বস্তুর জ্যামিতির কেন্দ্র সন্ধান করছেন?

Question

2D বা 3 ডি পয়েন্টের একটি সেট দেওয়া:

কোনও বস্তুর জ্যামিতির কেন্দ্র কীভাবে খুঁজে পাবেন?

নিম্নলিখিত চিত্র অনুসারে, জ্যামিতির কেন্দ্র ভর কেন্দ্রের থেকে পৃথক হয় যদি এটি সাধারণ ফর্ম হিসাবে গণের একজাতীয় ঘনত্ব হিসাবে গণনা করা হয়। সমস্যা উপস্থিত হয়, প্রকৃতপক্ষে, তাদের গণনায়। সাধারণত, একটি পদ্ধতির গড় X স্থানাঙ্ক এবং ওয়াই স্থানাঙ্ক পৃথকভাবে অর্থাত, প্রদত্ত পয়েন্টগুলির জন্য গড় অবস্থান খুঁজে পান (এখানে 2D তে)। এটি কোনও বস্তুর প্রতিনিধিত্বকারী পয়েন্টগুলির সেটের জন্য সেন্ট্রয়েড হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। যেমন দেখানো হয়েছে, নীচের প্রান্তে অতিরিক্ত ভার্টেক্সের কারণে , একটি সাধারণ আয়তক্ষেত্রের জন্য ফলাফলের সেন্ট্রয়েড (0.5,0.4) থাকে তবে সঠিক উত্তরটি (0.5,0.5) হয় ।
নোট করুন যে প্রদত্ত উদাহরণটি খুব সাধারণ। আগ্রহের সমস্যাটি 2D তে জটিল আকারের এবং 3 ডি তে অবজেক্টগুলির জন্য যা কেবলমাত্র উল্লম্ব স্থানাঙ্কগুলি উপলব্ধ।
বিটিডাব্লু, একটি দক্ষ গণনা পদ্ধতি আগ্রহী।

কেবলমাত্র উল্লেখ করার জন্য যে আমি কিছু ওয়েব লিঙ্কগুলি যেমন উইকিপিডিয়া যাচাই করেছিলাম তবে আমার বর্তমান সমস্যাটি হ'ল 2D এবং 3 ডি পয়েন্টের একটি গ্রুপ রয়েছে যার জন্য প্রতিনিধি হিসাবে একটি পয়েন্ট সন্ধান করতে চাই। এইভাবে সেন্ট্রয়েড আগ্রহের হয়ে ওঠে। পয়েন্টগুলি কোনও টপোলজিকাল তথ্য ছাড়াই দেওয়া হয়। আপনি তাদের পয়েন্ট মেঘ হিসাবে বিবেচনা করতে পারেন। এখানে বিক্ষোভ এটি পরিষ্কার করার জন্য সরবরাহ করেছিল যে সাধারণত স্থানাঙ্কগুলির গড় পরিচিত (উদাহরণস্বরূপ এই স্ট্যাক ওভারফ্লো প্রশ্নোত্তর দেখুন ) ভুল হতে পারে in

তুলনার জন্য এখানে কিছু বাস্তবায়ন দেওয়া হল:

• এএ = নীচে গৃহীত উত্তর
• চুল = বিন্দুগুলির উত্তল-হাল, অর্থাত্, সোনালি বহুভুজ
• শতাংশ = উইকিপিডিয়া প্রস্তাব এবং আলোচনা centroid এএ বহুভুজ centroid যেমন
• এএ-তে বর্ণিত পললাইনের সেন্টেল = সেন্ট্রয়েড

দৃশ্যত, centlতুলনায় দেওয়া জ্যামিতির জন্য আরও ভাল প্রতিনিধি দেখায় cent। অন্য দু'জন এখানে প্রতিশ্রুতিবদ্ধ দেখায় তবে পয়েন্টগুলি ছড়িয়ে দেওয়া যদি সাধারণভাবে হয় তবে এটি সাধারণত পক্ষপাতদুষ্ট।
এবং এও বিবেচনা করুন যে উত্তল-হালটি সমস্যাটিকে যুক্তিসঙ্গতভাবে সহজ করে তোলে তবে এটি কোনও দীর্ঘস্থায়ী এবং অবস্থানের কোনও সামিমিক অবস্থান ছাড়াই খুব সংক্ষিপ্ত প্রান্ত তৈরি করতে পারে, অর্থাত্ যদি আপনি উভয় ক্ষেত্রেই সাধারণ গড় (যেমন ওজন ছাড়াই) করেন তবে সচেতনতা প্রয়োজন awareness : সম্পূর্ণ বিন্দু (সবুজ) বা উত্তল-হাল হালকা বহুভুজের কোণ (নীল)।

প্রদত্ত পয়েন্টগুলির জন্য ন্যূনতম-অঞ্চল-আয়তক্ষেত্র সন্ধানে একটি অ্যাপ্লিকেশন পাওয়া যাবে ? ।

Comments

এই কাজ করবে? বহুভুজের সেন্ট্রয়েড সন্ধান করছেন? (স্ট্যাকওভারফ্লো)

— blah238

আপনার প্রশ্নটি কি তা আমি নিশ্চিত নই। জ্যামিতির কেন্দ্র বা (সাধারণত সেন্ট্রয়েড) বেয়ারসেন্টার (ভর কেন্দ্রে) থেকে আলাদা হতে পারে। এটি একটি সুপরিচিত সত্য। জ্যামিতির কেন্দ্র গণনা করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। দেখুন: en.wikipedia.org/wiki/Triangle_center , en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Triangle_Centers & faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ।

— দেবদত্ত টেংশে

আপডেটটি পুনরায়: যখন কোনও টপোলজি নেই তখন পয়েন্ট ক্লাউডটি কেবলমাত্র একটি পয়েন্ট ক্লাউড। বহুভুজ বর্গক্ষেত্রের আপনার চিত্রটি প্রযোজ্য নয় (এবং আপনার 'সেন্ট্রয়েড' (০.০,০.৪) কোনও মানক সূত্র থেকে উত্থিত হবে না বলে মনে হয়: সমমিতিটি বর্গের কোনও কেন্দ্রীয় বিন্দুর সাথে মিলিত হওয়ার জন্য দৃ strongly়ভাবে তর্ক করে , 0.5), এটি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়)। দুটি এবং আরও বেশি মাত্রায় পয়েন্ট মেঘের জন্য প্রতিনিধি বা কেন্দ্রীয় অবস্থানগুলি সন্ধানের জন্য কিছু ধারণার জন্য, দয়া করে stats.stackexchange.com/questions/1927 দেখুন ।

— whuber

@ ডেভেলপার, আমি এখন আপনার পয়েন্টটি দেখতে পাচ্ছি, "আয়তক্ষেত্র" এর নীচে আপনার 5 তম বিন্দু (প্রকৃতপক্ষে বহুভুজ) হুবুকারের উত্তর ব্যাখ্যা করার সাথে বহুভুজের তুলনায় ভার্টেক্সের স্থানাঙ্কগুলির একটি গড় গড় গড়ে তোলে।

— blah238

আহা! আমি এই পঞ্চম শীর্ষটি সম্পূর্ণরূপে মিস করেছি, যদিও আমি এরকম কোনও জিনিস খুঁজছিলাম। ভবিষ্যতের পাঠকদের সহায়তা করার জন্য, আমি এটিকে নির্দেশ করতে প্রশ্নটিতে সামান্য সম্পাদনা করেছি। এই সত্যিই বিষয় নিয়ে আলাপ করার পাবেন না, খুব: ঢোকাতে বা বের প্রান্ত বরাবর ছেদচিহ্ন মোছার কিভাবে বহু {লাইন, Gon} হয় পরিবর্তন করতে হবে প্রতিনিধিত্ব , কিন্তু এটা তার সহজাত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য গণনার পরিবর্তন করা উচিত নয়। এই কারণেই দ্বিখণ্ডনের ব্যারেন্সেন্টারের বহুভুজ বা এর সীমানার ব্যারিসেনটারগুলির সাথে প্রায় স্বেচ্ছাসেবী সম্পর্ক থাকতে পারে।

— whuber

Answer 1

প্রতিটি বহুভুজের সর্বনিম্ন চারটি স্বতন্ত্র "কেন্দ্র" থাকে:

• এর উল্লম্বের ব্যারেন্সেন্টার।

• এর প্রান্তগুলির ব্যারিসেন্টার।

• বহুভুজ হিসাবে এর ব্যারেন্সেন্টার।

• একটি জিআইএস-নির্দিষ্ট "কেন্দ্র" লেবেলিংয়ের জন্য দরকারী (সাধারণত অননুমোদিত মালিকানাধীন পদ্ধতি দিয়ে গণনা করা হয়)।

(এগুলি দুর্ঘটনাক্রমে বিশেষ ক্ষেত্রে একত্রিত হতে পারে তবে "জেনেরিক" বহুভুজগুলির জন্য এগুলি স্বতন্ত্র পয়েন্ট are)

সাধারণভাবে একটি "ব্যারিসেন্টার" হ'ল "ভর কেন্দ্র"। ভরটি যেখানে অনুমান করা হয়েছে সেখানে তিন প্রকারের মধ্যে পার্থক্য রয়েছে: এটি হয় সম্পূর্ণরূপে শীর্ষে থাকে, প্রান্তগুলিতে সমানভাবে ছড়িয়ে থাকে, বা বহুভুজের মধ্যেই একসাথে ছড়িয়ে থাকে।

তিনটি বেরিয়েন্সার গণনা করার জন্য সহজ পদ্ধতি বিদ্যমান। একটি পদ্ধতির মূল বিষয়টির উপর নির্ভর করে যে দু'জন জনগোষ্ঠীর বিচ্ছিন্ন ইউনিয়নের ব্যারেন্সেন্টারটি ব্যারিসেনটারগুলির মোট-ভর-ওজনিত গড়। এটি থেকে আমরা সহজেই নিম্নলিখিতগুলি পেতে পারি:

1. দুটি (সমান ওজনযুক্ত) উল্লম্বের বারিসেন্টার তাদের গড়। এটি পৃথকভাবে তাদের স্থানাঙ্কের গড় দ্বারা প্রাপ্ত হয়। জ্যামিতিকভাবে, এটি দুটি রেখাংশকে যুক্ত করে রেখাংশটির মধ্যবিন্দু।

2. Inductively, এর সাধারণ কেন্দ্র এন (সমানভাবে পরিমেয়) ছেদচিহ্ন তাদের স্থানাঙ্ক আলাদাভাবে গড়ে দ্বারা প্রাপ্ত হয়।

3. একটি রেখাংশের বেয়ারসেন্টার এটির মাঝামাঝি। (এটি প্রতিসাম্য দ্বারা স্পষ্ট।)

4. পললাইনটির ব্যারিসেনটার প্রতিটি লাইন বিভাগের মিডপয়েন্টগুলি সন্ধান করে এবং তারপরে অংশটির দৈর্ঘ্যকে ওজন হিসাবে ব্যবহার করে তাদের ওজন গড়ে গড়ে তোলা হয় ing

   উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্ট (0,0), (6,0), (6,12) দ্বারা বর্ণিত "এল" আকৃতিটি বিবেচনা করুন। দুটি বিভাগ আছে: একটির দৈর্ঘ্যের 6 এর মধ্যম পয়েন্ট ((0 + 0) / 2, (0 + 6) / 2) = (3,0) এবং 12 এর দৈর্ঘ্যের আরেকটি মিডপয়েন্ট সহ ((6 + 6) / 2, (0 + 12) / 2) = (6,6)। তাদের দৈর্ঘ্য-ওজনিত গড় স্থানাঙ্কগুলি তাই (x, y) সহ

   x = (6*3 + 12*6) / (6+12) = 5,  y = (6*0 + 12*6) / (6+12) = 4.
   

   এটি তিনটি শীর্ষ কোণের ব্যারিসেনটার থেকে পৃথক, যা ((0 + 6 + 6) / 3, (0 + 0 + 12) / 3) = (4,4)।

   ( অন্য উদাহরণ হিসাবে সম্পাদনা করুন , প্রশ্নের চিত্রটি বিবেচনা করুন, যদিও এটি আকৃতির বর্গক্ষেত্রটি পয়েন্টগুলির ক্রম (0,0), (1 / 2,0), (1,0) দ্বারা নির্ধারিত পেন্টাগন হিসাবে উপস্থাপিত হয়েছে , (1,1), (0,1) .দু পক্ষের দৈর্ঘ্য 1/2, 1/2, 1, 1, 1 এবং মিডপয়েন্টগুলি (1 / 4,0), (3 / 4,0), (1 , 1/2), (1 / 2,1) এবং (0,1 / 2) যথাক্রমে Their তাদের ওজনযুক্ত গড় সমান

   [(1/2)*(1/4, 0) + (1/2)*(3/4, 0) + (1)*(1, 1/2) + (1)*(1/2, 1) + (1)*(0, 1/2)] / (1/2+1/2+1+1+1)
   = (2/4, 2/4) = (0.5, 0.5)
   

   যেমন কেউ আশা করতে পারে, যদিও একাভাবে উল্লম্বের ব্যারিসেনটার (উপরে # 2 তে গণনা করা হয়েছে) (০.০, ০.৪)।)

5. বহুভুজের ব্যারেন্সেন্টারটি ত্রিভুজগুলিতে পচে যাওয়ার জন্য এটি ত্রিভুজ দ্বারা পাওয়া যায়। একটি ত্রিভুজ-কো-বহুভুজের ব্যারিসেনটার এর শিখরের ব্যারিসেনটারের সাথে মিলে যায়। এই ব্যারিয়েন্সটারগুলির ক্ষেত্রফলিত গড় ত্রিভুজ অঞ্চলগুলি তাদের ভার্টেক্স সমন্বয়গুলির ক্ষেত্রে সহজেই গণনা করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, উভয় পক্ষের দুটির সংশ্লেষের পণ্যটির ক্ষেত্রে)। স্বাক্ষরিত (ইতিবাচক বা নেতিবাচক) ক্ষেত্রগুলি কীভাবে শোষণ করতে হবে সহ এ জাতীয় অঞ্চল গণনার উদাহরণের জন্য, আমার (পুরানো) কোর্সের নোট পৃষ্ঠাতে "অঞ্চল" বিভাগটি দেখুন ।

   ( উদাহরণস্বরূপ প্রশ্নের মধ্যে অঙ্কিত বহুভুজটি বিবেচনা করুন We আমরা এটিকে বাম দিকে ত্রিভুজগুলি ((0,0), (1 / 2,0), (0,1)) দিয়ে ত্রিভুজ করতে পারি, ((0,1), (1 / 2,0), (1,1%) মাঝখানে এবং ডানদিকে ((1,1), (1,0), (1 / 2,0%) তাদের অঞ্চলগুলি 1/4 , যথাক্রমে 1/2, 1/4 এবং তাদের বেয়ারসেন্টারগুলি - তাদের শীর্ষকোষের গড় দ্বারা প্রাপ্ত - - (1 / 6,1 / 3), (1 / 2,2 / 3), এবং (5 / 6,1 / 3) যথাক্রমে এই ব্যারেন্টারগুলির ক্ষেত্রফলযুক্ত গড় সমান

   [(1/4)*(1/6,1/3) + (1/2)*(1/2,2/3) + (1/4)*(5/6,1/3)] / (1/4 + 1/2 + 1/4)
   = (12/24, 6/12)
   = (0.5, 0.5)
   

   নীচের প্রান্তে পঞ্চম শীর্ষটি উপস্থিত থাকা সত্ত্বেও এটি হওয়া উচিত))

এটি স্পষ্ট যে এই প্রতিটি পদ্ধতির দক্ষ : এটি প্রতিটি পদক্ষেপে (মোটামুটি সামান্য) ধ্রুবক সময় ব্যবহার করে বহুভুজের "স্প্যাগেটি" উপস্থাপনের জন্য কেবল একটি একক পাস প্রয়োজন। মনে রাখবেন যে প্রথম (খাঁটি বিশিষ্ট) ব্যতীত অন্য সকল ক্ষেত্রে , ভার্টেক্সের স্থানাঙ্কগুলির একটি তালিকা ছাড়াও আরও তথ্যের প্রয়োজন: আপনার পাশাপাশি চিত্রের টপোলজিও জানতে হবে। "এল" উদাহরণে, আমাদের জানতে হবে যে (0,0) (6,0) এর সাথে সংযুক্ত ছিল এবং উদাহরণস্বরূপ (6,12) এর সাথে নয়।

এগুলি সব ইউক্লিডিয়ান ধারণা। এগুলি বিভিন্ন উপায়ে গোলকের (বা উপবৃত্তাকার) প্রসারিত হতে পারে। সরলরূপে তিনটি (ইউক্যালিডিয়ান) মাত্রায় সরল জটিল হিসাবে বৈশিষ্ট্যগুলি দেখেন, উপযুক্ত ব্যারেন্সেন্টার গণনা করেন এবং তারপরে এটি উপবৃত্তাকার কেন্দ্র থেকে বাহিরের দিকে পৃষ্ঠতলের দিকে প্রজেক্ট করেন। এর জন্য কোনও নতুন ধারণা বা সূত্রের প্রয়োজন নেই; আপনাকে কেবল প্রথম দুটি স্থানাঙ্ক ছাড়াও তৃতীয় (z) সমন্বয় নিয়ে কাজ করতে হবে। (অঞ্চলগুলি এখনও বহু সংখ্যক কড়া পণ্য ব্যবহার করে পাওয়া যায়))

আরেকটি সাধারণীকরণ স্বীকৃতি জানায় যে ইউক্লিডিয়ান মেট্রিক - পাইথাগোরাস অনুসারে একটি বর্গক্ষেত্রের বর্গমূল - পি> = 1 এর জন্য অন্যান্য এলপি মেট্রিকগুলিতে পরিবর্তিত হতে পারে : আপনি pth শক্তির যোগফলের pth মূল গ্রহণ করেন। যথাযথ "ব্যারেন্সেন্টার" সন্ধান করা এখন আর সহজ নয়, কারণ উপরে উত্সাহিত সুন্দর অ্যাডিটিভ বৈশিষ্ট্যগুলি (ব্যারিসেন্টারগুলি একটি চিত্রের সহজ অংশগুলির ব্যারিসেনটারগুলির গড় গড়) আর সাধারণভাবে ধরে থাকে না। প্রায়শই, পুনরাবৃত্তির আনুমানিক সংখ্যাসূচক সমাধানগুলি পেতে হয়। তারা এমনকি অনন্য হতে পারে না।

অতিরিক্ত কেন্দ্রগুলি বিভিন্ন উদ্দেশ্যে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে । ত্রিভুজগুলির বহুবিধ কেন্দ্র রয়েছে যা বহুভুজগুলিতে (কিছুটা) সাধারণীকরণ করতে পারে: সুন্নতকেন্দ্রের কেন্দ্র, (কিছু) সর্বাধিক বৃত্তের কেন্দ্র, নূন্যতম-ক্ষেত্রের সীমানা উপবৃত্তের কেন্দ্র এবং অন্যান্য। যে কোনও সেট বিভিন্ন "হাল," যেমন উত্তল হলের মতো, এবং প্রাপ্ত হলের কেন্দ্রগুলিতে আবদ্ধ থাকতে পারে।

নোট করুন যে এই "কেন্দ্র "গুলির অনেকগুলি একটি বহুভুজের অভ্যন্তরের মধ্যে অগত্যা অবস্থিত নয়। ( উত্তল বহুভুজের যে কোনও যুক্তিসঙ্গত কেন্দ্র তার অভ্যন্তরের অভ্যন্তরেই থাকবে))

বিভিন্ন ধরণের পদ্ধতির এবং সমাধানগুলি ইঙ্গিত দেয় যে "জ্যামিতির কেন্দ্র" বা নিছক "কেন্দ্র" এর মতো জেনেরিক শব্দটি সম্পর্কে সতর্ক হওয়া উচিত: এটি যে কোনও বিষয়েই হতে পারে।

Comments

সম্প্রদায়ের কাছে: 'হুশহু' থেকে এই জাতীয় উত্তরের উত্তর কেবলমাত্র একটি ভাল প্রশ্নের জন্যই আশা করা যেতে পারে, কারণ তার পছন্দ সম্পর্কে আমার পরিচিতি, সুতরাং, আপনি যদি প্রশ্নটি আকর্ষণীয় বলে মনে করেন তবে আপনিও প্রশ্নটি আপ-আপ করার বিষয়ে মনযোগ দিবেন;)

— বিকাশকারী

আমি এটি কিছুটা ক্ষেত্রে দরকারী বলে মনে করেছি, উত্তর দেওয়ার অনুপ্রেরণা হিসাবে অন্য প্রতিযোগীদের কিছুটা সময় দিতে চাই। আমি এটিকে এখনও গ্রহণযোগ্য একটি গঠনমূলক উত্তর হিসাবে চিহ্নিত করি।

— বিকাশকারী

আপনি কি ব্যাখ্যা করতে পারেন যে কেন একটি ক্ষেত্রের মধ্যে জোড় পণ্য ব্যবহার করে অঞ্চলগুলি এখনও পাওয়া যায়? গোলাকার ত্রিভুজ অঞ্চলটি কি আরও উপযুক্ত হবে না? নিকটতম রেফারেন্স (এই চমত্কার উত্তরকে বাদ দিয়ে!) যা আমি পেয়েছি তা হ'ল: jennessent.com/downloads/Graphics_Shapes_Online.pdf - যা গোলক ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলি ব্যবহার করে uses

— জেসন ডেভিস

@Jason আমি চক্রান্তের শিকার করছি: আপনি গোলাকার ত্রিভুজ এলাকায় ব্যবহার গনা উত্থাপন করা না barycenters গোলাকার বৈশিষ্ট্য?

— হোবার

@ শুভল গোলাকার বহুভুজটি গোলাকার ত্রিভুজগুলিতে বিভক্ত হয়ে যায় এবং প্রতিটি ত্রিভুজের ব্যারেন্সেন্টারকে এর শীর্ষকোষের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের গড় দিয়ে গণনা করা হয়। আমি প্রস্তাব দিচ্ছি যে বহুভুজ ব্যারেন্সেন্টার এই ত্রিভুজগুলির ওয়েট গড়, যেখানে ওজনটি গোলাকৃতির ত্রিভুজ অঞ্চল, আপনার পরিকল্পনার ক্ষেত্রটি নয় যেমন আপনি আপনার উত্তরে প্রস্তাব করেছিলেন (ধরে নিলাম আমি ওয়েজ পণ্যটি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি)।

— জেসন ডেভিস 16