ডিগ্রি সূত্রের দৈর্ঘ্যে মেয়াদ বোঝা?

Question

অনলাইন ক্যালকুলেটর যেমন http://www.csgnetwork.com/degreelenllavcalc.html (পৃষ্ঠা উত্স দেখুন) প্রতি ডিগ্রি মিটার পেতে নীচের সূত্রগুলি ব্যবহার করে। অক্ষাংশের অবস্থানের উপর নির্ভর করে আমি ডিগ্রি প্রতি দূরত্ব কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা আমি সাধারণভাবে বুঝতে পারি, তবে কীভাবে এটি নীচে অনুবাদ হয় তা আমি বুঝতে পারি না। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, প্রতিটি সূত্রে তিনটি "কোস" পদগুলি এবং "লেট" এর সহগগুলি (2, 4, 6; 3, এবং 5) কোথা থেকে এসেছে?

    // Set up "Constants"
    m1 = 111132.92;     // latitude calculation term 1
    m2 = -559.82;       // latitude calculation term 2
    m3 = 1.175;         // latitude calculation term 3
    m4 = -0.0023;       // latitude calculation term 4
    p1 = 111412.84;     // longitude calculation term 1
    p2 = -93.5;         // longitude calculation term 2
    p3 = 0.118;         // longitude calculation term 3

    // Calculate the length of a degree of latitude and longitude in meters
    latlen = m1 + (m2 * Math.cos(2 * lat)) + (m3 * Math.cos(4 * lat)) +
            (m4 * Math.cos(6 * lat));
    longlen = (p1 * Math.cos(lat)) + (p2 * Math.cos(3 * lat)) +
                (p3 * Math.cos(5 * lat));

Comments

একটি বৃত্তে, এম = 0, 1, 2, এর জন্য ফর্ম কোস (এম * এক্স) এর শর্তাবলী ... একচেটিয়া 1, এক্স, এক্স ^ 2, এক্স ^ 3, ... টেলারের জন্য করুন হিসাবে একই ভূমিকা পালন করে লাইনে সিরিজ। আপনি যখন এই সাজানোর সম্প্রসারণ দেখেন আপনি এটিকে একইভাবে ভাবতে পারেন: প্রতিটি পদ একটি ফাংশনে একটি উচ্চতর-অর্ডারের কাছাকাছি দেয়। সাধারণত এই ধরনের ত্রিকোণমিতিক সিরিজ অসীম হয়; তবে ব্যবহারিক ব্যবহারের সাথে সাথে আনুমানিক ত্রুটি গ্রহণযোগ্য হওয়ার সাথে সাথে এগুলি কেটে ফেলা যায়। এই জাতীয় কিছু প্রযুক্তি প্রতিটি জিআইএসের আওতায় রয়েছে কারণ অনেকগুলি স্পেরয়েডাল অনুমান এই জাতীয় সিরিজ ব্যবহার করে গণনা করা হয়।

— whuber

দূরত্ব গণনা করার জন্য এটি খুব দরকারী যেখানে অক্ষাংশের রেখার মধ্যকার দূরত্ব পৃথক হয়, অন্যদিকে যদি আপনার ওভারলে হিসাবে x, y গ্রিড থাকে তবে কোনও

টিপ: এর জন্য রেডিয়ান ব্যবহার করতে ভুলবেন না lat(যদিও ফলাফল পরিবর্তনশীল latlenএবং longlenডিগ্রি প্রতি মিটারে থাকে, রেডিয়ান প্রতি মিটার নয়)। আপনি যদি ডিগ্রি ব্যবহার করেন তবে আপনি এর জন্য latএকটি নেতিবাচক মান দিয়ে শেষ করতে পারেন longlen।

— লুক হ্যাচিসন

Answer 1

ডাব্লুজিএস ৮৪ স্পেরয়েডের মূল ব্যাসার্ধটি একটি = 78৩7 meters১13 its in মিটার এবং এর বিপরীতমুখী সমতলতা f = 298.257223563 হয়, যেখানে বর্গাকার অদ্বিতীয়ত

e2 = (2 - 1/f)/f = 0.0066943799901413165.

অক্ষাংশ এ বক্রতার মধ্যরেখাবস্থিত ব্যাসার্ধ Phi হয়

M = a(1 - e2) / (1 - e2 sin(phi)^2)^(3/2)

এবং সমান্তরাল বক্ররেখা ব্যাসার্ধ হয়

N = a / (1 - e2 sin(phi)^2)^(1/2)

তদুপরি, সমান্তরাল ব্যাসার্ধ হয়

r = N cos(phi)

এগুলো গোলাকার মান গুণনশীল সংশোধন করা হয় এম এবং এন , এই দুই ধরনের গোলাকার ব্যাসার্ধ সমান একটি , যা তারা যখন E2 = 0 কমাতে।

45 ডিগ্রি উত্তর অক্ষাংশের হলুদ বিন্দুতে, ব্যাসার্ধ এম এর নীল ডিস্কটি মেরিডিয়ানের দিকের দোলক ("চুম্বন") বৃত্ত এবং রেডিয়াস এন এর লাল ডিস্কটি সমান্তরালটির দিকের দোলক বৃত্ত: উভয়ই ডিস্কগুলিতে এই সময়ে "ডাউন" দিক থাকে। এই চিত্রটি দুটি প্রশস্ততার অর্ডার দ্বারা পৃথিবীর সমতলকরণকে অতিরঞ্জিত করে।

বক্রতার ব্যাসার্ধ ডিগ্রী লেন্থ নির্ধারণ: যখন একটি বৃত্ত একটি ব্যাসার্ধ রয়েছে আর , দৈর্ঘ্য 2 পাই আর কভার 360 ডিগ্রি তার ঘের, কোথা এক ডিগ্রি দৈর্ঘ্য পাই * আর / 180. বদলে হয় এম এবং দ জন্য আর - - অর্থাৎ, এম এবং আর পি / 180 দিয়ে গুণ করে - ডিগ্রি দৈর্ঘ্যের জন্য সাধারণ সঠিক সূত্র দেয় ।

এই সূত্রগুলি - যা কেবলমাত্র a এবং f এর প্রদত্ত মানগুলিতে (যা অনেক জায়গায় পাওয়া যায় ) এবং ঘূর্ণনের উপবৃত্ত হিসাবে গোলকটির বর্ণনার উপর ভিত্তি করে - প্রতি 0.6 অংশের মধ্যে প্রশ্নের গণনার সাথে একমত মিলিয়ন (কয়েক সেন্টিমিটার), যা প্রশ্নের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সহগগুলির দৈর্ঘ্যের প্রায় একই ক্রম যা তারা সম্মত তা নির্দেশ করে। (আনুমানিকতা সর্বদা কিছুটা কম থাকে)) প্লটটিতে অক্ষাংশের এক ডিগ্রি দৈর্ঘ্যের তুলনামূলক ত্রুটি কালো এবং দ্রাঘিমাংশটি লাল ছিটানো হয়:

তদনুসারে, আমরা উপরে উল্লিখিত সূত্রগুলির নিকটবর্তী (ট্র্যাঙ্কসেটেড ট্রিগনোমেট্রিক সিরিজের মাধ্যমে) প্রশ্নের গণনাগুলি বুঝতে পারি।

---

অক্ষাংশের ফাংশন হিসাবে এম এবং আর এর জন্য ফুরিয়ার কোসাইন সিরিজ থেকে গুণফলগুলি গণনা করা যেতে পারে । এগুলি e2 এর উপবৃত্তাকারী ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে দেওয়া হয় , যা এখানে পুনরুত্পাদন করা খুব অগোছালো হবে। WGS84 স্পেরয়েডের জন্য, আমার গণনা দেয় calc

  m1 = 111132.95255
  m2 = -559.84957
  m3 = 1.17514
  m4 = -0.00230
  p1 = 111412.87733
  p2 = -93.50412
  p3 = 0.11774
  p4 = -0.000165

(আপনি p4সূত্রটি কীভাবে প্রবেশ করে তা অনুমান করতে পারেন :) :) কোডগুলির পরামিতিগুলির সাথে এই মানগুলির ঘনিষ্ঠতা এই ব্যাখ্যাটির যথার্থতার প্রমাণ দেয়। এই উন্নত আনুমানিকতা সর্বত্র বিলিয়ন প্রতি এক অংশের চেয়ে অনেক বেশি ভাল better

---

এই উত্তরটি পরীক্ষা করতে আমি Rউভয় গণনা সম্পাদনের জন্য কোড সম্পাদন করেছি:

#
# Radii of meridians and parallels on a spheroid.  Defaults to WGS84 meters.
# Input is latitude (in degrees).
#
radii <- function(phi, a=6378137, e2=0.0066943799901413165) {
  u <- 1 - e2 * sin(phi)^2
  return(cbind(M=(1-e2)/u, r=cos(phi)) * (a / sqrt(u))) 
}
#
# Approximate calculation.  Same interface (but no options).
#
m.per.deg <- function(lat) {
  m1 = 111132.92;     # latitude calculation term 1
  m2 = -559.82;       # latitude calculation term 2
  m3 = 1.175;         # latitude calculation term 3
  m4 = -0.0023;       # latitude calculation term 4
  p1 = 111412.84;     # longitude calculation term 1
  p2 = -93.5;         # longitude calculation term 2
  p3 = 0.118;         # longitude calculation term 3

  latlen = m1 + m2 * cos(2 * lat) + m3 * cos(4 * lat) + m4 * cos(6 * lat);
  longlen = p1 * cos(lat) + p2 * cos(3 * lat) + p3 * cos(5 * lat);
  return(cbind(M.approx=latlen, r.approx=longlen))
}
#
# Compute the error of the approximation `m.per.deg` compared to the 
# correct formula and plot it as a function of latitude.
#
phi <- pi / 180 * seq(0, 90, 10)
names(phi) <- phi * 180 / pi
matplot(phi * 180 / pi, 10^6 * ((m.per.deg(phi) - radii(phi) * pi / 180) / 
       (radii(phi) * pi / 180)),
        xlab="Latitude (degrees)", ylab="Relative error * 10^6",lwd=2, type="l")

এর সাথে সঠিক গণনাটি radiiডিগ্রি দৈর্ঘ্যের সারণী প্রিন্ট করতে ব্যবহার করা যেতে পারে in

zapsmall(radii(phi) * pi / 180)

আউটপুটটি মিটারে রয়েছে এবং এর মতো দেখতে (কিছু লাইন সরানো আছে):

          M         r
0  110574.3 111319.49
10 110607.8 109639.36
20 110704.3 104647.09
...
80 111659.9  19393.49
90 111694.0      0.00

---

তথ্যসূত্র

এলএম বুগাইভস্কি এবং জেপি স্নাইডার, মানচিত্রের অনুমান - একটি রেফারেন্স ম্যানুয়াল। টেলর এবং ফ্রান্সিস, 1995. (পরিশিষ্ট 2 এবং পরিশিষ্ট 4)

জেপি স্নাইডার, মানচিত্রের অনুমান - একটি ওয়ার্কিং ম্যানুয়াল। ইউএসজিএস পেশাদার কাগজ 1395, 1987. (অধ্যায় 3)

Comments

আমি জানি না কেন একটি সাধারণ জোড়া সূত্রে এরকম জটিল অনুমান কেন কখনও ব্যবহৃত হবে ...

— whuber

কি পুরো, চমৎকার উত্তর! এটি সঠিক বলে মনে হচ্ছে; এটি বুঝতে এখন আমার এই গণিতটি ঠিক করা উচিত। :)

— ব্রেন্ট 15

@ ব্রেন্ট আপনাকে গণিতটি বুঝতে সাহায্য করার জন্য একটি চিত্র যুক্ত করেছি।

— whuber

Answer 2

এটি হ্যাভারসাইন সূত্র , যদিও একটি বিজোড় উপায়ে প্রকাশ করা হয়েছে।

Comments

এটি পরিষ্কারভাবে হ্যাভারসাইন সূত্র নয়! এটি (সম্পর্কিত সম্পর্কিত) গোলকের জন্য ব্যবহৃত এটির এক ঘৃণ্যতা। এমনকি এটি বিন্যাসের নির্বিচারে জোড়াগুলির মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পায় না, যা হ্যাভারসাইন সূত্রটি (গোলকের উপরে) ব্যবহৃত হয় on

— whuber

অন্য কথায়, হাভারসাইন সূত্রটি মহা-বৃত্তের দূরত্ব গণনা করে, এবং এই সূত্রটি এটির একটি খাঁজকাটা যা আরও নির্ভুলভাবে উপবৃত্তাকার দূরত্ব গণনা করে?

— ব্রেন্ট 21