভি আর এম এম এস = √ √ $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ উভয় পক্ষের স্কোয়ার $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ গড় পাওয়ার 10 : ভি 2 আর এম এস এর সমীকরণ 4 খুঁজে পেতে আর দ্বারা ভাগ করুন $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ গড় পাওয়ার 11 : P 2 a v g = V 2 R M S I 2 R M S এর এক্সপ্রেশনগুলি 7 এবং 10 এর গুণন করুন $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ উভয় পক্ষের বর্গমূল $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ Qed

Answer 2

খুব সহজ প্রমাণ (প্রশ্নে পৃথক নমুনা ক্ষেত্রে) আমার কাছে আরএমএস সমীকরণে ই / আর এর প্রতিস্থাপন করে

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

এবং খুব সাধারণ বীজগণিত।

এবং হ্যাঁ, এটি সত্য কারণ এটি নির্দিষ্ট করা আছে যে আমাদের একটি সম্পূর্ণরূপে প্রতিরোধমূলক বোঝা রয়েছে তাই কোনও ধাপের কোণ সমস্যা নেই এবং আইতে উপস্থিত নেই এমন কোনও সুরেলা উপস্থিত নেই also

সম্পাদনা

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

সুতরাং

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

এবং

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

ওহমের আইন অনুসারে

$$I_i = V_i/R$$ প্রতিকল্পন:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

তারপর:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

1 / আর ^ 2 টানছে

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

তাই:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$ হল:

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

1 / আর বিতরণ:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

আবার ওহমের আইন প্রতিস্থাপন ব্যবহার:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

যা হলো:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Comments

বীজগণিত যদি সহজ হয় তবে আপনি কি আমাদের দেখাতে পারবেন? আপনি গণিতটি টাইপসেট করতে ল্যাটেক্স মার্কআপ ব্যবহার করতে পারেন।

— ফিল ফ্রস্ট

অনুপ্রেরণার জন্য ধন্যবাদ. আমি 1983 সাল থেকে লাটেক্স ব্যবহার করিনি

— জর্জ হোয়াইট

Answer 3

মূলটি হ'ল প্রতিরোধী লোডের জন্য, ভোল্টেজ এবং স্রোত ধাপে।

যদি ভোল্টেজ এবং কারেন্ট দুটি হয় $\sin(t)$, তারপরে তাদের পণ্য সমতা দ্বারা দেওয়া হয় $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$। শক্তি হ'ল দ্বিগুণ ফ্রিকোয়েন্সিটির একটি সাইন ওয়েভ which$1/2$। এটি সময়ের সাথে গড় গড় ("বর্গক্ষেত্রের" অর্থ ") mean গড় বর্গের মূল হ'ল$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$। সেখানেই আমরা সেই যাদু নম্বরটি পাই।

মূল মানে স্কোয়ার ভোল্টেজ বা কারেন্ট হ'ল ডিসি সমতুল্য ভোল্টেজ এবং স্রোত যা সময়ের সাথে একই শক্তি অপচয় হ্রাস করবে । যদি গড় শক্তি অপচয় হয়$1/2$ ডাব্লু, তারপরে এই জাতীয় শক্তি অপচয় হ্রাস করে অবিচ্ছিন্নভাবে উত্পাদন করা যায় $\sqrt{2}/2$ ভিডিসি গুন করে $\sqrt{2}/2$ একটি ডিসি।

যদি বর্তমান এবং ভোল্টেজ 90 ডিগ্রি (খাঁটি প্রতিক্রিয়াশীল লোড) এর বাইরে থাকে, তবে আমরা তার একটি হিসাবে ভাবতে পারি $\cos(t)$ এবং অন্য সত্তা $\sin(t)$। প্রযোজ্য সাম্যতা হয়$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$। পাওয়ার ওয়েভফর্মটি এখন চারপাশে দোলাচলে "পক্ষপাতদুষ্ট" নয়$1/2$; এর গড়টি শূন্য: বিদ্যুৎ তরঙ্গরূপটি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক হয়ে ওঠার সাথে সাথে বিকল্প অর্ধ চক্রের লোডের মধ্যে এবং বাইরে প্রবাহ প্রবাহিত হয়।

সুতরাং প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আরএমএস ভোল্টেজ এবং বর্তমানকে গড় ক্ষমতার উপর ভিত্তি করে সংজ্ঞায়িত করা হয়: প্রতিটি প্রত্যক্ষ গড়ের বর্গমূল থেকে প্রাপ্ত। গড় পাওয়ারের বর্গমূল থেকে প্রাপ্ত দুটি মানকে একত্রে গুণিত করা, অর্থ শক্তিটি পুনরুদ্ধার করে।

Comments

আমি মনে করি স্টিফেন কলিংয়ের উত্তর সবচেয়ে ভাল। এটি তরঙ্গরূপের বিশদগুলির উপর নির্ভর করে না এবং কন্টিনটিস কেসটি কভার করে। এছাড়াও, "মূল মানে স্কোয়ার ভোল্টেজ বা স্রোত হ'ল ডিসি সমতুল্য ভোল্টেজ এবং কারেন্ট যা সময়ের সাথে সাথে একই শক্তি বিলুপ্তি ঘটায়" উত্তরটি ধরে নিয়ে উত্তরটি একটি বৃত্তে গিয়ে প্রশ্নের উত্তর বলে মনে হয়।

— জর্জ হোয়াইট

Answer 4

গণিত ছাড়াই এই সমস্যাটিকে আরও সরল করতে দিন। এই সাধারণ সার্কিটটি ধরুন যা 10 সেকেন্ডের সময়কালে একটি বর্গাকার তরঙ্গরূপ তৈরি করে।

ভোল্টেজটি এরকম

এবং বর্তমান হয়

তারপরে পাওয়ার ওয়েভফর্মটি হবে

যখন স্যুইচ খোলা থাকে তখন কোনও শক্তি প্রতিরোধকের কাছে সরবরাহ করা হয় না তাই মোট শক্তি 10 ওয়াট এক্স 5 সেকেন্ড = 50 জোলস এবং এটি 10 সেকেন্ডে 5 ওয়াট প্রয়োগ করার মতোই is

এবং এটি গড় শক্তি। গড় ভোল্টেজ 5 ভোল্ট এবং গড় কারেন্টটি 0.5 অ্যাম্পিয়ার। সাধারণ গণনা করা, গড় পাওয়ার ফলাফল 2.5 ওয়াট বা 25 জোলস যা সত্য নয় results

সুতরাং এই আদেশটি দিয়ে এই কৌশলটি করা যাক:

1. প্রথম স্কোয়ার ভোল্টেজ (এবং বর্তমান)

2. দ্বিতীয়টি বর্গের গড় ধরুন

3. তারপরে গড়ের বর্গমূল নিন

ভোল্টেজ ওয়েভফর্মের বর্গক্ষেত্র হবে

এবং গড় 50V ^ 2 (50 50 2 ভোল্ট নয়)। এ দিক থেকে তরঙ্গরূপটি ভুলে যান। শুধুমাত্র মান। উপরের মানের স্কোয়ার রুটটি 7,071… ভোল্ট আরএমএস। বর্তমানের সাথে একই কাজ করলে 0,7071..A আরএমএস পাওয়া যাবে এবং গড় পাওয়ার হবে 7,071V x 0,7071A = 5 ওয়াট

আপনি যদি আরএমএস পাওয়ার সাথে একই চেষ্টা করে থাকেন তবে ফলাফলটি নির্দোষ 7,071 ওয়াট হবে।

সুতরাং একমাত্র সমতুল্য গরম করার শক্তি হ'ল গড় শক্তি এবং গণনা করার একমাত্র উপায় হ'ল ভোল্টেজ এবং স্রোতের আরএমএস মানগুলি ব্যবহার করা

Comments

তাত্ক্ষণিক শক্তির গড় হিসাবে আমরা কীভাবে প্রতিরোধকের মধ্যে বিলুপ্ত হওয়া গড় শক্তি গণনা করতে পারি না? ওপি অনুরোধ করা গাণিতিক প্রমাণ কোথায়?

— জো হাস

কিছু জটিল ওয়েভফর্ম অফ কোর্সের জন্য আমাদের যথাযথ গড় মানের জন্য সময় ব্যবধান শূন্যের কাছাকাছি ব্যবহার করে তাদেরকে সংহত করতে হবে। আমি কোনও গাণিতিক ব্যবহার করা এড়িয়ে যাচ্ছি না, এ কারণেই আমি বর্গাকার তরঙ্গ ব্যবহার করি যা গড়ের অর্থ দেখতে খুব সহজ। আরএমএসও একটি গড় মান।

— জিআর টেক

আমার কাছে মনে হচ্ছে আপনি প্রকৃত গড় পাওয়ার 5 ওয়াট এবং আরএমএস ভি * আরএমএস আই = 5 ওয়াট প্রদর্শিত এই ক্ষেত্রে, ওপিটি সঠিক। আপনি এটিও দেখান যে, এই ক্ষেত্রে, গড় ভি * গড় আই = 2.5 ওয়াট।

— জর্জ হোয়াইট

ঠিক আছে আমি বুঝতে পারছি. আবার ভাষা সমস্যা। আমি যা বলার চেষ্টা করছিলাম তা হ'ল ভ্যাভগ এক্স আইএভিজি গণনা সঠিক নয়। আমাকে নিরুৎসাহিত করার জন্য ধন্যবাদ!

— জিআর টেক 23

যদি "আরএমএসও একটি গড় মান" তবে কেন পাওয়ার লাইনের ভোল্টেজের আরএমএস মান গড় মানের মতো 0.0V এর সমান হয় না?

— জো হাস