আমি এখানে সহজ শর্তে এটি ব্যাখ্যা করার জন্য যথাসাধ্য চেষ্টা করব, তবে সতর্ক হতে হবে যে এই বিষয়টি আমার শিক্ষার্থীদের অবশেষে উপলব্ধি করতে কয়েক মাস সময় নেয়। আপনি জাভা বইয়ের ডেটা স্ট্রাকচার এবং অ্যালগরিদমের দ্বিতীয় অধ্যায়টিতে আরও তথ্য পেতে পারেন ।
বিগহহ পাওয়ার জন্য কোনও যান্ত্রিক পদ্ধতি নেই ।
"কুকবুক" হিসাবে কোনও কোডের টুকরো থেকে বিগহ পেতে আপনার প্রথমে বুঝতে হবে যে আপনি কোনও আকারের একটি ইনপুট দেওয়ার মাধ্যমে গণনার কতগুলি পদক্ষেপ কার্যকর করা হয় তা গণনা করার জন্য একটি গণিত সূত্র তৈরি করছেন।
উদ্দেশ্যটি সহজ: কোডটি কার্যকর করার প্রয়োজন ছাড়াই একটি তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে অ্যালগরিদমগুলির তুলনা করা। পদক্ষেপের সংখ্যা যত কম, অ্যালগরিদম তত দ্রুত।
উদাহরণস্বরূপ, আসুন ধরা যাক আপনার কাছে কোডের এই টুকরা রয়েছে:
int sum(int* data, int N) {
int result = 0; // 1
for (int i = 0; i < N; i++) { // 2
result += data[i]; // 3
}
return result; // 4
}
এই ফাংশনটি অ্যারের সমস্ত উপাদানগুলির যোগফল প্রদান করে এবং আমরা সেই ফাংশনের গণ্য জটিলতা গণনা করার জন্য একটি সূত্র তৈরি করতে চাই :
Number_Of_Steps = f(N)
সুতরাং আমাদের আছে f(N)একটি গণনামূলক পদক্ষেপের সংখ্যা গণনা একটি ফাংশন। ফাংশনটির ইনপুটটি প্রক্রিয়া করার কাঠামোর আকার। এর অর্থ এই যে এই ফাংশনটিকে বলা হয়:
Number_Of_Steps = f(data.length)
প্যারামিটারটি মান Nনেয় data.length। এখন আমাদের ফাংশনটির আসল সংজ্ঞা দরকার f()। এটি উত্স কোড থেকে করা হয়, যাতে প্রতিটি আকর্ষণীয় লাইনটি 1 থেকে 4 পর্যন্ত সংখ্যাযুক্ত হয়।
বিগহহ গণনা করার অনেকগুলি উপায় রয়েছে। এই বিন্দু থেকে আমরা ধরে নিতে চলেছি যে ইনপুট ডেটার আকারের উপর নির্ভর করে না এমন প্রতিটি বাক্য একটি ধ্রুবক Cসংখ্যার গণ্য পদক্ষেপ গ্রহণ করে।
আমরা ফাংশনের পৃথক সংখ্যক পদক্ষেপ যুক্ত করতে যাচ্ছি, এবং স্থানীয় ভেরিয়েবল ঘোষণা বা রিটার্ন বিবৃতি উভয়ই dataঅ্যারের আকারের উপর নির্ভর করে না ।
এর অর্থ হ'ল লাইন 1 এবং 4 প্রতিটি সি পরিমাণে পদক্ষেপ নেয় এবং ফাংশনটি কিছুটা এরকম:
f(N) = C + ??? + C
পরবর্তী অংশটি হ'ল forবিবৃতিটির মান নির্ধারণ করা । মনে রাখবেন যে আমরা গণনা সংক্রান্ত পদক্ষেপের সংখ্যা গণনা করছি, যার অর্থ হল যে forবিবৃতিটির শৃঙ্খলা Nবার হয়ে যায়। যে যোগ হিসাবে একই C, Nসময়:
f(N) = C + (C + C + ... + C) + C = C + N * C + C
মৃতদেহের কতবার forমৃত্যুদন্ড কার্যকর হয় তা গণনা করার কোনও যান্ত্রিক নিয়ম নেই, কোডটি কী করে তা দেখে আপনাকে এটি গণনা করতে হবে। গণনা সহজ করার জন্য, আমরা ভেরিয়েবলের সূচনা, শর্ত এবং forবিবৃতিটির বর্ধিত অংশগুলি উপেক্ষা করছি parts
আসল বিগহো পেতে আমাদের ফাংশনটির অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণ প্রয়োজন । এটি মোটামুটি এভাবে করা হয়:
- সমস্ত প্রতিবন্ধকতা সরিয়ে নিন
C।
- এর
f()মধ্যে পলিনোমিয়াম পান standard form।
- পলিনোমিয়ামের শর্তাদি বিভক্ত করুন এবং বৃদ্ধির হার অনুসারে এগুলি সাজান।
Nকাছে যাওয়ার সময় সেটিকে বড় রাখুন infinity।
আমাদের f()দুটি পদ রয়েছে:
f(N) = 2 * C * N ^ 0 + 1 * C * N ^ 1
সমস্ত Cধ্রুবক এবং অপ্রয়োজনীয় অংশগুলি কেড়ে নেওয়া:
f(N) = 1 + N ^ 1
যেহেতু শেষ শব্দটি সেইটি হ'ল যা বড় হয় যখন f()অনন্তের কাছে যায় ( সীমা বিবেচনা করুন ) এটিই বিগহ যুক্তি, এবং sum()ফাংশনটির একটি বিগহো আছে:
O(N)
কিছু চতুর বেশী সমাধান করতে কয়েক ঠাট আছেন: ব্যবহার summations যখনই আপনি করতে পারেন।
উদাহরণস্বরূপ, সংকেতগুলি ব্যবহার করে এই কোডটি সহজেই সমাধান করা যেতে পারে:
for (i = 0; i < 2*n; i += 2) { // 1
for (j=n; j > i; j--) { // 2
foo(); // 3
}
}
আপনাকে প্রথমে যেটি জিজ্ঞাসা করতে হবে তা হ'ল মৃত্যুদণ্ড কার্যকর করার আদেশ foo()। স্বাভাবিক হওয়া উচিত O(1), আপনার এটি সম্পর্কে আপনার অধ্যাপকদের জিজ্ঞাসা করা উচিত। O(1)মানে (প্রায়, বেশিরভাগ) ধ্রুবক C, আকারের চেয়ে পৃথক N।
forবাক্য এক নম্বর উপর বিবৃতি চতুর হয়। সূচকটি শেষ হওয়ার পরে 2 * N, বৃদ্ধি দুটি দ্বারা সম্পন্ন হয়। এর অর্থ হ'ল প্রথমটি forকেবলমাত্র Nপদক্ষেপগুলি কার্যকর করা হয় এবং আমাদের গণনাটিকে দুটি দ্বারা ভাগ করতে হবে।
f(N) = Summation(i from 1 to 2 * N / 2)( ... ) =
= Summation(i from 1 to N)( ... )
দুটি সংখ্যা বাক্যটি আরও জটিল কারণ এটির মান নির্ভর করে i। একবার দেখুন: সূচক আমি মানগুলি গ্রহণ করি: 0, 2, 4, 6, 8, ..., 2 * এন, এবং দ্বিতীয়টি forকার্যকর করা হয়: এন প্রথম বার, এন - 2 দ্বিতীয়, এন - 4 তৃতীয় ... এন / 2 পর্যায় পর্যন্ত, যার উপর দ্বিতীয়টি forকখনই কার্যকর হয় না।
সূত্রে, এর অর্থ:
f(N) = Summation(i from 1 to N)( Summation(j = ???)( ) )
আবার, আমরা পদক্ষেপের সংখ্যা গণনা করছি । এবং সংজ্ঞা অনুসারে, প্রতিটি সংমিশ্রণ সর্বদা এক থেকে শুরু হওয়া উচিত, এবং একের চেয়ে বড় বা সমান সংখ্যায় শেষ হওয়া উচিত।
f(N) = Summation(i from 1 to N)( Summation(j = 1 to (N - (i - 1) * 2)( C ) )
(আমরা ধরে নিচ্ছি যে foo()এটি রয়েছে O(1)এবং Cপদক্ষেপ নিয়েছে))
আমাদের এখানে একটি সমস্যা রয়েছে: যখন iমানটি N / 2 + 1উপরের দিকে নিয়ে যায়, তখন অভ্যন্তরীণ সমীকরণটি নেতিবাচক সংখ্যায় শেষ হয়! এটা অসম্ভব এবং ভুল। আমরা দুই সঙ্কলন বিভক্ত করতে কেঁদ্রগত বিন্দু মুহূর্ত হচ্ছে প্রয়োজন, iলাগে N / 2 + 1।
f(N) = Summation(i from 1 to N / 2)( Summation(j = 1 to (N - (i - 1) * 2)) * ( C ) ) + Summation(i from 1 to N / 2) * ( C )
মূল মুহুর্ত থেকে i > N / 2, অভ্যন্তরটি forকার্যকর হবে না, এবং আমরা এর শরীরে একটি ধ্রুবক সি প্রয়োগকারী জটিলতা ধরে নিচ্ছি।
এখন কিছু পরিচয়ের নিয়ম ব্যবহার করে সংক্ষেপগুলি সরল করা যেতে পারে:
- সংমিশ্রণ (ডাব্লু থেকে এন থেকে) (সি) = এন * সি
- সংমিশ্রণ (ডাব্লু থেকে এন থেকে) (এ (+/-) বি) = সংশ্লেষ (ডাব্লু থেকে 1 থেকে এন) (এ) (+/-) সমষ্টি (ডাব্লু থেকে 1 থেকে এন) (বি)
- সংমিশ্রণ (ডাব্লু থেকে এন থেকে) (ডাব্লু * সি) = সি * সমষ্টি (ডাব্লু থেকে 1 থেকে এন) (ডাব্লু) (সি একটি স্থির, এর থেকে পৃথক
w)
- সংমিশ্রণ (ডাব্লু থেকে এন থেকে) (ডাব্লু) = (এন * (এন + 1)) / 2
কিছু বীজগণিত প্রয়োগ করা:
f(N) = Summation(i from 1 to N / 2)( (N - (i - 1) * 2) * ( C ) ) + (N / 2)( C )
f(N) = C * Summation(i from 1 to N / 2)( (N - (i - 1) * 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (Summation(i from 1 to N / 2)( N ) - Summation(i from 1 to N / 2)( (i - 1) * 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * Summation(i from 1 to N / 2)( i - 1 )) + (N / 2)( C )
=> Summation(i from 1 to N / 2)( i - 1 ) = Summation(i from 1 to N / 2 - 1)( i )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * Summation(i from 1 to N / 2 - 1)( i )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * ( (N / 2 - 1) * (N / 2 - 1 + 1) / 2) ) + (N / 2)( C )
=> (N / 2 - 1) * (N / 2 - 1 + 1) / 2 =
(N / 2 - 1) * (N / 2) / 2 =
((N ^ 2 / 4) - (N / 2)) / 2 =
(N ^ 2 / 8) - (N / 4)
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * ( (N ^ 2 / 8) - (N / 4) )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - ( (N ^ 2 / 4) - (N / 2) )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - (N ^ 2 / 4) + (N / 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + C * (N / 2) + C * (N / 2)
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + 2 * C * (N / 2)
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + C * N
f(N) = C * 1/4 * N ^ 2 + C * N
এবং বিগহ হ'ল:
O(N²)
