প্রথমত, কিছু সংজ্ঞা:
একটি বিশেষ সমস্যা তোমার চেয়ে কম সময়ে একটি সমাধান গনা করতে পারেন পি হয় n^kকিছু জন্য k, যেখানে nইনপুট মাপ। উদাহরণস্বরূপ, বাছাই করা যায় n log nযার মধ্যে কম হয় n^2, তাই বাছাই করা বহুপদী সময়।
এনপি-তে একটি সমস্যা রয়েছে যদি এরকম kকিছু থাকে n^kযা আকারের একটি সলিউশন উপস্থিত থাকে যা আপনি বেশিরভাগ সময়ে যাচাই করতে পারেন n^k। গ্রাফের 3-রঙিন নিন: একটি গ্রাফ দেওয়া হলে একটি 3-রঙিন হ'ল (ভার্টেক্স, রঙ) জোড়গুলির একটি তালিকা যা আকারযুক্ত O(n)এবং আপনি সময় যাচাই করতে পারবেন O(m)(বা O(n^2)) সমস্ত প্রতিবেশীর আলাদা আলাদা রঙ আছে কিনা তা। সুতরাং একটি সংক্ষিপ্ত এবং সহজেই যাচাইযোগ্য সমাধান থাকলে গ্রাফটি 3-রঙিন হয়।
এনপি-র সমতুল্য সংজ্ঞাটি হ'ল " পি অলোনমিয়াল সময়ে একটি এন অন্ডেস্টেমিনিস্টিক টিউরিং মেশিন দ্বারা সমাধানযোগ্য সমস্যা "। যদিও এটি আপনাকে নামটি কোথা থেকে এসেছে তা জানায়, এনপি সমস্যাগুলি কেমন তা আপনাকে একই স্বজ্ঞাত অনুভূতি দেয় না।
নোট করুন যে পি এনপির একটি উপসেট: আপনি যদি বহুপাক্ষিক সময়ে একটি সমাধান খুঁজে পেতে পারেন তবে একটি সমাধান রয়েছে যা বহুবারের মধ্যে যাচাই করা যেতে পারে - কেবলমাত্র পরীক্ষা করুন যে প্রদত্ত সমাধানটি আপনি খুঁজে পেতে পারেন তার সমান is
প্রশ্নটি P =? NPআকর্ষণীয় কেন ? এর উত্তরের জন্য প্রথমে একজনকে দেখতে হবে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি কী। সহজভাবে করা,
- একটি সমস্যা এল হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ, যদি (1) এল পি থাকে, এবং (2) এমন একটি অ্যালগরিদম যা এলকে সমাধান করে এনপিতে যে কোনও সমস্যা এল 'র সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে; এটি হ'ল, এল এর উদাহরণ দেওয়া হলে আপনি এল এর একটি দৃষ্টান্ত তৈরি করতে পারেন যার সমাধান রয়েছে এবং কেবল যদি এল এর উদাহরণটির সমাধান থাকে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, এনপি-র প্রতিটি সমস্যা এল 'এ হ্রাসযোগ্য ।
দ্রষ্টব্য যে এল এর উদাহরণটি বহুপাক্ষিক-সময় গণনাযোগ্য এবং এল এর আকারে বহুপাক্ষিক আকার হতে হবে; এইভাবে, বহুবর্ষীয় সময়ে কোনও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সমাধান করা আমাদের সমস্ত এনপি সমস্যার বহুপদী সময় সমাধান দেয় ।
এখানে একটি উদাহরণ রয়েছে: ধরুন আমরা জানি যে গ্রাফগুলিকে 3-রঙ করা একটি এনপি-হার্ড সমস্যা। আমরা প্রমাণ করতে চাই যে বুলিয়ান সূত্রগুলির সন্তুষ্টিযোগ্যতা সিদ্ধান্ত নেওয়াও একটি এনপি-হার্ড সমস্যা।
প্রতিটি ভার্টেক্স v এর জন্য দুটি বুলিয়ান ভেরিয়েবল v_h এবং v_l এবং প্রয়োজনীয়তা (v_h বা v_l) রাখতে হবে: প্রতিটি জোড়ের কেবলমাত্র মান থাকতে পারে {01, 10, 11}, যা আমরা রঙ 1, 2 এবং 3 হিসাবে ভাবতে পারি।
প্রতিটি প্রান্তের জন্য (ইউ, ভি), এর প্রয়োজনীয়তা থাকতে হবে (u_h, u_l)! = (V_h, v_l)। এটাই,
not ((u_h and not u_l) and (v_h and not v_l) or ...)
সমস্ত সমতুল্য কনফিগারেশন এবং শর্তাদি গণনা করা যে এগুলির কোনওটিই ক্ষেত্রে নেই।
ANDএই সমস্ত প্রতিবন্ধকতাগুলিকে একসাথে যুক্ত করা একটি বুলিয়ান সূত্র দেয় যা বহুবর্ষীয় আকার ( O(n+m))। আপনি এটি গণনা করতে বহুপদী সময় লাগে তা পরীক্ষা করতে পারেন: আপনি O(1)প্রতি শীর্ষ প্রান্তে এবং প্রতি প্রান্তে সোজা স্টাফ করছেন ।
আমি যদি বুলিয়ান সূত্রটি তৈরি করেছি তা যদি আপনি সমাধান করতে পারেন তবে আপনি গ্রাফ বর্ণটিও সমাধান করতে পারেন: v_h এবং v_l এর প্রতিটি জুটির জন্য v এর বর্ণটি সেই ভেরিয়েবলের মানগুলির সাথে এক হতে পারে। সূত্রটি তৈরি করে প্রতিবেশীদের সমান রঙ থাকবে না।
অতএব, গ্রাফের 3-রঙিনটি যদি এনপি-সম্পূর্ণ হয়, তবে এটি বুলিয়ান-সূত্র-সন্তুষ্টিযোগ্য।
আমরা জানি যে 3 টি রঙের গ্রাফগুলি এনপি-সম্পূর্ণ; তবে, icallyতিহাসিকভাবে আমরা জানতে পেরেছি যে প্রথমে বুলিয়ান-সার্কিট-সন্তোষজনকতার এনপি-সম্পূর্ণতা দেখিয়ে, এবং তারপরে এটি 3-কালারবিলিটি (চারপাশে অন্য উপায়ের পরিবর্তে) এ হ্রাস করা যায়।