আমি পূর্ণসংখ্যার একটি সেট আছে। আমি গতিশীল প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে সেই সেটটির দীর্ঘতম বর্ধমান অনুচ্ছেদটি সন্ধান করতে চাই ।
উত্তর:
ঠিক আছে, আমি প্রথমে সবচেয়ে সহজ সমাধানটি বর্ণনা করব যা হ'ল (N ^ 2), যেখানে সংগ্রহের আকার এন। এখানে একটি ও (এন লগ এন) সমাধানও রয়েছে, যা আমিও বর্ণনা করব। দক্ষ অ্যালগরিদম বিভাগে এটির জন্য এখানে দেখুন ।
আমি ধরে নিব অ্যারের সূচকগুলি 0 থেকে N - 1 পর্যন্ত হয়। সুতরাং আসুন আমরা DP[i]এলআইএসের দৈর্ঘ্য (দীর্ঘতম বর্ধমান অনুগতি) যা সূচক সহ উপাদানটিতে শেষ হয় তা নির্ধারণ করি i। গণনা করার জন্য DP[i]আমরা সমস্ত সূচকগুলি লক্ষ্য করি j < iএবং উভয়ই পরীক্ষা করি DP[j] + 1 > DP[i]এবং array[j] < array[i](আমরা এটি আরও বাড়িয়ে তুলতে চাই)। যদি এটি সত্য হয় তবে আমরা বর্তমানের সর্বোত্তমটির আপডেট করতে পারি DP[i]। অ্যারের জন্য বৈশ্বিক সর্বোত্তম খুঁজে পেতে আপনি এ থেকে সর্বাধিক মান নিতে পারেন DP[0...N - 1]।
int maxLength = 1, bestEnd = 0;
DP[0] = 1;
prev[0] = -1;
for (int i = 1; i < N; i++)
{
DP[i] = 1;
prev[i] = -1;
for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
if (DP[j] + 1 > DP[i] && array[j] < array[i])
{
DP[i] = DP[j] + 1;
prev[i] = j;
}
if (DP[i] > maxLength)
{
bestEnd = i;
maxLength = DP[i];
}
}
prevআসল ক্রমটি কেবল তার দৈর্ঘ্য নয়, এটি সন্ধান করতে আমি পরে অ্যারে ব্যবহার করতে সক্ষম হয়েছি। bestEndলুপ ব্যবহার করে কেবল পুনরাবৃত্তভাবে ফিরে যান prev[bestEnd]। -1মান থামাতে একটি চিহ্ন।
O(N log N)সমাধান:S[pos]যাকে দৈর্ঘ্যের ক্রমবর্ধমান ক্রম সমাপ্ত হয় এমন ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক pos। Xইনপুট সেটটির প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার মাধ্যমে পুনরাবৃত্তি করুন এবং নিম্নলিখিতগুলি করুন:
যদি X> সর্বশেষ উপাদানটি থাকে Sতবে Xতার শেষে যুক্ত করুন S। এই অত্যাবশ্যক মানে আমরা একটি নতুন বৃহত্তম খুঁজে পেয়েছি LIS।
অন্যথায় ক্ষুদ্রতম উপাদান খুঁজে S, যা >=তুলনায় X, এবং এটি পরিবর্তন X। কারণ Sযে কোনো সময় অনুসারে বাছাই করা হয়, উপাদানের ক্ষেত্রে বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার খুঁজে পাওয়া যেতে পারে log(N)।
মোট রানটাইম - Nপূর্ণসংখ্যা এবং তাদের প্রত্যেকের জন্য বাইনারি অনুসন্ধান - এন * লগ (এন) = ও (এন লগ এন)
এখন আসল উদাহরণটি করা যাক:
পূর্ণসংখ্যা সংগ্রহ:
2 6 3 4 1 2 9 5 8
পদক্ষেপ:
0. S = {} - Initialize S to the empty set
1. S = {2} - New largest LIS
2. S = {2, 6} - New largest LIS
3. S = {2, 3} - Changed 6 to 3
4. S = {2, 3, 4} - New largest LIS
5. S = {1, 3, 4} - Changed 2 to 1
6. S = {1, 2, 4} - Changed 3 to 2
7. S = {1, 2, 4, 9} - New largest LIS
8. S = {1, 2, 4, 5} - Changed 9 to 5
9. S = {1, 2, 4, 5, 8} - New largest LIS
সুতরাং এলআইএসের দৈর্ঘ্য 5(এস এর আকার)।
প্রকৃত পুনর্গঠন করতে LISআমরা আবার একটি প্যারেন্ট অ্যারে ব্যবহার করব। দিন parent[i]সূচকের সাথে উপাদান পূর্বসুরী হতে iমধ্যে LISসূচকের সাথে উপাদান এ বিভক্তি i।
জিনিসগুলি সহজ করে তোলার জন্য, আমরা অ্যারেতে রাখতে পারি S, প্রকৃত পূর্ণসংখ্যা নয়, সেগুলিতে তাদের সূচকগুলি (অবস্থান)। আমরা রাখি না {1, 2, 4, 5, 8}, রাখি {4, 5, 3, 7, 8}।
এটি ইনপুট [4] = 1 , ইনপুট [5] = 2 , ইনপুট [3] = 4 , ইনপুট [7] = 5 , ইনপুট [8] = 8 ।
আমরা যদি সঠিকভাবে প্যারেন্ট অ্যারে আপডেট করি তবে আসল এলআইএস হ'ল:
input[S[lastElementOfS]],
input[parent[S[lastElementOfS]]],
input[parent[parent[S[lastElementOfS]]]],
........................................
এখন গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টিতে - আমরা কীভাবে প্যারেন্ট অ্যারে আপডেট করব? দুটি বিকল্প রয়েছে:
যদি X> সর্বশেষ উপাদানটি থাকে Sতবে parent[indexX] = indexLastElement। এর অর্থ নতুন উপাদানটির পিতামাতাই সর্বশেষ উপাদান। আমরা কেবল Xশেষের দিকে প্রিপেন্ড করি S।
অন্যথায় সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম উপাদানের সূচকটি সন্ধান করুন Sযা এর >=চেয়ে বেশি Xএবং এটিকে পরিবর্তন করুন X। এখানে parent[indexX] = S[index - 1]।
DP[j] + 1 == DP[i]তারপর DP[i]সাথে উন্নত না হয়ে যাবে DP[i] = DP[j] + 1। আমরা অপ্টিমাইজ করার চেষ্টা করছি DP[i]।
[1,2,5,8], অ্যারেতে 1 এর আগে 4 আসে, এলআইএস কীভাবে হতে পারে [1,2,4,5,8]?
[2,3,4,5,8]। সাবধানে পড়ুন - Sঅ্যারে DOES NOTএকটি প্রকৃত অনুক্রম প্রতিনিধিত্ব করে। Let S[pos] be defined as the smallest integer that ends an increasing sequence of length pos.
পেটর মিনচেভের ব্যাখ্যাটি আমার কাছে পরিষ্কার জিনিসগুলিকে সাহায্য করেছিল, তবে আমার যা কিছু ছিল তা বিশ্লেষণ করা আমার পক্ষে কঠিন ছিল, তাই আমি অত্যধিক বর্ণনামূলক পরিবর্তনশীল নাম এবং প্রচুর মন্তব্য দিয়ে পাইথন বাস্তবায়ন করেছি। আমি একটি নিষ্পাপ পুনরাবৃত্ত সমাধান, ও (এন ^ 2) সমাধান এবং ও (এন লগ এন) সমাধান করেছি।
আমি আশা করি এটি অ্যালগরিদমগুলি পরিষ্কার করতে সহায়তা করে!
def recursive_solution(remaining_sequence, bigger_than=None):
"""Finds the longest increasing subsequence of remaining_sequence that is
bigger than bigger_than and returns it. This solution is O(2^n)."""
# Base case: nothing is remaining.
if len(remaining_sequence) == 0:
return remaining_sequence
# Recursive case 1: exclude the current element and process the remaining.
best_sequence = recursive_solution(remaining_sequence[1:], bigger_than)
# Recursive case 2: include the current element if it's big enough.
first = remaining_sequence[0]
if (first > bigger_than) or (bigger_than is None):
sequence_with = [first] + recursive_solution(remaining_sequence[1:], first)
# Choose whichever of case 1 and case 2 were longer.
if len(sequence_with) >= len(best_sequence):
best_sequence = sequence_with
return best_sequence def dynamic_programming_solution(sequence):
"""Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic
programming. This solution is O(n^2)."""
longest_subsequence_ending_with = []
backreference_for_subsequence_ending_with = []
current_best_end = 0
for curr_elem in range(len(sequence)):
# It's always possible to have a subsequence of length 1.
longest_subsequence_ending_with.append(1)
# If a subsequence is length 1, it doesn't have a backreference.
backreference_for_subsequence_ending_with.append(None)
for prev_elem in range(curr_elem):
subsequence_length_through_prev = (longest_subsequence_ending_with[prev_elem] + 1)
# If the prev_elem is smaller than the current elem (so it's increasing)
# And if the longest subsequence from prev_elem would yield a better
# subsequence for curr_elem.
if ((sequence[prev_elem] < sequence[curr_elem]) and
(subsequence_length_through_prev >
longest_subsequence_ending_with[curr_elem])):
# Set the candidate best subsequence at curr_elem to go through prev.
longest_subsequence_ending_with[curr_elem] = (subsequence_length_through_prev)
backreference_for_subsequence_ending_with[curr_elem] = prev_elem
# If the new end is the best, update the best.
if (longest_subsequence_ending_with[curr_elem] >
longest_subsequence_ending_with[current_best_end]):
current_best_end = curr_elem
# Output the overall best by following the backreferences.
best_subsequence = []
current_backreference = current_best_end
while current_backreference is not None:
best_subsequence.append(sequence[current_backreference])
current_backreference = (backreference_for_subsequence_ending_with[current_backreference])
best_subsequence.reverse()
return best_subsequence def find_smallest_elem_as_big_as(sequence, subsequence, elem):
"""Returns the index of the smallest element in subsequence as big as
sequence[elem]. sequence[elem] must not be larger than every element in
subsequence. The elements in subsequence are indices in sequence. Uses
binary search."""
low = 0
high = len(subsequence) - 1
while high > low:
mid = (high + low) / 2
# If the current element is not as big as elem, throw out the low half of
# sequence.
if sequence[subsequence[mid]] < sequence[elem]:
low = mid + 1
# If the current element is as big as elem, throw out everything bigger, but
# keep the current element.
else:
high = mid
return high
def optimized_dynamic_programming_solution(sequence):
"""Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic
programming and binary search (per
http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence). This solution
is O(n log n)."""
# Both of these lists hold the indices of elements in sequence and not the
# elements themselves.
# This list will always be sorted.
smallest_end_to_subsequence_of_length = []
# This array goes along with sequence (not
# smallest_end_to_subsequence_of_length). Following the corresponding element
# in this array repeatedly will generate the desired subsequence.
parent = [None for _ in sequence]
for elem in range(len(sequence)):
# We're iterating through sequence in order, so if elem is bigger than the
# end of longest current subsequence, we have a new longest increasing
# subsequence.
if (len(smallest_end_to_subsequence_of_length) == 0 or
sequence[elem] > sequence[smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]]):
# If we are adding the first element, it has no parent. Otherwise, we
# need to update the parent to be the previous biggest element.
if len(smallest_end_to_subsequence_of_length) > 0:
parent[elem] = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
smallest_end_to_subsequence_of_length.append(elem)
else:
# If we can't make a longer subsequence, we might be able to make a
# subsequence of equal size to one of our earlier subsequences with a
# smaller ending number (which makes it easier to find a later number that
# is increasing).
# Thus, we look for the smallest element in
# smallest_end_to_subsequence_of_length that is at least as big as elem
# and replace it with elem.
# This preserves correctness because if there is a subsequence of length n
# that ends with a number smaller than elem, we could add elem on to the
# end of that subsequence to get a subsequence of length n+1.
location_to_replace = find_smallest_elem_as_big_as(sequence, smallest_end_to_subsequence_of_length, elem)
smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace] = elem
# If we're replacing the first element, we don't need to update its parent
# because a subsequence of length 1 has no parent. Otherwise, its parent
# is the subsequence one shorter, which we just added onto.
if location_to_replace != 0:
parent[elem] = (smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace - 1])
# Generate the longest increasing subsequence by backtracking through parent.
curr_parent = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
longest_increasing_subsequence = []
while curr_parent is not None:
longest_increasing_subsequence.append(sequence[curr_parent])
curr_parent = parent[curr_parent]
longest_increasing_subsequence.reverse()
return longest_increasing_subsequence bisect। একটি অ্যালগরিদম কীভাবে কাজ করে এবং এর পারফরম্যান্সের বৈশিষ্ট্যগুলির একটি প্রদর্শনের জন্য, আমি যতটা সম্ভব জিনিসগুলিকে আদিম রাখতে চেষ্টা করছিলাম।
ডিপি সমাধান সম্পর্কে বলতে, আমি এটা বিস্ময়কর যে কেউ যে ফুল কমে যাবে উল্লেখ পাওয়া অবস্থায় LCS । আপনাকে কেবল আসল ক্রমের অনুলিপি বাছাই করা, সমস্ত অনুলিপি মুছে ফেলা এবং সেগুলির এলসিএস করতে হবে। সিউডোকোডে এটি হ'ল:
def LIS(S):
T = sort(S)
T = removeDuplicates(T)
return LCS(S, T)
এবং পুরো বাস্তবায়ন গোতে লিখিত। সমাধানটির পুনর্গঠন করার প্রয়োজন না থাকলে আপনাকে পুরো এন ^ 2 ডিপি ম্যাট্রিক্স বজায় রাখতে হবে না।
func lcs(arr1 []int) int {
arr2 := make([]int, len(arr1))
for i, v := range arr1 {
arr2[i] = v
}
sort.Ints(arr1)
arr3 := []int{}
prev := arr1[0] - 1
for _, v := range arr1 {
if v != prev {
prev = v
arr3 = append(arr3, v)
}
}
n1, n2 := len(arr1), len(arr3)
M := make([][]int, n2 + 1)
e := make([]int, (n1 + 1) * (n2 + 1))
for i := range M {
M[i] = e[i * (n1 + 1):(i + 1) * (n1 + 1)]
}
for i := 1; i <= n2; i++ {
for j := 1; j <= n1; j++ {
if arr2[j - 1] == arr3[i - 1] {
M[i][j] = M[i - 1][j - 1] + 1
} else if M[i - 1][j] > M[i][j - 1] {
M[i][j] = M[i - 1][j]
} else {
M[i][j] = M[i][j - 1]
}
}
}
return M[n2][n1]
}
নিম্নলিখিত সি ++ বাস্তবায়নে এমন কিছু কোডও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা কলকৃত অ্যারে ব্যবহার করে প্রকৃততম দীর্ঘতম বর্ধনশীল উপক্রম তৈরি করে prev।
std::vector<int> longest_increasing_subsequence (const std::vector<int>& s)
{
int best_end = 0;
int sz = s.size();
if (!sz)
return std::vector<int>();
std::vector<int> prev(sz,-1);
std::vector<int> memo(sz, 0);
int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
memo[0] = 1;
for ( auto i = 1; i < sz; ++i)
{
for ( auto j = 0; j < i; ++j)
{
if ( s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1 )
{
memo[i] = memo[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
if ( memo[i] > max_length )
{
best_end = i;
max_length = memo[i];
}
}
// Code that builds the longest increasing subsequence using "prev"
std::vector<int> results;
results.reserve(sz);
std::stack<int> stk;
int current = best_end;
while (current != -1)
{
stk.push(s[current]);
current = prev[current];
}
while (!stk.empty())
{
results.push_back(stk.top());
stk.pop();
}
return results;
}
কোনও স্ট্যাক ছাড়াই বাস্তবায়ন কেবল ভেক্টরকে বিপরীত করে
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
std::vector<int> LIS( const std::vector<int> &v ) {
auto sz = v.size();
if(!sz)
return v;
std::vector<int> memo(sz, 0);
std::vector<int> prev(sz, -1);
memo[0] = 1;
int best_end = 0;
int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
for (auto i = 1; i < sz; ++i) {
for ( auto j = 0; j < i ; ++j) {
if (s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1) {
memo[i] = memo[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
if(memo[i] > max_length) {
best_end = i;
max_length = memo[i];
}
}
// create results
std::vector<int> results;
results.reserve(v.size());
auto current = best_end;
while (current != -1) {
results.push_back(s[current]);
current = prev[current];
}
std::reverse(results.begin(), results.end());
return results;
}
গতিশীল প্রোগ্রামিং দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্যাটি মূল্যায়নের তিনটি পদক্ষেপ এখানে:
যদি আমরা উদাহরণস্বরূপ sequ 0, 8, 2, 3, 7, 9}, সূচকে বিবেচনা করি:
এখানে কার্যকারী সি ++ 11 কোড রয়েছে:
#include <iostream>
#include <vector>
int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence, size_t index, std::vector<std::vector<int>> &sub) {
if(index == 0) {
sub.push_back(std::vector<int>{sequence[0]});
return 1;
}
size_t longestSubSeq = getLongestIncSub(sequence, index - 1, sub);
std::vector<std::vector<int>> tmpSubSeq;
for(std::vector<int> &subSeq : sub) {
if(subSeq[subSeq.size() - 1] < sequence[index]) {
std::vector<int> newSeq(subSeq);
newSeq.push_back(sequence[index]);
longestSubSeq = std::max(longestSubSeq, newSeq.size());
tmpSubSeq.push_back(newSeq);
}
}
std::copy(tmpSubSeq.begin(), tmpSubSeq.end(),
std::back_insert_iterator<std::vector<std::vector<int>>>(sub));
return longestSubSeq;
}
int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence) {
std::vector<std::vector<int>> sub;
return getLongestIncSub(sequence, sequence.size() - 1, sub);
}
int main()
{
std::vector<int> seq{0, 8, 2, 3, 7, 9};
std::cout << getLongestIncSub(seq);
return 0;
}
এখানে ও (এন ^ 2) অ্যালগোরিদমের একটি স্কালা বাস্তবায়ন রয়েছে:
object Solve {
def longestIncrSubseq[T](xs: List[T])(implicit ord: Ordering[T]) = {
xs.foldLeft(List[(Int, List[T])]()) {
(sofar, x) =>
if (sofar.isEmpty) List((1, List(x)))
else {
val resIfEndsAtCurr = (sofar, xs).zipped map {
(tp, y) =>
val len = tp._1
val seq = tp._2
if (ord.lteq(y, x)) {
(len + 1, x :: seq) // reversely recorded to avoid O(n)
} else {
(1, List(x))
}
}
sofar :+ resIfEndsAtCurr.maxBy(_._1)
}
}.maxBy(_._1)._2.reverse
}
def main(args: Array[String]) = {
println(longestIncrSubseq(List(
0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15)))
}
}
এখানে অন্য ও (এন ^ 2) জাভা বাস্তবায়ন। প্রকৃত উপসর্গ উত্পন্ন করার জন্য কোনও পুনরাবৃত্তি / স্মৃতিচারণ নেই। কেবলমাত্র একটি স্ট্রিং অ্যারে যা প্রতিটি পর্যায়ে আসল এলআইএস এবং প্রতিটি উপাদানের জন্য এলআইএসের দৈর্ঘ্য সংরক্ষণ করার জন্য একটি অ্যারে সঞ্চয় করে। খুব সুন্দর রঙিন। একবার দেখুন:
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
/**
* Created by Shreyans on 4/16/2015
*/
class LNG_INC_SUB//Longest Increasing Subsequence
{
public static void main(String[] args) throws Exception
{
BufferedReader br=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
System.out.println("Enter Numbers Separated by Spaces to find their LIS\n");
String[] s1=br.readLine().split(" ");
int n=s1.length;
int[] a=new int[n];//Array actual of Numbers
String []ls=new String[n];// Array of Strings to maintain LIS for every element
for(int i=0;i<n;i++)
{
a[i]=Integer.parseInt(s1[i]);
}
int[]dp=new int[n];//Storing length of max subseq.
int max=dp[0]=1;//Defaults
String seq=ls[0]=s1[0];//Defaults
for(int i=1;i<n;i++)
{
dp[i]=1;
String x="";
for(int j=i-1;j>=0;j--)
{
//First check if number at index j is less than num at i.
// Second the length of that DP should be greater than dp[i]
// -1 since dp of previous could also be one. So we compare the dp[i] as empty initially
if(a[j]<a[i]&&dp[j]>dp[i]-1)
{
dp[i]=dp[j]+1;//Assigning temp length of LIS. There may come along a bigger LIS of a future a[j]
x=ls[j];//Assigning temp LIS of a[j]. Will append a[i] later on
}
}
x+=(" "+a[i]);
ls[i]=x;
if(dp[i]>max)
{
max=dp[i];
seq=ls[i];
}
}
System.out.println("Length of LIS is: " + max + "\nThe Sequence is: " + seq);
}
}
ডায়নামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে এটি ও (এন ^ 2) এ সমাধান করা যেতে পারে। একই জন্য পাইথন কোডটি এরকম হবে: -
def LIS(numlist):
LS = [1]
for i in range(1, len(numlist)):
LS.append(1)
for j in range(0, i):
if numlist[i] > numlist[j] and LS[i]<=LS[j]:
LS[i] = 1 + LS[j]
print LS
return max(LS)
numlist = map(int, raw_input().split(' '))
print LIS(numlist)
ইনপুট জন্য:5 19 5 81 50 28 29 1 83 23
আউটপুট হবে:[1, 2, 1, 3, 3, 3, 4, 1, 5, 3]
5
আউটপুট তালিকার list_index ইনপুট তালিকার list_index। আউটপুট তালিকার প্রদত্ত তালিকার তালিকা সূচকের মানটি সেই তালিকা_পদ্ধতির জন্য দীর্ঘতম বর্ধমান অনুপাতের দৈর্ঘ্যকে নির্দেশ করে।
এখানে জাভা ও (এনলগন) বাস্তবায়ন
import java.util.Scanner;
public class LongestIncreasingSeq {
private static int binarySearch(int table[],int a,int len){
int end = len-1;
int beg = 0;
int mid = 0;
int result = -1;
while(beg <= end){
mid = (end + beg) / 2;
if(table[mid] < a){
beg=mid+1;
result = mid;
}else if(table[mid] == a){
return len-1;
}else{
end = mid-1;
}
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
// int[] t = {1, 2, 5,9,16};
// System.out.println(binarySearch(t , 9, 5));
Scanner in = new Scanner(System.in);
int size = in.nextInt();//4;
int A[] = new int[size];
int table[] = new int[A.length];
int k = 0;
while(k<size){
A[k++] = in.nextInt();
if(k<size-1)
in.nextLine();
}
table[0] = A[0];
int len = 1;
for (int i = 1; i < A.length; i++) {
if(table[0] > A[i]){
table[0] = A[i];
}else if(table[len-1]<A[i]){
table[len++]=A[i];
}else{
table[binarySearch(table, A[i],len)+1] = A[i];
}
}
System.out.println(len);
}
}
এটি ও (এন ^ 2) এ জাভা বাস্তবায়ন। আমি এস এর ক্ষুদ্রতম এলিমেন্টটি সন্ধান করতে বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করিনি, যা এক্স = এর চেয়ে বেশি = আমি লুপের জন্য একটি ব্যবহার করেছি a বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহারে ও (এন লগন) এ জটিলতা তৈরি হবে
public static void olis(int[] seq){
int[] memo = new int[seq.length];
memo[0] = seq[0];
int pos = 0;
for (int i=1; i<seq.length; i++){
int x = seq[i];
if (memo[pos] < x){
pos++;
memo[pos] = x;
} else {
for(int j=0; j<=pos; j++){
if (memo[j] >= x){
memo[j] = x;
break;
}
}
}
//just to print every step
System.out.println(Arrays.toString(memo));
}
//the final array with the LIS
System.out.println(Arrays.toString(memo));
System.out.println("The length of lis is " + (pos + 1));
}
অ্যারে উপাদানগুলির সাথে দীর্ঘতম বর্ধমান অনুক্রমের জন্য জাভাতে কোডটি চেকআউট করুন
/**
** Java Program to implement Longest Increasing Subsequence Algorithm
**/
import java.util.Scanner;
/** Class LongestIncreasingSubsequence **/
class LongestIncreasingSubsequence
{
/** function lis **/
public int[] lis(int[] X)
{
int n = X.length - 1;
int[] M = new int[n + 1];
int[] P = new int[n + 1];
int L = 0;
for (int i = 1; i < n + 1; i++)
{
int j = 0;
/** Linear search applied here. Binary Search can be applied too.
binary search for the largest positive j <= L such that
X[M[j]] < X[i] (or set j = 0 if no such value exists) **/
for (int pos = L ; pos >= 1; pos--)
{
if (X[M[pos]] < X[i])
{
j = pos;
break;
}
}
P[i] = M[j];
if (j == L || X[i] < X[M[j + 1]])
{
M[j + 1] = i;
L = Math.max(L,j + 1);
}
}
/** backtrack **/
int[] result = new int[L];
int pos = M[L];
for (int i = L - 1; i >= 0; i--)
{
result[i] = X[pos];
pos = P[pos];
}
return result;
}
/** Main Function **/
public static void main(String[] args)
{
Scanner scan = new Scanner(System.in);
System.out.println("Longest Increasing Subsequence Algorithm Test\n");
System.out.println("Enter number of elements");
int n = scan.nextInt();
int[] arr = new int[n + 1];
System.out.println("\nEnter "+ n +" elements");
for (int i = 1; i <= n; i++)
arr[i] = scan.nextInt();
LongestIncreasingSubsequence obj = new LongestIncreasingSubsequence();
int[] result = obj.lis(arr);
/** print result **/
System.out.print("\nLongest Increasing Subsequence : ");
for (int i = 0; i < result.length; i++)
System.out.print(result[i] +" ");
System.out.println();
}
}
ডায়নামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে এটি ও (এন ^ 2) এ সমাধান করা যেতে পারে।
ইনপুট উপাদানগুলি ক্রমে প্রক্রিয়া করুন এবং প্রতিটি উপাদানের জন্য টিপলগুলির একটি তালিকা বজায় রাখুন। প্রতিটি টিউপল (এ, বি), আমি যে উপাদানটির জন্য চিহ্নিত করবো, এ = দীর্ঘতম বর্ধমান সাব-সিকোয়েন্সের দৈর্ঘ্য আই এবং বি = তালিকার পূর্বসূরীর সূচক [i] তালিকার দীর্ঘতম বর্ধমান সাব-সিকোয়েন্সে [i] ]।
উপাদান 1 থেকে শুরু করুন, উপাদান 1 এর টিপলের তালিকা i উপাদানটির জন্য [(1,0)] হবে, তালিকাটি.... i স্ক্যান করুন এবং উপাদান তালিকা [কে] এই জাতীয় তালিকা আবিষ্কার করুন [কে] <তালিকা [আমি] , i উপাদানটির জন্য A এর মান Ai হবে আক + 1 এবং দ্বি হবে কে। যদি এমন একাধিক উপাদান থাকে তবে এগুলিকে i উপাদানগুলির জন্য টিপলগুলির তালিকায় যুক্ত করুন।
শেষের দিকে, তালিকার জন্য টিপলগুলি ব্যবহার করে এ এর সর্বাধিক মান (এলিআইএস সমাপ্তির দৈর্ঘ্য) এবং ব্যাকট্র্যাকের সমস্ত উপাদান সন্ধান করুন।
আমি এর জন্য কোডটি http://www.edufyme.com/code/?id=66f041e16a60928b05a7e228a89c3799 এ ভাগ করেছি
ও (এন ^ 2) জাভা বাস্তবায়ন:
void LIS(int arr[]){
int maxCount[]=new int[arr.length];
int link[]=new int[arr.length];
int maxI=0;
link[0]=0;
maxCount[0]=0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if(arr[j]<arr[i] && ((maxCount[j]+1)>maxCount[i])){
maxCount[i]=maxCount[j]+1;
link[i]=j;
if(maxCount[i]>maxCount[maxI]){
maxI=i;
}
}
}
}
for (int i = 0; i < link.length; i++) {
System.out.println(arr[i]+" "+link[i]);
}
print(arr,maxI,link);
}
void print(int arr[],int index,int link[]){
if(link[index]==index){
System.out.println(arr[index]+" ");
return;
}else{
print(arr, link[index], link);
System.out.println(arr[index]+" ");
}
}
def longestincrsub(arr1):
n=len(arr1)
l=[1]*n
for i in range(0,n):
for j in range(0,i) :
if arr1[j]<arr1[i] and l[i]<l[j] + 1:
l[i] =l[j] + 1
l.sort()
return l[-1]
arr1=[10,22,9,33,21,50,41,60]
a=longestincrsub(arr1)
print(a)
যদিও এমন কোনও উপায় আছে যা দিয়ে আপনি ও (এনলগন) সময়ে এটি সমাধান করতে পারেন (এটি O (n ^ 2) সময়ে সমাধান করে) তবে এখনও এই উপায়টি গতিশীল প্রোগ্রামিং পদ্ধতির দেয় যা খুব ভাল।
বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করে এখানে আমার লেটকোড সমাধান দেওয়া হচ্ছে: ->
class Solution:
def binary_search(self,s,x):
low=0
high=len(s)-1
flag=1
while low<=high:
mid=(high+low)//2
if s[mid]==x:
flag=0
break
elif s[mid]<x:
low=mid+1
else:
high=mid-1
if flag:
s[low]=x
return s
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if not nums:
return 0
s=[]
s.append(nums[0])
for i in range(1,len(nums)):
if s[-1]<nums[i]:
s.append(nums[i])
else:
s=self.binary_search(s,nums[i])
return len(s)
#include <iostream>
#include "vector"
using namespace std;
// binary search (If value not found then it will return the index where the value should be inserted)
int ceilBinarySearch(vector<int> &a,int beg,int end,int value)
{
if(beg<=end)
{
int mid = (beg+end)/2;
if(a[mid] == value)
return mid;
else if(value < a[mid])
return ceilBinarySearch(a,beg,mid-1,value);
else
return ceilBinarySearch(a,mid+1,end,value);
return 0;
}
return beg;
}
int lis(vector<int> arr)
{
vector<int> dp(arr.size(),0);
int len = 0;
for(int i = 0;i<arr.size();i++)
{
int j = ceilBinarySearch(dp,0,len-1,arr[i]);
dp[j] = arr[i];
if(j == len)
len++;
}
return len;
}
int main()
{
vector<int> arr {2, 5,-1,0,6,1,2};
cout<<lis(arr);
return 0;
}
আউটপুট:
4
দীর্ঘতম বর্ধমান উপশক্তি (জাভা)
import java.util.*;
class ChainHighestValue implements Comparable<ChainHighestValue>{
int highestValue;
int chainLength;
ChainHighestValue(int highestValue,int chainLength) {
this.highestValue = highestValue;
this.chainLength = chainLength;
}
@Override
public int compareTo(ChainHighestValue o) {
return this.chainLength-o.chainLength;
}
}
public class LongestIncreasingSubsequenceLinkedList {
private static LinkedList<Integer> LongestSubsequent(int arr[], int size){
ArrayList<LinkedList<Integer>> seqList=new ArrayList<>();
ArrayList<ChainHighestValue> valuePairs=new ArrayList<>();
for(int i=0;i<size;i++){
int currValue=arr[i];
if(valuePairs.size()==0){
LinkedList<Integer> aList=new LinkedList<>();
aList.add(arr[i]);
seqList.add(aList);
valuePairs.add(new ChainHighestValue(arr[i],1));
}else{
try{
ChainHighestValue heighestIndex=valuePairs.stream().filter(e->e.highestValue<currValue).max(ChainHighestValue::compareTo).get();
int index=valuePairs.indexOf(heighestIndex);
seqList.get(index).add(arr[i]);
heighestIndex.highestValue=arr[i];
heighestIndex.chainLength+=1;
}catch (Exception e){
LinkedList<Integer> aList=new LinkedList<>();
aList.add(arr[i]);
seqList.add(aList);
valuePairs.add(new ChainHighestValue(arr[i],1));
}
}
}
ChainHighestValue heighestIndex=valuePairs.stream().max(ChainHighestValue::compareTo).get();
int index=valuePairs.indexOf(heighestIndex);
return seqList.get(index);
}
public static void main(String[] args){
int arry[]={5,1,3,6,11,30,32,5,3,73,79};
//int arryB[]={3,1,5,2,6,4,9};
LinkedList<Integer> LIS=LongestSubsequent(arry, arry.length);
System.out.println("Longest Incrementing Subsequence:");
for(Integer a: LIS){
System.out.print(a+" ");
}
}
}
আমি ডায়নামিক প্রোগ্রামিং এবং মেমোয়েজেশন ব্যবহার করে জাভাতে এলআইএস প্রয়োগ করেছি। কোডের সাথে আমি জটিলতার গণনা করেছি কেননা এটি ও (এন লগ (বেস 2) এন)। আমি যেমন মনে করি তাত্ত্বিক বা যৌক্তিক ব্যাখ্যাগুলি ভাল তবে ব্যবহারিক বিক্ষোভ সবসময় বোঝার জন্য ভাল।
package com.company.dynamicProgramming;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
public class LongestIncreasingSequence {
static int complexity = 0;
public static void main(String ...args){
int[] arr = {10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80};
int n = arr.length;
Map<Integer, Integer> memo = new HashMap<>();
lis(arr, n, memo);
//Display Code Begins
int x = 0;
System.out.format("Longest Increasing Sub-Sequence with size %S is -> ",memo.get(n));
for(Map.Entry e : memo.entrySet()){
if((Integer)e.getValue() > x){
System.out.print(arr[(Integer)e.getKey()-1] + " ");
x++;
}
}
System.out.format("%nAnd Time Complexity for Array size %S is just %S ", arr.length, complexity );
System.out.format( "%nWhich is equivalent to O(n Log n) i.e. %SLog(base2)%S is %S",arr.length,arr.length, arr.length * Math.ceil(Math.log(arr.length)/Math.log(2)));
//Display Code Ends
}
static int lis(int[] arr, int n, Map<Integer, Integer> memo){
if(n==1){
memo.put(1, 1);
return 1;
}
int lisAti;
int lisAtn = 1;
for(int i = 1; i < n; i++){
complexity++;
if(memo.get(i)!=null){
lisAti = memo.get(i);
}else {
lisAti = lis(arr, i, memo);
}
if(arr[i-1] < arr[n-1] && lisAti +1 > lisAtn){
lisAtn = lisAti +1;
}
}
memo.put(n, lisAtn);
return lisAtn;
}
}
আমি উপরের কোডটি দৌড়ানোর সময় -
Longest Increasing Sub-Sequence with size 6 is -> 10 22 33 50 60 80
And Time Complexity for Array size 9 is just 36
Which is equivalent to O(n Log n) i.e. 9Log(base2)9 is 36.0
Process finished with exit code 0