একটি স্তরযুক্ত সংমিশ্রণের তাপীয় পরিবাহিতা

এই প্রশ্নটি আমার হোম ওয়ার্কের অংশ হিসাবে নির্ধারিত হয়েছে এবং সমাধানটি বের করতে আমার সমস্যা হচ্ছে। নীচে প্রশ্নটি সমাধান করার জন্য আমার প্রচেষ্টা রয়েছে। আগামীকাল সকালে আমার বাড়ির কাজটি প্রস্তুত করা দরকার, তাই সমাধানটি সন্ধান করতে আমি যে কোনও সহায়তা বা দিকনির্দেশনা সত্যই প্রশংসা করব।

প্রশ্ন:

ধরুন একটি যৌগিক কঠিন পদার্থ পর্যায়ক্রমে নিয়ে গঠিত $A$ এবং $B$ , স্তর বেধ সঙ্গে $L_A$ এবং $L_B$ যথাক্রমে। উভয় পদার্থ হ'ল আইসোট্রপিক, তাপীয় পরিবাহিতা $k_A$ এবং $k_B$ । অনেক স্তর রয়েছে এমন একটি নমুনায় গড়, স্থিতিশীল-রাষ্ট্রীয় তাপ প্রবাহের পূর্বাভাস দেওয়া ইচ্ছুক। হিসাবে লেখা হয় যেখানে এবং respectively যথাক্রমে গড় তাপ প্রবাহ এবং তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্ট এবং

Q = - k \cdot G

$\boldsymbol{ Q=-k\cdot G}$

Q

$\boldsymbol{Q}$

G

$\boldsymbol{G}$

k

$\boldsymbol{k}$ কার্যকর তাপ পরিবাহিতা। -axis বরাবর স্বাভাবিকের সাথে সংযুক্ত উপাদানগুলির ইন্টারফেসের স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে কার্যকর চালকতা (ক) মূল্যনির্ধারণ , , এবং পরিপ্রেক্ষিতে , , এবং , যেখানে উপাদান পরিমাণ ভগ্নাংশ ( উপাদান এর দৈর্ঘ্য এবং উপাদান দৈর্ঘ্য )। (

y

$y$

k = [\begin{array}{ccc} k_{x x} & 0 & 0 \\ 0 & k_{y y} & 0 \\ 0 & 0 & k_{z z} \end{array}] .

$\boldsymbol{k}=\left[\begin{array}{ccc} k_{xx} & 0 &0\\0&k_{yy}&0\\0&0&k_{zz}\end{array}\right].$

k_{x x}

$k_{xx}$

k_{y y}

$k_{yy}$

k_{z z}

$k_{zz}$

k_{A}

$k_A$

k_{B}

$k_B$

ϕ

$\phi$

ϕ = L_{A} / (L_{A} + L_{B})

$\phi=L_A/(L_A+L_B)$

A

$A$

L_{A}

$L_A$

A

$A$

L_{B}

$L_B$

B

$B$ ইঙ্গিত : ঘন এবং তাপ পরিবাহিতা এর একটি স্ল্যাবের মাধ্যমে অবিচ্ছিন্ন তাপ প্রবাহ হ'ল , যেখানে পৃষ্ঠতলগুলির মধ্যে তাপমাত্রার পার্থক্য))

q

$q$

L

$L$

k

$k$

q = k Δ T / L

$q=k\Delta T/L$

Δ T

$\Delta T$

(খ) দেখান যে, সাধারণভাবে, ভেক্টরগুলি এবং one একে অপরের সাথে সমান্তরাল হবে না। যে, তাপ প্রবাহ এবং তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্টের দিকনির্দেশগুলি পৃথক হবে। $\boldsymbol{Q}$ $\boldsymbol{-G}$

কাজ:

আমরা অক্ষগুলির ওরিয়েন্টেশনটি বিবেচনা করতে পারি যে ইতিবাচক এক্সিস আমাদের পৃষ্ঠা থেকে বেরিয়ে আসে, ইতিবাচক -axis পৃষ্ঠার ডানদিকে যায়, এবং ইতিবাচক -axis পৃষ্ঠার শীর্ষে যায়। আমরা উপাদান সঙ্গে যৌগিক কঠিন একটি সেগমেন্ট বিবেচনা করতে পারেন বাম এবং উপাদানের উপর বরাবর ডান দিকে -axis, অর্থাত্, উপাদান থেকে থেকে উপর -axis এবং বস্তুগত থেকে অবস্থিত থেকে বরাবর -axis। $x$ $y$ $z$ $A$ $B$ $y$ $A$ $0$ $L_A$ $y$ $B$ $L_A$ $L_B$ $y$

ভেক্টর সমীকরণ 3 কে 3 টি সমীকরণে বিভক্ত করা যেতে পারে (সংজ্ঞা ): $\boldsymbol{Q=-k\cdot G}$ $\boldsymbol{G}=\nabla T$

q_{x} = - k_{x x} \frac{\partial T}{\partial x} q_{y} = - k_{y y} \frac{\partial T}{\partial y} q_{z} = - k_{z z} \frac{\partial T}{\partial z}

$q_x=-k_{xx}\frac{\partial T}{\partial x}\\q_y=-k_{yy}\frac{\partial T}{\partial y}\\q_z=-k_{zz}\frac{\partial T}{\partial z}$

সংক্রান্ত এবং , যেহেতু উপাদানে পার্থক্য কেবল বরাবর হয় -axis, আমি মনে হবে এবং উপর নির্ভর করে না , , অথবা , বরং কেবল -axis বরাবর অবস্থানের উপর নির্ভর করে নির্দিষ্ট উপাদান বা এর তাপীয় পরিবাহিতা উপর । তবে, যদি পদার্থগুলি ম্যাক্সিস এবং এক্সিস বরাবর অসীম হিসাবে ধরে নেওয়া হয় (এটি যৌক্তিক অনুভূতি হতে পারে, যেহেতু যৌগিক শক্তির উচ্চতা এবং প্রস্থ দেওয়া হয় না), তবে বরাবর প্রবাহ $k_{xx}$ $k_{zz}$ $y$ $k_{xx}$ $k_{zz}$ $\phi$ $L_A$ $L_B$ $A$ $B$ $y$ $x$ $z$ $x$ এবং দিকনির্দেশ হতে হবে । যদি এই অনুমানটি সঠিক হয়, তবে , তাই এটি আমাকে বা about সম্পর্কে কিছুই বলে না । এই ধারণাটি কি সঠিক? আমি এবং মূল্যায়ন সম্পর্কিত কিছু মিস করেছি ? $z$ $0$ $\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{\partial T}{\partial z}=0$ $k_{xx}$ $k_{zz}$ $k_{xx}$ $k_{zz}$

figure বের করার জন্য , আমরা -axis বরাবর প্রতিটি উপাদানের জন্য q এর সমীকরণ তৈরি করতে পারি : তারপরে প্রদত্ত ইঙ্গিতটি ব্যবহার করে, আমরা বিবেচনা উপাদান বাঁদিকে তাপমাত্রা হতে , উপাদান মধ্যে ইন্টারফেসে তাপমাত্রা এবং হতে এবং বস্তুগত ডানদিকে তাপমাত্রা হতে । তদনুসারে, এবং , সুতরাং সমীকরণগুলি নীচে পরিণত হয়: $k_{yy}$ $y$

q_{A} = k_{A} Δ T_{A} / L_{A} q_{B} = k_{B} Δ T_{B} / L_{B}

$q_A=k_A\Delta T_A /L_A\\q_B=k_B\Delta T_B/L_B$

A

$A$

T_{0}

$T_0$

A

$A$

B

$B$

T_{1}

$T_1$

B

$B$

T_{2}

$T_2$

Δ T_{A} = T_{0} - T_{1}

$\Delta T_A=T_0-T_1$

Δ T_{B} = T_{1} - T_{2}

$\Delta T_B=T_1-T_2$

q_{A} = k_{A} (T_{0} - T_{1}) / L_{A} q_{B} = k_{B} (T_{1} - T_{2}) / L_{B}

$q_A=k_A\left(T_0-T_1\right)/L_A\\q_B=k_B\left(T_1-T_2\right)/L_B$ সমীকরণগুলি পুনরায় সাজানো যায়: তারপর দুটি সমীকরণ একসাথে যুক্ত করা যেতে পারে : এখান থেকে তবে আমি কীভাবে এগিয়ে যাব তা নিশ্চিত নই; স্পষ্টভাবে উপস্থিত হয় না এবং এবং উপস্থিত হয় তবে প্রশ্নটি বোঝায় যে তাদের উপস্থিত হওয়া উচিত নয়।

T_{0} - T_{1} = q_{A} L_{A} / k_{A} T_{1} - T_{2} = q_{B} L_{B} / k_{B}

$T_0-T_1=q_A L_A/k_A\\T_1-T_2=q_B L_B/k_B$

Δ T = T_{0} - T_{2}

$\Delta T=T_0-T_2$

Δ T = \frac{q_{A} L_{A} k_{B} + q_{B} L_{B} k_{A}}{k_{A} + k_{B}}

$\Delta T=\frac{q_A L_A k_B +q_B L_B k_A}{k_A+k_B}$

ϕ

$\phi$

q_{A}

$q_A$

q_{B}

$q_B$

বিকল্প পদ্ধতির মধ্যে দুটি সমীকরণ একসাথে যুক্ত করা হবে: থেকে সংজ্ঞা , আমরা এটিও জানি যে । এই সত্যটি ব্যবহার করে উপরের সমীকরণটি নিম্নরূপে পুনর্বিন্যস্ত করা যেতে পারে: তবে, এখানে আবার আমি কিভাবে এগিয়ে যেতে জানি না; আমার কাছে এখনও , , এবং টি আলাদা রয়েছে এবং আমরা যদি ধরে নিই তবে এই সমীকরণটি কেবল কার্যকর । এই শেষ ধারণাটি কি সঠিক? আমি যে সমীকরণটি মিস করেছি তার কোনও সরলকরণ আছে?

q_{A} + q_{B} = \frac{k_{A} L_{B} (T_{0} - T_{1}) + k_{B} L_{A} (T_{1} - T_{2})}{L_{A} + L_{B}}

$q_A+q_B=\frac{k_A L_B \left(T_0-T_1\right)+k_B L_A \left(T_1-T_2\right)}{L_A+L_B}$

ϕ

$\phi$

1 - ϕ = L_{B} / (L_{A} + L_{B})

$1-\phi=L_B/(L_A+L_B)$

q_{A} + q_{B} = k_{A} (T_{0} - T_{1}) + ϕ [k_{A} (T_{1} - T_{0}) + k_{B} (T_{1} - T_{2})]

$q_A+q_B=k_A(T_0-T_1)+\phi\left[k_A(T_1-T_0)+k_B(T_1-T_2)\right]$

T_{0}

$T_0$

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

q_{y} = q_{A} + q_{B}

$q_y=q_A+q_B$

সংক্রান্ত (খ), আমি অনুমান করে যে একবার আমি খুঁজে এবং , আমি দেখাতে পারেন , কিন্তু আমি এখনো নেই বা (বা এমনকি , যেখান থেকে আমি ) খুঁজে পেতে পারি । $\boldsymbol{Q}$ $\boldsymbol{-G}$ $\boldsymbol{Q\cdot -G}\neq1$ $\boldsymbol{Q}$ $\boldsymbol{-G}$ $\nabla T$ $\boldsymbol{-G}$

এই সমস্যার যে কোনও অংশে যে কোনও সহায়তা বা দিকনির্দেশনা প্রশংসিত হবে! আমি যেমন উল্লেখ করেছি, আগামীকাল সকালে আমার বাড়ির কাজটি প্রস্তুত করা দরকার, তাই আমি একরকম ছুটে যাই। তুমাকে অগ্রিম ধন্যবাদ!

fluid-mechanics thermodynamics heat-transfer

— user7938238
সূত্র

চিন্তার প্রক্রিয়াটি কার্য বিভাগে সম্পূর্ণ সঠিক নয়। তাপের প্রবাহগুলি যুক্ত হয় না, বরং শক্তি সংরক্ষণের কারণে তাদের সমান হওয়া উচিত।

সুতরাং, এ দিক, । যেহেতু , সুতরাং, the সমীকরণগুলি পুনরায় এবং , যা থেকে ডিফাইনিং , যেহেতু $y$ $q_y=q_{yA}=q_{yB}$ $q=k\frac{\Delta T}{L}$

\begin{aligned} q_{y A} & = k_{A} \frac{Δ T_{A}}{L_{A}} \\ q_{y B} & = k_{B} \frac{Δ T_{B}}{L_{B}} . \end{aligned}

$\begin{align} q_{yA}&=k_A\frac{\Delta T_A}{L_A}\\ q_{yB}&=k_B\frac{\Delta T_B}{L_B}. \end{align}$

\begin{aligned} q_{y} & = \frac{k_{A}}{L_{A}} (T_{0} - T_{1}) \\ q_{y} & = \frac{k_{B}}{L_{B}} (T_{1} - T_{2}) . \end{aligned}

$\begin{align} q_{y}&=\frac{k_A}{L_A}(T_0-T_1)\\ q_{y}&=\frac{k_B}{L_B}(T_1-T_2). \end{align}$

T_{1}

$T_1$

T_{0} - \frac{L_{A}}{k_{A}} q_{y} = T_{2} + \frac{L_{B}}{k_{B}} q_{y},

$T_0-\frac{L_A}{k_A}q_y=T_2+\frac{L_B}{k_B}q_y,$

T_{0} - T_{2} = q_{y} (\frac{L_{A}}{k_{A}} + \frac{L_{B}}{k_{B}}) .

$T_0-T_2=q_y\left(\frac{L_A}{k_A}+\frac{L_B}{k_B}\right).$

Δ T = T_{0} - T_{2}

$\Delta T=T_0-T_2$

q_{y} = \frac{1}{\frac{L_{A}}{k_{A}} + \frac{L_{B}}{k_{B}}} Δ T .

$q_y=\frac{1}{\frac{L_A}{k_A}+\frac{L_B}{k_B}}\Delta T.$

G_{y} = - \frac{Δ T}{L_{A} + L_{B}}

$G_y=-\frac{\Delta T}{L_A+L_B}$ , , সংজ্ঞাটি পুনরায় সাজানো এবং ব্যবহার করা যেহেতু , এবং For এর জন্য , এবং এর মাধ্যমে পাথগুলি সমান্তরাল, তাই and এবং জন্য সমান এবং এবং এর জন্য একই

q_{y} = \frac{L_{A} + L_{B}}{\frac{L_{A}}{k_{A}} + \frac{L_{B}}{k_{B}}} \frac{Δ T}{L_{A} + L_{B}} = - \frac{L_{A} + L_{B}}{\frac{L_{A}}{k_{A}} + \frac{L_{B}}{k_{B}}} G_{y} .

$q_y=\frac{L_A+L_B}{\frac{L_A}{k_A}+\frac{L_B}{k_B}}\frac{\Delta T}{L_A+L_B}=-\frac{L_A+L_B}{\frac{L_A}{k_A}+\frac{L_B}{k_B}}G_y.$

ϕ = \frac{L_{A}}{L_{A} + L_{B}}

$\phi=\frac{L_A}{L_A+L_B}$

q_{y} = - \frac{k_{A} k_{B}}{(1 - ϕ) k_{A} + ϕ k_{B}} G_{y} .

$q_y=-\frac{k_Ak_B}{(1-\phi)k_A+\phi k_B}G_y.$

q_{y} = - k_{y y} G_{y}

$q_y=-k_{yy}G_y$

k_{y y} = \frac{k_{A} k_{B}}{(1 - ϕ) k_{A} + ϕ k_{B}} .

$k_{yy}=\frac{k_Ak_B}{(1-\phi)k_A+\phi k_B}.$

k_{x x}

$k_{xx}$

k_{z z}

$k_{zz}$

A

$A$

B

$B$

\frac{Δ T}{L}

$\frac{\Delta T}{L}$

A

$A$

B

$B$

G_{x} = G_{z} = - \frac{Δ T}{L}

$G_x=G_z=-\frac{\Delta T}{L}$

A

$A$

B

$B$ । যেহেতু পাথগুলি সমান্তরাল, তাই এখন, তবে তাই যেহেতু

\begin{aligned} q_{x} & = \frac{L_{A}}{L_{A} + L_{B}} q_{x A} + \frac{L_{B}}{L_{A} + L_{B}} q_{x B} \\ q_{z} & = \frac{L_{A}}{L_{A} + L_{B}} q_{z A} + \frac{L_{B}}{L_{A} + L_{B}} q_{z B} . \end{aligned}

$\begin{align} q_x&=\frac{L_A}{L_A+L_B}q_{xA}+\frac{L_B}{L_A+L_B}q_{xB}\\ q_z&=\frac{L_A}{L_A+L_B}q_{zA}+\frac{L_B}{L_A+L_B}q_{zB}. \end{align}$

\begin{aligned} q_{x A} & = q_{z A} = k_{A} {(\frac{Δ T}{L})}_{A} \\ q_{x B} & = q_{z B} = k_{B} {(\frac{Δ T}{L})}_{B}, \end{aligned}

$\begin{align} q_{xA}&=q_{zA}=k_A\left(\frac{\Delta T}{L}\right)_A\\ q_{xB}&=q_{zB}=k_B\left(\frac{\Delta T}{L}\right)_B, \end{align}$

{(\frac{Δ T}{L})}_{A} = {(\frac{Δ T}{L})}_{B} = - G_{x} = - G_{z},

$\left(\frac{\Delta T}{L}\right)_A=\left(\frac{\Delta T}{L}\right)_B=-G_x=-G_z,$

\begin{aligned} q_{x} & = ϕ k_{A} (- G_{x}) + (1 - ϕ) k_{B} (- G_{x}) = - [ϕ k_{A} + (1 - ϕ) k_{B}] G_{x} \\ q_{z} & = ϕ k_{A} (- G_{z}) + (1 - ϕ) k_{B} (- G_{z}) = - [ϕ k_{A} + (1 - ϕ) k_{B}] G_{z} . \end{aligned}

$\begin{align} q_x&=\phi k_A(-G_x)+(1-\phi)k_B(-G_x)=-\left[\phi k_A+(1-\phi)k_B\right]G_x\\ q_z&=\phi k_A(-G_z)+(1-\phi)k_B(-G_z)=-\left[\phi k_A+(1-\phi)k_B\right]G_z. \end{align}$

\begin{aligned} q_{x} & = - k_{x x} G_{x} \\ q_{z} & = - k_{z z} G_{z}, \end{aligned}

$\begin{align} q_x&=-k_{xx}G_x\\ q_z&=-k_{zz}G_z, \end{align}$

k_{x x} = k_{z z} = ϕ k_{A} + (1 - ϕ) k_{B} .

$k_{xx}=k_{zz}=\phi k_A+(1-\phi)k_B.$ অতএব,

k = (\begin{array}{ccc} k_{z z} = ϕ k_{A} + (1 - ϕ) k_{B} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{k_{A} k_{B}}{(1 - ϕ) k_{A} + ϕ k_{B}} & 0 \\ 0 & 0 & k_{z z} = ϕ k_{A} + (1 - ϕ) k_{B} \end{array}) .

$\mathbf{k}=\left( \begin{array}{ccc} k_{zz}=\phi k_A+(1-\phi)k_B&0&0\\ 0&\frac{k_Ak_B}{(1-\phi)k_A+\phi k_B}&0\\ 0&0&k_{zz}=\phi k_A+(1-\phi)k_B \end{array} \right).$

জন্য, দুটি ভেক্টর এবং সমান্তরাল হওয়ার জন্য, অবশ্যই জন্য স্থির থাকতে হবে । এখানে, তবে , না হলে, অনুপাতটি হয় না হোল্ড এবং ভেক্টর সমান্তরাল নয়। $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ $a_i/b_i$ $i$

\begin{aligned} Q & = - k_{x x} G_{x} \hat{x} - k_{y y} G_{y} \hat{y} - k_{z z} G_{z} \hat{z} \\ - G & = - G_{x} \hat{x} - G_{y} \hat{y} - G_{z} \hat{z} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{Q}&=-k_{xx}G_x\hat{x}-k_{yy}G_y\hat{y}-k_{zz}G_z\hat{z}\\ -\mathbf{G}&=-G_x\hat{x}-G_y\hat{y}-G_z\hat{z}. \end{align}$

\begin{aligned} \frac{- k_{x x} G_{x}}{- G_{x}} & = k_{x x} = k_{z z} = \frac{- k_{z z} G_{z}}{- G_{z}} \\ \frac{- k_{y y} G_{y}}{- G_{y}} & = k_{y y}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{-k_{xx}G_x}{-G_x}&=k_{xx}=k_{zz}=\frac{-k_{zz}G_z}{-G_z}\\ \frac{-k_{yy}G_y}{-G_y}&=k_{yy}, \end{align}$

k_{A} = k_{B}

$k_A=k_B$

k_{y y} \neq k_{x x}

$k_{yy}\neq k_{xx}$

— user7938238
সূত্র