ট্রাইগনোমেট্রিক ফাংশনগুলি কীভাবে কাজ করে?

Question

সুতরাং উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিত এবং সম্ভবত কলেজে আমাদের শিখানো হয় কীভাবে ট্রিগ ফাংশন ব্যবহার করা যায়, তারা কী করে এবং কী ধরণের সমস্যা তারা সমাধান করে। তবে সেগুলি সবসময় আমার কাছে একটি কালো বাক্স হিসাবে উপস্থাপিত হয়েছে। আপনার যদি কোনও কিছুর সাইন বা কোসিনের প্রয়োজন হয় তবে আপনি আপনার ক্যালকুলেটরটিতে সাইন বা কোস বোতামটি চাপান এবং আপনি সেট হয়ে গেছেন। যা ঠিক আছে।

আমি যেটা ভাবছি তা হ'ল সাধারণত কীভাবে ট্রিগনোমেট্রিক ফাংশন প্রয়োগ করা হয়।

Comments

ট্রিগ ফাংশনগুলি কীভাবে হয় বা কীভাবে সেগুলি প্রয়োগ করা হয় সে সম্পর্কে আপনি কি বিভ্রান্ত?

— কাইল ক্রোনিন

আমি জানি তারা কি। আমি জানি তারা কি করে। আমি জানি কী কারণে আমার কী উদ্দেশ্যে প্রয়োজন তা নির্ধারণ করতে। কোণ এবং দূরত্বের সম্পর্ক সম্পর্কে আমি আপনাকে সব বলতে পারি। জন ডি কুকের উত্তরের লাইনে আমি যা খুঁজছিলাম তা আরও ছিল। এবং অন্য যে কেউ প্রকৃত অ্যালগরিদমের উল্লেখ করেছেন

— জুরাসিক_সি

এটা একটা ভালো প্রশ্ন। উদাহরণস্বরূপ, সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট হ'ল ট্রান্সেন্ডেন্টাল ফাংশন এবং সেগুলি সমাধান করা শক্ত ... অন্যদিকে, এগুলি একটি সাধারণ টেলর সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা কোনও সঠিকতার সীমাবদ্ধতার জন্য সঠিক উত্তরটি আপনাকে দেবে which প্রয়োজন।

— অ্যালেক্স

Answer 1

প্রথমত, আপনাকে কিছু ধরণের রেঞ্জ হ্রাস করতে হবে। ট্রিগ ফাংশনগুলি পর্যায়ক্রমিক হয়, সুতরাং আপনার আর্গুমেন্টগুলি একটি স্ট্যান্ডার্ড ব্যবধানে হ্রাস করতে হবে। প্রারম্ভিকদের জন্য, আপনি কোণগুলি 0 থেকে 360 ডিগ্রির মধ্যে কমিয়ে আনতে পারেন। তবে কয়েকটি পরিচয় ব্যবহার করে আপনি বুঝতে পারবেন যে আপনি কম দিয়ে যেতে পারেন। আপনি যদি 0 থেকে 45 ডিগ্রির মধ্যে কোণগুলির জন্য সাইনস এবং কোসাইনগুলি গণনা করেন তবে আপনি সমস্ত কোণগুলির জন্য সমস্ত ট্রিগার ফাংশন গণনা করার জন্য আপনার বুটস্ট্র্যাপ করতে পারেন।

একবার আপনি আপনার যুক্তি হ্রাস করার পরে, বেশিরভাগ চিপগুলি সাইনস এবং কোসাইনগুলি গণনা করতে একটি কর্ডিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করে। আপনি লোকেরা শুনতে পাচ্ছেন যে কম্পিউটারগুলি টেলর সিরিজ ব্যবহার করে। এটি যুক্তিসঙ্গত মনে হলেও এটি সত্য নয়। কর্ডিক অ্যালগরিদমগুলি দক্ষ হার্ডওয়্যার প্রয়োগের জন্য আরও বেশি উপযুক্ত । ( সফটওয়্যার লাইব্রেরিগুলি টেলর সিরিজ ব্যবহার করতে পারে, হার্ডওয়্যার যা ট্রাই ফাংশন সমর্থন করে না সে সম্পর্কে বলুন)) কিছু অতিরিক্ত প্রক্রিয়াজাতকরণ থাকতে পারে, যথেষ্ট ভাল উত্তর পেতে কর্ডিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করে তবে যথার্থতার উন্নতি করার জন্য অন্য কিছু করা।

উপরের কিছু সংশোধন আছে। উদাহরণস্বরূপ, খুব ছোট কোণগুলির জন্য থিয়েটার (রেডিয়ানে), sin (theta) = আপনার যাবতীয় নির্ভুলতার যথাযথতা আছে তাই অন্য কিছু অ্যালগরিদম ব্যবহার না করে কেবল থিটা ফিরিয়ে দেওয়া আরও কার্যকর। সুতরাং অনুশীলনে সম্ভাব্য সমস্ত কার্য সম্পাদন এবং যথার্থতা নিবারণের জন্য অনেকগুলি বিশেষ কেস যুক্তি রয়েছে। ছোট বাজারগুলির সাথে চিপসটি যতটা অপ্টিমাইজেশান প্রচেষ্টা যেতে পারে না।

Comments

দুর্দান্ত উত্তর - যদিও কর্ডিকের সত্যিকার অর্থে প্রতি ব্যাপ্তি হ্রাসের প্রয়োজন নেই (আসলে এটি মূলত তার নিজস্ব ডানদিকে একটি পরিসীমা হ্রাস অ্যালগরিদম); এটি -pi / 2 এবং + পাই / 2 এর মধ্যে কোণগুলির জন্য সূক্ষ্মভাবে কাজ করে, সুতরাং আপনাকে কেবলমাত্র এই ব্যাপ্তির বাইরের কোণগুলির জন্য 180 ডিগ্রি ভেক্টর রোটেশন করতে হবে।

— জেসন এস

বহুবিত্তিক অনুমান ব্যবহার করা বাস্তবায়নগুলি প্রায়শই টেলর সিরিজ ব্যবহার করতে পারে তবে তাদের সাধারণত সহগগুলি ব্যবহার করা উচিত যা রেমজ অ্যালগরিদমের সাথে নির্ধারিত হয়েছে। lolengine.net/blog/2011/12/21/better-function-approximations

— Pascal Cuoq

নোট করুন যে কর্ডিক দ্বারা ব্যবহৃত মানগুলির সারণীটি অবশ্যই প্রাক-গণনা করা উচিত। সুতরাং, টেলর এখনও "সংকলন সময়" ব্যবহার করা যেতে পারে।

— রোববার্ব

দেখে মনে হচ্ছে যে এই উত্তরটি এই একই প্রশ্নের উচ্চ-রেটেড গৃহীত উত্তরের সাথে বিরোধিতা করে: স্ট্যাকওভারফ্লো / প্রশ্নগুলি / 2284860/ … / এই উত্তরটি বলে যে পাপ () ফাংশনটি বেশিরভাগ হার্ডওয়্যার-স্তরে প্রয়োগ করা হয়, অন্যটি

— পেরি

Answer 2

সম্পাদনা: এম্বেড থাকা সিস্টেমে তাঁর বই "ফার্মওয়্যার হ্যান্ডবুক" জ্যাক গ্যানসেলের একটি শালীন আলোচনা রয়েছে ।

এফওয়াইআই: আপনার যদি নির্ভুলতা এবং পারফরম্যান্সের সীমাবদ্ধতা থাকে তবে সংখ্যার উদ্দেশ্যে টেলর সিরিজটি আনুমানিক ফাংশনে ব্যবহার করা উচিত নয় । (এগুলি আপনার ক্যালকুলাস কোর্সের জন্য সংরক্ষণ করুন)) তারা কোনও ফাংশনের বিশ্লেষণকে একক বিন্দুতে ব্যবহার করে , উদাহরণস্বরূপ যে এর সমস্ত ডেরাইভেটিভগুলি সেই পর্যায়ে বিদ্যমান। অগত্যা তারা আগ্রহের ব্যবধানে একত্রিত হয় না। প্রায়শই তারা মূল্যায়নের পয়েন্টের কাছে "নিখুঁত" হতে ফাংশনটি আনুমানিকতার যথার্থতা বিতরণের একটি স্বল্প কাজ করে; এড়া থেকে দূরে যাওয়ার সাথে সাথে ত্রুটিটি সাধারণত জোর করে উপরে oms এবং যদি আপনার কোনও অযৌক্তিক ডেরাইভেটিভ (যেমন বর্গাকার তরঙ্গ, ত্রিভুজ তরঙ্গ এবং তাদের অবিচ্ছেদ্য) সাথে কোনও ফাংশন থাকে তবে একটি টেলর সিরিজ আপনাকে ভুল উত্তর দেবে।

সেরা "সহজ" সমাধান, যখন অন্তর্বর্তী x0 <x <x1 এর উপর প্রদত্ত ফাংশন আনুষ্ঠানিকভাবে f (x) আনুমানিক করতে সর্বোচ্চ ডিগ্রি এন এর বহুবচন ব্যবহার করা হয়, তা চেবিশেভ কাছাকাছি থেকে ; একটি ভাল আলোচনার জন্য সংখ্যার রেসিপি দেখুন। নোট করুন যে আমি ওয়াল্ফ্রাম নিবন্ধে টিজে (এক্স) এবং টাক (এক্স) ব্যবহার করেছি যা কোস এবং বিপরীত কোসাইন ব্যবহার করেছিলাম, এগুলি বহুবচন এবং বাস্তবে আপনি সহগগুলি পাওয়ার জন্য পুনরাবৃত্ত সূত্র ব্যবহার করেন। আবার, সংখ্যার রেসিপি দেখুন।

সম্পাদনা: উইকিপিডিয়ায় আনুমানিক তত্ত্ব সম্পর্কিত একটি অর্ধ-শালীন নিবন্ধ রয়েছে । তারা যে উত্সটি উদ্ধৃত করেছেন তার মধ্যে একটি (হার্ট, "কম্পিউটার অনুমান") মুদ্রণের বাইরে রয়েছে (& ব্যবহৃত কপিগুলি ব্যয়বহুল বলে মনে হয়) তবে এ জাতীয় স্টাফ সম্পর্কে প্রচুর বিবরণে যায়। (জ্যাক গ্যানসেল তাঁর নিউজলেটার দ্য এম্বেডেড মিউজিকের 39 সংখ্যায় এটি উল্লেখ করেছেন )

সম্পাদনা 2: পাপ (x) এর জন্য টেলর বনাম চেবিশেভের জন্য এখানে কিছু স্পষ্টত ত্রুটি মেট্রিক রয়েছে (নীচে দেখুন)। কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় লক্ষ্য করুন:

1. যে কোনও প্রদত্ত পরিসরের তুলনায় টেলর সিরিজের সর্বাধিক ত্রুটি, একই ডিগ্রির কোনও চেবিশেভ সর্বাধিক ত্রুটির চেয়ে অনেক বড়। (প্রায় একই ত্রুটির জন্য, আপনি চেবিশেভের সাথে একটি আরও কম মেয়াদে পালাতে পারবেন, যার অর্থ দ্রুত পারফরম্যান্স)
2. রেঞ্জ হ্রাস একটি বিশাল জয়। এটি হ'ল উচ্চতর অর্ডার পলিনোমিয়ালের অবদান যখন সংক্ষেপণের অন্তর কম হয় তখন সঙ্কুচিত হয়।
3. আপনি যদি পরিসীমা হ্রাস নিয়ে দূরে যেতে না পারেন তবে আপনার সহগগুলি আরও নির্ভুলতার সাথে সঞ্চয় করা দরকার need

আমাকে ভুল করবেন না: টেইলর সিরিজ সাইন / কোসিনের জন্য সঠিকভাবে কাজ করবে (পিসি / 2 থেকে + পাই / 2 সীমাটির জন্য যুক্তিসঙ্গত নির্ভুলতার সাথে; প্রযুক্তিগতভাবে, যথেষ্ট শর্তাদি সহ, আপনি সমস্ত আসল ইনপুটগুলির জন্য যে কোনও পছন্দসই নির্ভুলতায় পৌঁছাতে পারেন, তবে টেলর সিরিজ ব্যবহার করে কোস (100) গণনা করার চেষ্টা করুন এবং আপনি স্বেচ্ছাচারিতা-নির্ভুলতা পাটিগণিত ব্যবহার না করে আপনি এটি করতে পারবেন না)। যদি আমি কোনও মর্যাদাপূর্ণ দ্বীপে কোনও অনৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটরের সাথে আটকে থাকতাম এবং আমার সাইন এবং কোসাইন গণনা করার প্রয়োজন হত তবে আমি সম্ভবত টেলর সিরিজটি ব্যবহার করতাম কারণ সহগুণাগুলি মনে রাখা সহজ। তবে আপনার নিজের পাপ () বা কোস () ফাংশনগুলি লেখার জন্য বাস্তব বিশ্বের অ্যাপ্লিকেশনগুলি এত কম বিরল যে আপনি কোনও পছন্দসই প্রয়োগ করতে পছন্দসই নির্ভুলতায় পৌঁছানোর জন্য সেরা হন - যা টেলর সিরিজটি নয় ।

ব্যাপ্তি = -পি / 2 থেকে + পাই / 2, ডিগ্রি 5 (3 পদ)

• টেলর: 4.5e -3, চ (এক্স) = xx প্রায় সর্বোচ্চ ত্রুটি ³ /6 + X ⁵ /120
• চেবিশেভ: সর্বাধিক ত্রুটি 7e-5, f (x) = 0.9996949x-0.1656700x ³ + 0.0075134x ^{5 এর কাছাকাছি}

ব্যাপ্তি = -পি / 2 থেকে + পাই / 2, ডিগ্রি 7 (4 পদ)

• টেলর: 1.5e -4, চ (এক্স) = xx প্রায় সর্বোচ্চ ত্রুটি ³ /6 + X ⁵ /120-X ⁷ /5040
• চেবিশেভ: সর্বাধিক ত্রুটি 6e-7, f (x) = 0.99999660x-0.16664824x ³ + 0.00830629x ⁵ -0.00018363x ^{7 এর কাছাকাছি}

ব্যাপ্তি = -পি / 4 থেকে + পাই / 4, ডিগ্রি 3 (2 পদ)

• টেলর: প্রায় 2.5e -3, চ (x) এর সর্বোচ্চ ত্রুটি = xx ³ /6
• চেবিশেভ: সর্বাধিক ত্রুটি 1.5e-4, f (x) = 0.999x-0.1603x ^{3 এর কাছাকাছি}

ব্যাপ্তি = -পি / 4 থেকে + পাই / 4, ডিগ্রি 5 (3 পদ)

• টেলর: 3.5e -5, চ (এক্স) = xx প্রায় সর্বোচ্চ ত্রুটি ³ /6 + X ⁵
• চেবিশেভ: সর্বাধিক ত্রুটি 6e-7, f (x) = 0.999995x-0.1666016x ³ + 0.0081215x ^{5 এর কাছাকাছি}

ব্যাপ্তি = -পি / 4 থেকে + পাই / 4, ডিগ্রি 7 (4 পদ)

• টেলর: 3e-7, f (x) = xx ^{3 এর} কাছাকাছি সর্বাধিক ত্রুটি /6 + X ⁵ /120-X ⁷ /5040
• চেবিশেভ: সর্বাধিক ত্রুটি 1.2e-9, f (x) = 0.999999986x-0.166666367x ³ + 0.008331584x ⁵ -0.000194621x ^{7 এর কাছাকাছি}

Comments

এই মন্তব্য ভুল। প্রতিটি আনুমানিক জন্য একটি সময় এবং জায়গা আছে। আপনি যদি কোনও সিরিজের আনুমানিকতার জন্য রূপান্তর অঞ্চলটি নির্ধারণ করার জন্য পর্যাপ্ত বিশ্লেষণ না জানেন তবে আপনার এটি ব্যবহার করা উচিত নয়। এটি টেলর, চেবিশেভ, পাদে ইত্যাদি সিরিজের জন্য যায়। টেলর সিরিজ প্রায়শই গুড ইনফ থাকে।

— kquinn

: শ্রুগ: আমি আপনার সম্পর্কে জানি না তবে আমি কখনই একটি পয়েন্টের আশেপাশে একটি ছোট পাড়ার কোনও ফাংশন মূল্যায়নে আগ্রহী নই। এমনকি একটি অন্তরালের তুলনায় দ্রুততম স্কোয়ারগুলি ফিট করে নেওয়া খুব সহজ। যে কেউ টেলর সিরিজ ব্যবহার করছেন সে কেবলমাত্র পয়েন্টটি মিস করছে।

— জেসন এস

@ কুইকুইন: চেবিশেভ অনুমানের জন্য রূপান্তরকরণের অঞ্চলটি কার্যকর ধারণা নয় কারণ যে ব্যবধানে তারা গণনা করা হয় তা প্রক্রিয়াটির একটি স্পষ্ট ইনপুট।

— জেসন এস

উত্সাহ দেওয়া কারণ উত্তরদাতা জানতেন হার্টের উপস্থিতি রয়েছে। : হাসি: হার্ট এখানে সর্বোত্তম রেফারেন্স, এমনকি 25 বছর আগে যখন আমি একটি অনুলিপি (মুদ্রণে) কিনেছিলাম তখন এটি খুঁজে পাওয়া শক্ত ছিল। এটি প্রতিটি পয়সা মূল্য। প্যাড, চ্যাবিচেভ, এমনকি টেলর সিরিজ যথাযথ হলেও যথাযথ আনুমানিকের সাথে মিলিয়ে যেখানেই সম্ভব ব্যাপ্তি হ্রাস, এটি একটি ভাল দৃষ্টিভঙ্গি। যদিও টেইলর সিরিজের তুলনায় প্যাড বা চেবিচেভ আনুমানিকরা সাধারণত ভাল পছন্দ।

??? কিভাবে কোনো ভিন্ন হল? -২ পিআই থেকে + ২ পিআই পর্যন্ত পাপ (x) গণনা করতে টেলর সিরিজটি ১th তম ডিগ্রি পর্যন্ত সম্ভবত b তম বা নবম ডিগ্রি বহুবর্ষ দিয়ে চেবিশেভের কাছে পরাস্ত হতে পারে। "গাছ কাটার সময় আপনার যদি সময়সীমাবদ্ধতা থাকে তবে আপনার হাতের ব্যবহার করা উচিত নয় a একটি চেইনসো ব্যবহার করুন" " সম্ভবত আমার "উচিত নয়" থেকে "আমি টেলর সিরিজ ব্যবহার করার পরামর্শ দিই না" এর মতো কিছুতে উচ্চারিত করা উচিত। অবশ্যই, আপনি কিছু ক্ষেত্রে টেলর সিরিজ ব্যবহার করতে পারেন তবে আপনার যথার্থতা এবং অভিনয়টি সমস্যাযুক্ত হতে চলেছে। পারফরম্যান্স দ্বারা আমি সিপিইউ এক্সিকিউশন সময় বোঝায়।

— জেসন এস

Answer 3

আমি বিশ্বাস করি তারা টেলর সিরিজ বা কর্ডিক ব্যবহার করে গণনা করা হচ্ছে । কিছু অ্যাপ্লিকেশন যা ট্রিগ ফাংশন (গেমস, গ্রাফিক্স) এর ভারী ব্যবহার করে তারা যখন শুরু হয় তখন ট্রিগার টেবিলগুলি তৈরি করে যাতে তারা বারবার পুনরায় গণনার চেয়ে মানগুলি সন্ধান করতে পারে।

Answer 4

পরীক্ষা করে দেখুন Wikipedia নিবন্ধটি ফাংশন ত্রিকোণমিতি উপর। কোডগুলিতে তাদের বাস্তবায়নের বিষয়ে শেখার একটি ভাল জায়গা হ'ল সংখ্যাসূচক রেসিপি ।

আমি খুব বেশি গণিতবিদ নই, তবে পাপ, কোস এবং টান "কোথা থেকে এসেছে" সে সম্পর্কে আমার বোধগম্যতা হল যে আপনি যখন ডান-কোণের ত্রিভুজগুলির সাথে কাজ করছেন তখন এক অর্থে তারা পর্যবেক্ষণ করেছেন। আপনি যদি বিভিন্ন ডান কোণের ত্রিভুজগুলির একগুচ্ছ অংশের দৈর্ঘ্যের পরিমাপ করেন এবং গ্রাফের উপরে বিন্দুগুলি প্লট করেন তবে আপনি এর থেকে পাপ, কোস এবং ট্যান পেতে পারেন। হার্পার শেলবি যেমন উল্লেখ করেছেন, ফাংশনগুলি কেবল ডান-কোণ ত্রিভুজগুলির বৈশিষ্ট্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

এই অনুপাতগুলি বৃত্তের জ্যামিতির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত, এটি রেডিয়েনস এবং সেই সমস্ত ধার্মিকতার দিকে পরিচালিত করে তা বোঝার মাধ্যমে আরও পরিশীলিত বোঝাপড়া অর্জন করা যায়। উইকিপিডিয়া এন্ট্রি এ সব আছে।

Answer 5

বেশিরভাগ কম্পিউটারের জন্য, পাওয়ার সিরিজের উপস্থাপনা সাইন এবং কোসাইন গণনা করতে ব্যবহৃত হয় এবং এগুলি অন্যান্য ট্রিগ ফাংশনে ব্যবহৃত হয়। এই সিরিজগুলি প্রায় 8 টি শর্তে প্রসারিত করা মেশিন ইপসিলনের নিকটবর্তী নির্ভুলতার প্রয়োজনীয় মানগুলিকে গণনা করে (ক্ষুদ্রতম শূন্য নন-শূন্য ভাসমান পয়েন্ট নম্বর যেটি ধরে রাখতে পারে)।

কর্ডিক পদ্ধতিটি হার্ডওয়ারে প্রয়োগ হওয়ার পরে এটি দ্রুত হয় তবে এটি প্রাথমিকভাবে এম্বেডড সিস্টেমগুলির জন্য ব্যবহৃত হয়, মানক কম্পিউটার নয়।

Answer 6

আমি @ জেসন এস দ্বারা সরবরাহিত উত্তরটি প্রসারিত করতে চাই, @ জেসন এস দ্বারা বর্ণিত অনুরূপ একটি ডোমেন মহকুমা পদ্ধতি ব্যবহার করে এবং ম্যাকালাউরিন সিরিজের আনুমানিকতা ব্যবহার করে, ট্যান (), পাপ () এর উপরে গড় (২-৩) এক্স স্পিডআপ , কোস (), আতান (), আসিন (), এবং অ্যাকোস () ফাংশনগুলি -২3 অপ্টিমাইজেশান সহ সিসিপি সংকলকটিতে নির্মিত হয়েছিল। নীচে বর্ণিত সেরা ম্যাকালিউরিন সিরিজের আনুমানিক ফাংশনগুলি ডাবল যথার্থ নির্ভুলতা অর্জন করেছে।

ট্যান (), পাপ (), এবং কোস () ফাংশনগুলির জন্য এবং সরলতার জন্য, একটি ওভারল্যাপিং 0 থেকে 2 পিআই + পাই / 80 ডোমেনটিকে পাই / 80, 3 পিআই / 80 এ "অ্যাঙ্কর পয়েন্টগুলি" সহ 81 টি সমান অন্তরগুলিতে বিভক্ত করা হয়েছিল, ..., 161pi / 80। তারপরে এই 81 টি অ্যাঙ্কর পয়েন্টগুলির ট্যান (), সিন (), এবং কোস () মূল্যায়ন ও সংরক্ষণ করা হয়েছিল। ট্রিগ সনাক্তকরণের সাহায্যে প্রতিটি ট্রিগ ফাংশনের জন্য একটি একক ম্যাক্লাউরিন সিরিজ ফাংশন তৈরি করা হয়েছিল। ± অনন্তের মধ্যে যে কোনও কোণ ট্রিগের আনুমানিক ফাংশনে জমা দেওয়া যেতে পারে কারণ ফাংশনগুলি প্রথমে ইনপুট কোণটি 0 থেকে 2 পিআই ডোমেনে অনুবাদ করে। এই অনুবাদ ওভারহেড আনুমানিক ওভারহেড অন্তর্ভুক্ত করা হয়।

আতান (), আসিন (), এবং একোস () ফাংশনগুলির জন্য অনুরূপ পদ্ধতিগুলি তৈরি করা হয়েছিল, যেখানে একটি ওভারল্যাপিং -1.0 থেকে 1.1 ডোমেন -19/20, -17/20, অ্যাঙ্কর পয়েন্ট সহ 21 সমতুল্য বিরতিতে বিভক্ত ছিল .. ।, 19/20, 21/20। তারপরে এই 21 অ্যাঙ্কর পয়েন্টগুলির মধ্যে কেবল আতান () সংরক্ষণ করা হয়েছিল। আবার ইনভার্স ট্রিগ সনাক্তকরণের সাহায্যে এটিান () ফাংশনের জন্য একটি একক ম্যাক্লাউরিন সিরিজ ফাংশন তৈরি করা হয়েছিল। আতান () ফাংশনের ফলাফলগুলি তখন আনুমানিক আসিন () এবং অ্যাকোস () এ ব্যবহৃত হত।

যেহেতু সমস্ত বিপরীত ট্রিগার আনুমানিক ফাংশন আটান () আনুমানিক ফাংশনের উপর ভিত্তি করে, কোনও ডাবল-স্পষ্টতা যুক্তি ইনপুট মান অনুমোদিত। তবে আসিন () এবং অ্যাকোস () আনুমানিক ফাংশনগুলিতে যুক্তি ইনপুটটি 1 ডোমেনে কাটা হয়েছে কারণ এর বাইরের কোনও মান অর্থহীন।

আনুমানিক ফাংশনগুলি পরীক্ষা করার জন্য, এক বিলিয়ন এলোমেলো ফাংশন মূল্যায়নগুলি মূল্যায়ন করতে বাধ্য করা হয়েছিল (যা -O3 অপ্টিমাইজিং সংকলককে কিছু মূল্যায়নের বাইপাস করতে দেওয়া হয়নি কারণ কিছু গণ্যমান ফলাফল ব্যবহার করা হবে না।) একটি বিলিয়নকে মূল্যায়নের পক্ষপাত দূর করতে এলোমেলো সংখ্যা এবং ফলাফল প্রক্রিয়াজাতকরণ, কোনও ট্রিগ বা বিপরীত ট্রিগ ফাংশনটি মূল্যায়ন না করেই এক রান ব্যয় প্রথমে সম্পাদিত হয়েছিল। প্রকৃত ফাংশন মূল্যায়নের সময়টির জন্য আরও প্রতিনিধি অনুমানের জন্য এই পক্ষপাতিত্বটি প্রতিটি পরীক্ষার বিয়োগ করে দেওয়া হয়েছিল।

সারণী 2 নির্দেশিত ফাংশন বা এক বিলিয়ন বার কার্য সম্পাদন করতে সেকেন্ডে সময় ব্যয় করে। টেবিল 1 এর অবশিষ্ট সারি থেকে সারণি 1 এর প্রথম সারিতে প্রদর্শিত এক বিলিয়ন এলোমেলো সংখ্যার মূল্যায়নের সময় ব্যয়কে বিয়োগ করে অনুমানগুলি প্রাপ্ত করা হয়।

ট্যানে ব্যয় করা সময় (): 18.0515 18.2545

টিএএন 3 (): 5.93853 6.02349 এ ব্যয় করা সময়

TAN4 (): 6.72216 6.99134 এ ব্যয় করা সময়

পাপ () এবং কোস (): 19.4052 19.4311 এ ব্যয় করা সময়

SINCOS3 (): 7.85564 7.92844 এ ব্যয় করা সময়

SINCOS4 (): 9.36672 9.57946 এ ব্যয় করা সময়

আতান (): 15.7160 15.6599 এ ব্যয় করা সময়

এটিএন 1 (): 6.47800 6.55230 এ ব্যয় করা সময়

এটিএন 2 (): 7.26730 7.24885 এ ব্যয় করা সময়

এটিএন 3 (): 8.15299 8.21284 এ ব্যয় করা সময়

আসিন () এবং অ্যাকোজে (): 36.8833 36.9496 এ সময় ব্যয় করেছে

ASINCOS1 (): 10.1655 9.78479 এ ব্যয় করা সময়

ASINCOS2 (): 10.6236 10.6000 এ ব্যয় করা সময়

ASINCOS3 (): 12.8430 12.0707 এ ব্যয় করা সময়

(স্থান বাঁচানোর স্বার্থে, টেবিল 1 প্রদর্শিত হবে না।) সারণী 2 প্রতিটি আনুমানিক ফাংশনের এক বিলিয়ন মূল্যায়নের দুটি পৃথক রানের ফলাফল দেখায়। প্রথম কলামটি প্রথম রান এবং দ্বিতীয় কলামটি দ্বিতীয় রান। ফাংশন নামগুলিতে '1', '2', '3' বা '4' নম্বরগুলি নির্দিষ্ট ট্রিগ বা বিপরীত ট্রিগার অনুমানের মূল্যায়ন করতে ম্যাক্লাউরিন সিরিজ ফাংশনে ব্যবহৃত পদগুলির সংখ্যা নির্দেশ করে। সিনকোস # () এর অর্থ পাপ এবং কোস উভয়ই একই সময়ে মূল্যায়ন করা হয়েছিল। তেমনি, এএসআইএনসিওএস # () এর অর্থ একই সাথে অসিন এবং আকো উভয়কেই মূল্যায়ন করা হয়েছিল। একই সাথে উভয় পরিমাণের মূল্যায়নে অতিরিক্ত অতিরিক্ত ওভারহেড রয়েছে।

ফলাফলগুলি দেখায় যে শর্তাবলীর সংখ্যা বাড়ানো প্রত্যাশার সাথে সাথে মৃত্যুদন্ড কার্যকর করার সময় সামান্য বাড়ায়। এমনকি সংক্ষিপ্ত সংখ্যক শর্তাবলী যেখানে তার মান ima অসীমের কাছাকাছি আসে তার কাছাকাছি টান () সান্নিধ্য বাদে প্রায় 12-14 ডিজিটের নির্ভুলতা দিয়েছে। কেউ আশা করতে পারে এমনকি ট্যান () ফাংশনটিতেও সমস্যা আছে।

ইউনিক্সের একটি হাই-এন্ড ম্যাকবুক প্রো ল্যাপটপে এবং লিনাক্সের একটি উচ্চ-ডেস্কটপ কম্পিউটারে অনুরূপ ফলাফল পাওয়া গেছে।

Answer 7

যদি আপনি পাপ, কোস এবং ট্যান সম্পর্কে আরও শারীরিক ব্যাখ্যা চাইছেন তবে তারা কীভাবে ডান-কোণ ত্রিভুজগুলির সাথে সম্পর্কিত তা বিবেচনা করুন। কোস (ল্যাম্বডা) এর আসল সংখ্যাসূচক মানটি একটি কোণকে লাম্বদা বলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে এবং লম্বদা সংলগ্ন ত্রিভুজ পার্শ্বের দৈর্ঘ্যকে অনুমানের দৈর্ঘ্যের দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যাবে। একইভাবে পাপের জন্য বিপরীত দিকটি অনুমান দ্বারা বিভক্ত ব্যবহার করুন। স্পর্শকাতর জন্য বিপরীত পাশটি পাশের পাশ দিয়ে বিভক্ত ব্যবহার করুন। এটি মনে রাখার জন্য ক্লাসিক মেমোনিকটি হ'ল সোহকাহটোয়া (উচ্চারণিত সোসোটোয়া)।