যদিও জিওডিক্সগুলি কিছু অনুমানে সাইন ওয়েভগুলির মতো দেখতে কিছুটা হলেও সূত্রটি ভুল।
ইকুয়েরেক্ট্যাঙ্গুলার প্রোজেকশনে এটি একটি জিওডেসিক। স্পষ্টতই এটি একটি সাইন ওয়েভ নয়:
(ব্যাকগ্রাউন্ড চিত্রটি http://upload.wikimedia.org/wikedia/commons/thumb/e/ea/Equirectangular-proication.jpg/800px-Eirectirectangular-project.jpg থেকে নেওয়া হয়েছে ।)
যেহেতু সমস্ত ইকুয়েটার্টাঙ্গুলার প্রজেকশনগুলি এটির একের রূপান্তর (যেখানে এক্স-কো-অর্ডিনেটটি দ্রাঘিমাংশ এবং y- স্থিতিংশটি দ্রাঘিমাংশ হয়), এবং সাইন ওয়েভগুলির অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মেশনগুলি এখনও সাইন ওয়েভস, আমরা কোনও রূপে কোনও জিওডিক্স আশা করতে পারি না সমুদ্রের তরঙ্গ হতে ইক্যুটারেক্টাঙ্গুলার প্রজেকশন (নিরক্ষীয় অঞ্চল বাদে, যা অনুভূমিক রেখা হিসাবে প্লট করে)। সুতরাং আসুন শুরু করা যাক এবং সঠিক সূত্র কাজ।
যেমন একটি জিওডেসিকের সমীকরণটি ফর্মে থাকুক
latitude = f(longitude)
একটি ফাংশন চ সন্ধান করতে। (এই পদ্ধতিটি মেরিডিয়ানদের ইতিমধ্যে ছেড়ে দিয়েছে, যা এ জাতীয় আকারে লেখা যায় না, তবে অন্যথায় সম্পূর্ণ সাধারণ)) 3D কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে রূপান্তর (x, y, z) দেয়
x = cos(l) cos(f(l))
y = sin(l) cos(f(l))
z = sin(f(l))
যেখানে l দ্রাঘিমাংশ এবং একক ব্যাসার্ধ অনুমান করা হয় (সাধারণতার কোনও ক্ষতি ছাড়াই)। যেহেতু গোলকের জিওডিক্সগুলি প্লেনগুলির সাথে ছেদগুলি (এটির কেন্দ্র দিয়ে যেতে হবে), সেখানে অবশ্যই একটি ধ্রুবক ভেক্টর থাকতে হবে (এ, বি, সি) - যা জিওডেসিকের মেরুগুলির মধ্যে নির্দেশিত - যার জন্য
a x + b y + c z = 0
l এর মান কী হবে তা বিবেচ্য নয় । F (l) এর জন্য সলভেশন দেয়
f(l) = ArcTan(-(a cos(l) + b sin(l)) / c)
প্রদত্ত সি ননজারো। স্পষ্টতই, যখন গ পন্থা 0, আমরা সীমা একটি প্রাপ্ত যুগল অবিকল geodesics আমরা গোড়াতেই পরিত্যক্ত - 180 ডিগ্রী দ্বারা বিভিন্নমুখী মেরিডিয়ান। তাই সব ভাল। যাইহোক, উপস্থিতি সত্ত্বেও, এটি / সি এবং বি / সি এর সমান মাত্র দুটি পরামিতি ব্যবহার করে ।
নোট করুন যে সমস্ত জিওডেসিকগুলি শুকনো ডিগ্রি দ্রাঘিমাংশে নিরক্ষীয় অঞ্চল অতিক্রম না করা পর্যন্ত ঘোরানো যেতে পারে। এটি ইঙ্গিত করে যে f (l) f0 (l-l0) এর ক্ষেত্রে লেখা যেতে পারে যেখানে l0 নিরক্ষীয় ক্রসিংয়ের দ্রাঘিমাংশ এবং f0 প্রাইম মেরিডিয়ানের একটি জিওডেসিক ক্রসিংয়ের বহিঃপ্রকাশ। এটি থেকে আমরা সমতুল্য সূত্রটি পাই
f(l) = ArcTan(gamma * sin(l - l0))
যেখানে -180 <= l0 <180 ডিগ্রি নিরক্ষীয় ক্রসিংয়ের দ্রাঘিমাংশ (জিওডাসিক উত্তর গোলার্ধে পূর্ব দিকে যাত্রা করার সময় প্রবেশ করে) এবং গামা একটি ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা। এর মধ্যে মেরিডিয়ান জোড়গুলি অন্তর্ভুক্ত নয়। যখন গামা = 0 এটি দ্রাঘিমাংশকে00 এ প্রারম্ভিক বিন্দুর সাথে নিরক্ষীয় স্থানটিকে মনোনীত করে; আমরা যদি অনন্য প্যারামিটারাইজেশন করতে চাই তবে আমরা সেই ক্ষেত্রে সর্বদা l0 = 0 নিতে পারি। এখনও মাত্র দুটি পরামিতি রয়েছে, এবার এল 0 এবং গামা দ্বারা প্রদত্ত ।
ইমেজটি তৈরি করতে গণিত 8.0 ব্যবহার করা হয়েছিল। প্রকৃতপক্ষে, এটি একটি "গতিশীল ম্যানিপুলেশন" তৈরি করেছে যাতে ভেক্টর (ক, খ, সি) নিয়ন্ত্রণ করা যায় এবং তত্ক্ষণাত সংশ্লিষ্ট জিওডেসিক প্রদর্শিত হয়। (এটি বেশ দুর্দান্ত)) প্রথমে আমরা পটভূমি চিত্রটি পাই:
i = Import[
"http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/\
Equirectangular-projection.jpg/800px-Equirectangular-projection.jpg"]
এখানে সম্পূর্ণরূপে কোডটি রয়েছে:
Manipulate[
{a, b, c} = {Cos[u] Cos[v], Sin[u] Cos[v], Sin[v]};
Show[Graphics[{Texture[i],
Polygon[{{-\[Pi], -\[Pi]/2}, {\[Pi], -\[Pi]/2}, {\[Pi], \[Pi]/2}, {-\[Pi], \[Pi]/2}},
VertexTextureCoordinates -> {{0, 0}, {1, 0}, {1, 1}, {0, 1}}]}],
Plot[ArcTan[(a Cos[\[Lambda]] + b Sin[\[Lambda]]) / (-c)], {\[Lambda], -\[Pi], \[Pi]},
PlotRange -> {Automatic, {-\[Pi]/2, \[Pi]/2}}, PlotStyle -> {Thick, Red}]],
{u, 0, 2 \[Pi]}, {v, -\[Pi]/2, \[Pi]}]
rotation,amplitudeএবংoffset) এর উপর নির্ভর করে যখন বড় চেনাশোনাগুলিতে স্বাভাবিকভাবে কেবল দুটি পরামিতি থাকে (প্রতিটি প্রত্যেকে এর সাথে "পোলার" বিপরীত পয়েন্টের একটি জোড়া সংযুক্ত করে)?