নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলিতে সান্দ্র স্ট্রেস টেনসারে দ্বিতীয় পদটির শারীরিক ব্যাখ্যা কী?

আমি কিছুক্ষণের জন্য এই উত্তরটির সন্ধান করছি। আমি অসংখ্য পাঠ্য পড়েছি এবং এমনকি কিছু বক্তৃতাও অনলাইনে দেখেছি, তবে প্রায়শই এটি কখনও ব্যাখ্যা করা হয় না এবং দেওয়া হয় না। নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলিতে সান্দ্র স্ট্রেস শব্দটি দেখতে মনে হচ্ছে

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{তোমার দর্শন লগ করা} + + (\nabla \vec{তোমার দর্শন লগ করা})^{টি})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

এখন the শব্দটি কেবল বেগের প্রসার হিসাবে এটি বুঝতে যথেষ্ট সহজ, তবে শব্দের) পদটির শারীরিক ব্যাখ্যার সাথে আমার খুব কঠিন সময় এসেছে । আমি এই শব্দটি প্রসারিত করার পরে আমি শেষ করেছি $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

যা এটিকে বোঝায় যে এই প্রভাবটি বিচ্যুতিহীন বেগের ক্ষেত্রে উপস্থিত নেই, তবে আমি এখনও এই শব্দটির প্রকৃত অর্থ কী তা নিয়ে বা সামনে আসতে পারি না বা কোনও শারীরিক অন্তর্দৃষ্টি খুঁজে পাচ্ছি না। এই শব্দটি শারীরিকভাবে প্রতিনিধিত্ব করে এমন কি কেউ বুঝতে পারে?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— অ্যাডাম ওব্রায়ান
সূত্র

সংযোজন: আপনি সঠিক যে শব্দটি সংকোচনযোগ্য প্রবাহে অনুপস্থিত। দেখে মনে হচ্ছে এটি ঘনত্বের গ্রেডিয়েন্টগুলির কারণে গতিবেগের বিসারণকে বিবেচনা করে। দুটি তরল সংলগ্ন পার্সেল একই গতিবেগ হতে পারে তবে ভিন্ন গতি হতে পারে, তাদের মধ্যে শিয়ার স্ট্রেস নেই তবে গতি বিচ্ছিন্ন হবে।

— ড্যান

এই প্রশ্নটি ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের বিষয়বস্তু। এই প্রশ্নের জন্য অন্যান্য সাইটগুলির পরামর্শ দেওয়ার জন্য আমি বেশ কয়েকটি মন্তব্য সরিয়েছি। অংশ হিসাবে সমীকরণটির প্রয়োগিত বোঝার জন্য জিজ্ঞাসা করার কারণে এটি কারণ এটি ক্রমাগত মেকানিক্সের একটি অংশ। দয়া করে মনে রাখবেন যে আপনার সাইটের প্রতি কিছুটা

সম্পর্কিত মেটা আলোচনা: মেটা.ইনজায়ারিং.স্ট্যাকেক্সেঞ্জার

অ-শূন্য ঘনত্বের গ্রেডিয়েন্টের কারণে একটি গতিশীল গ্রেডিয়েন্ট উপস্থিত হওয়ার বিষয়টিটি ছিল একটি ভাল। আপনার প্রতিক্রিয়া জন্য সবাইকে ধন্যবাদ!

— অ্যাডাম ওব্রায়ান

উত্তর:

শারীরিক ব্যাখ্যার সন্ধানে আপনার এই দুটি পদ পৃথক করা উচিত নয়। মেয়াদ করা হয় স্ট্রেন হার টেন্সর । ভরবেগ সর্দি (অথবা মানসিক চাপ) বস্তুতপক্ষে আমরা একটি প্রবাহিত তরল পুরো মেয়াদ দ্বারা জন্য দায়ী করা হয় কারণে । এনএস সমীকরণে উভয় পদই বলের ঘনত্ব (ইউনিট ভলিউম প্রতি শক্তি) হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। আপনি ঠিক বলেছেন, দ্বিতীয় শব্দটি সংকোচনের প্রবাহের জন্য শূন্য ( এখানে দেখুন )। $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

আপডেট: স্ট্রেইন রেট টেনসরের সম্পূর্ণ বিকাশ জটিল এবং এটি এখানে সুযোগের বাইরে চলে যেতে পারে। আপনি যদি আগ্রহী হন তবে আমি খুঁজে পেয়েছি যে একটি ভাল সংস্থান হ'ল হুইটেকারের ফ্লুয়েড মেকানিক্সের পরিচিতি। সংক্ষেপে দেয় গ্রহণ করে টেন্সর স্ট্রেন হার এবং কঠিন আবর্তনশীল গতি মত প্রতিনিধিত্ব করে। যে কোনও টেনসরটি নিম্নলিখিত উপায়ে পচে যেতে পারে: $\nabla \vec{u}$ প্রথম শব্দটিকে সাধারণত স্ট্রেন রেট টেনসর বলে, এটি প্রতিসম, এবং এটি প্রদর্শিত হতে পারে যে এতে কোনও কঠোর আবর্তনীয় গতি নেই। দ্বিতীয় শব্দটিকে সাধারণত ভোরটিসিটি টেনসর বলা হয়, এটি স্কিউ প্রতিসাম্য এবং এটি দেখানো যেতে পারে যে এটি স্ট্রেনের হারকে অবদান রাখে না এবং এটি ঘূর্ণন গতির মতো অনমনীয় প্রতিনিধিত্ব করে।

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— সালমোন টারগম্যান
সূত্র

এটি আমি এটি সন্ধান করতে পেলাম, তবে আমি কোনও উত্তর দেওয়ার আগে স্ট্রেন রেট টেনসারের একটি ডাইরিভেশন জাতীয় আবিষ্কার করার চেষ্টা করছিলাম, কেন এটি নিয়মিত এবং ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স অন্তর্ভুক্ত তা বুঝতে।

— ট্রেভর আর্কিবাল্ড

ধন্যবাদ, আপনার পরামর্শ অনুসারে আমি জ্যামিতি থেকে স্ট্রেন-রেট টেনসর প্রাপ্তির মধ্য দিয়ে গিয়েছিলাম এবং এটি আমাকে অনেক সহায়তা করেছিল।

— অ্যাডাম ওব্রায়ান

আমি @ স্টারগম্যানের সাথে একমত, কারও স্বতন্ত্র অংশের দিকে নজর দেওয়া উচিত নয় তবে এটি ইনটসের প্রসঙ্গে বোঝার চেষ্টা করা উচিত।

নাভিয়ার-স্টোকস-সমীকরণের ( আইনস্টাইন-নোটেশন ব্যবহার করে ) খুব প্রাথমিক সংস্করণটি দেখছেন :

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

এর আসল অংশের আন্ডারব্রেস করা অংশটি আবার লেখা যেতে পারে।

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

যা বাড়ে:

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

প্রতীকী স্বরলিপিতে এটি দেখতে দেখতে পাওয়া উচিত:

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
সূত্র

আমি দুঃখিত :-( এটি আমার উদ্দেশ্য ছিল না

— পিটার - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন 24'15