এখানে এমন একটি সমাধান রয়েছে যা জটিল গণিতের উপর নির্ভর করে না কারণ এসডিসিভিভিসি / দিমিত্রিস অ্যান্ড্রেউ'র উত্তরগুলি করে, ক্যাফে এবং কর্নেল প্যানিকের মতো ইনপুট অ্যারে পরিবর্তন করে না এবং ক্রিস লিকার, জেরেমিপ এবং বিশাল আকারের বিটসেট ব্যবহার করে না Chris আরও অনেকেই করেছিলেন। মূলত, আমি স্যালোর্জেন / গিলাদ দেউচের ধারণাগুলি কিউ 2-এর সাথে শুরু করেছি, এটিকে সাধারণ ঘটনা Qk তে সাধারণীকরণ করেছি এবং আলগোরিদম কাজ করে তা প্রমাণ করার জন্য জাভাতে প্রয়োগ করেছি।
বুদ্ধিটা
ধরুন আমরা একটি অবাধ ব্যবধান আছে আমি যা আমরা শুধু জানি যে এটা অনুপস্থিত সংখ্যার অন্তত একটি ধারণ করে। ইনপুট অ্যারেটি পেরিয়ে যাওয়ার পরে, কেবলমাত্র আমি থেকে সংখ্যার দিকে তাকিয়ে , আমরা সমষ্টি এস এবং I থেকে অনুপস্থিত সংখ্যার পরিমাণ Q উভয়ই পেতে পারি । আমরা কেবল decrementing এটি করতে আমি এর দৈর্ঘ্য প্রতিটি সময় আমরা থেকে একটি নম্বরে সম্মুখীন আমি (পাওয়ার জন্য প্রশ্ন ) এবং প্রাক নির্ণিত সব সংখ্যার যোগফল কমিয়ে আমি যে সম্মুখীন নম্বর (পাওয়ার জন্য প্রতিটি সময় দ্বারা এস )।
এখন আমরা এস এবং কি দেখুন । যদি প্রশ্ন = 1 , এর অর্থ হ'ল আমি তখন নিখোঁজ সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি অন্তর্ভুক্ত করেছি এবং এই সংখ্যাটি স্পষ্টভাবে এস । আমরা সমাপ্ত হিসাবে চিহ্নিত করেছি (এটি প্রোগ্রামে "দ্ব্যর্থহীন" বলা হয়) এবং আরও বিবেচনা থেকে এড়িয়ে যান। অন্যদিকে, প্রশ্ন> 1 , আমরা আইটিতে থাকা নিখোঁজ সংখ্যাগুলির গড় A = S / Q গণনা করতে পারি । হিসাবে সমস্ত নম্বর স্বতন্ত্র, এই ধরনের সংখ্যার অন্তত একটি কঠোরভাবে কম একটি এবং অন্তত একটি থেকে যথাযথভাবে বেশী হয় একটি । এখন আমরা বিভক্ত আমি যে একজনদুটি ছোট বিরতিতে প্রতিটি অন্তত একটি অনুপস্থিত সংখ্যা রয়েছে। মনে রাখবেন যে এটি পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে আমরা কোন অন্তরকে A নির্ধারণ করি তা বিবেচ্য নয়।
আমরা প্রতিটি ব্যবধানের জন্য আলাদা আলাদা (তবে একই পাসে) এবং এর পরে Q = 1 এবং Q> 1 এর সাথে বিভক্ত বিরতিগুলির পরে পৃথক অ্যারে পাসটি গণনা করে এস এবং কিউ তৈরি করি । কোনও নতুন "অস্পষ্ট" অন্তর না হওয়া পর্যন্ত আমরা এই প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যাচ্ছি, অর্থাত্ আমাদের বিভাজনের কিছু নেই কারণ প্রতিটি বিরতিতে ঠিক একটি অনুপস্থিত নম্বর থাকে (এবং আমরা এই সংখ্যাটি সবসময় জানি কারণ আমরা এসকে জানি । আমরা সম্ভাব্য সংখ্যাগুলি (যেমন প্রশ্নের মধ্যে [1..N] ) সমন্বিত একমাত্র "সম্পূর্ণ ব্যাপ্তি" অন্তর থেকে শুরু করি ।
সময় এবং স্থান জটিলতার বিশ্লেষণ
পাস মোট সংখ্যা P আমরা যতক্ষণ না প্রক্রিয়া স্টপ করতে হবে অনুপস্থিত সংখ্যা গণনা চেয়ে কখনো বেশী ট । অসমতা p <= কে কঠোরভাবে প্রমাণ করা যেতে পারে। অন্যদিকে, এছাড়াও আছে একটি গবেষণামূলক সর্বোচ্চ সীমা পি <লগ 2 n + 3 যে বৃহৎ মান জন্য দরকারী ট । আমাদের যে ইনপুট অ্যারে এর অন্তর্গত তা নির্ধারণের জন্য প্রতিটি সংখ্যার জন্য বাইনারি অনুসন্ধান করতে হবে। এটি সময় জটিলতায় লগ কে গুণক যোগ করে ।
মোট, সময়ের জটিলতা হ'ল ও (এন ᛫ মিনিট (কে, লগ এন) ᛫ লগ কে) । নোট করুন যে লার্জ কে এর জন্য এটি এসডিসিভিভিসি / ডিমিট্রিস অ্যান্ড্রেউর পদ্ধতির চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে ভাল যা ও (এন ᛫ কে) ।
এর কাজের জন্য, অ্যালগরিদমের বেশিরভাগ কে-এর অন্তরগুলিতে স্টোর করার জন্য ও (কে) অতিরিক্ত স্থান প্রয়োজন , এটি "বিটসেট" সমাধানগুলিতে ও (এন) এর চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে ভাল ।
জাভা বাস্তবায়ন
এখানে একটি জাভা ক্লাস যা উপরের অ্যালগরিদম প্রয়োগ করে। এটি সর্বদা অনুপস্থিত সংখ্যার সাজানো অ্যারে প্রদান করে। তদ্ব্যতীত, এটি কে অনুপস্থিত সংখ্যা গণনা করার দরকার নেই কারণ এটি এটি প্রথম পাসে গণনা করে। সংখ্যার পুরো পরিসরটি minNumberএবং maxNumberপরামিতি দ্বারা দেওয়া হয় (উদাহরণস্বরূপ প্রশ্নের প্রথম উদাহরণের জন্য 1 এবং 100)।
public class MissingNumbers {
private static class Interval {
boolean ambiguous = true;
final int begin;
int quantity;
long sum;
Interval(int begin, int end) { // begin inclusive, end exclusive
this.begin = begin;
quantity = end - begin;
sum = quantity * ((long)end - 1 + begin) / 2;
}
void exclude(int x) {
quantity--;
sum -= x;
}
}
public static int[] find(int minNumber, int maxNumber, NumberBag inputBag) {
Interval full = new Interval(minNumber, ++maxNumber);
for (inputBag.startOver(); inputBag.hasNext();)
full.exclude(inputBag.next());
int missingCount = full.quantity;
if (missingCount == 0)
return new int[0];
Interval[] intervals = new Interval[missingCount];
intervals[0] = full;
int[] dividers = new int[missingCount];
dividers[0] = minNumber;
int intervalCount = 1;
while (true) {
int oldCount = intervalCount;
for (int i = 0; i < oldCount; i++) {
Interval itv = intervals[i];
if (itv.ambiguous)
if (itv.quantity == 1) // number inside itv uniquely identified
itv.ambiguous = false;
else
intervalCount++; // itv will be split into two intervals
}
if (oldCount == intervalCount)
break;
int newIndex = intervalCount - 1;
int end = maxNumber;
for (int oldIndex = oldCount - 1; oldIndex >= 0; oldIndex--) {
// newIndex always >= oldIndex
Interval itv = intervals[oldIndex];
int begin = itv.begin;
if (itv.ambiguous) {
// split interval itv
// use floorDiv instead of / because input numbers can be negative
int mean = (int)Math.floorDiv(itv.sum, itv.quantity) + 1;
intervals[newIndex--] = new Interval(mean, end);
intervals[newIndex--] = new Interval(begin, mean);
} else
intervals[newIndex--] = itv;
end = begin;
}
for (int i = 0; i < intervalCount; i++)
dividers[i] = intervals[i].begin;
for (inputBag.startOver(); inputBag.hasNext();) {
int x = inputBag.next();
// find the interval to which x belongs
int i = java.util.Arrays.binarySearch(dividers, 0, intervalCount, x);
if (i < 0)
i = -i - 2;
Interval itv = intervals[i];
if (itv.ambiguous)
itv.exclude(x);
}
}
assert intervalCount == missingCount;
for (int i = 0; i < intervalCount; i++)
dividers[i] = (int)intervals[i].sum;
return dividers;
}
}
ন্যায্যতার জন্য, এই শ্রেণিটি NumberBagবস্তুর আকারে ইনপুট গ্রহণ করে। NumberBagঅ্যারে পরিবর্তন এবং এলোমেলো অ্যাক্সেসের অনুমতি দেয় না এবং ক্রমান্বয়ে ট্র্যাভার্সিংয়ের জন্য অ্যারে কতবার অনুরোধ করা হয়েছিল তাও গণনা করে। এটি বড় অ্যারে পরীক্ষার জন্যও বেশি উপযুক্ত Iterable<Integer>কারণ এটি আদিম intমানের বক্সিং এড়ানো এবং int[]সুবিধাজনক পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য বৃহতের একটি অংশ মোড়ানোর অনুমতি দেয় । ফরচারে দুটি ফোল্ডারে পরিবর্তন করে, স্বাক্ষর NumberBagদ্বারা int[]বা স্বাক্ষর দ্বারা Iterable<Integer>টাইপ করে প্রতিস্থাপন করা শক্ত findনয়।
import java.util.*;
public abstract class NumberBag {
private int passCount;
public void startOver() {
passCount++;
}
public final int getPassCount() {
return passCount;
}
public abstract boolean hasNext();
public abstract int next();
// A lightweight version of Iterable<Integer> to avoid boxing of int
public static NumberBag fromArray(int[] base, int fromIndex, int toIndex) {
return new NumberBag() {
int index = toIndex;
public void startOver() {
super.startOver();
index = fromIndex;
}
public boolean hasNext() {
return index < toIndex;
}
public int next() {
if (index >= toIndex)
throw new NoSuchElementException();
return base[index++];
}
};
}
public static NumberBag fromArray(int[] base) {
return fromArray(base, 0, base.length);
}
public static NumberBag fromIterable(Iterable<Integer> base) {
return new NumberBag() {
Iterator<Integer> it;
public void startOver() {
super.startOver();
it = base.iterator();
}
public boolean hasNext() {
return it.hasNext();
}
public int next() {
return it.next();
}
};
}
}
টেস্ট
এই ক্লাসগুলির ব্যবহার দেখানোর জন্য সাধারণ উদাহরণ নীচে দেওয়া হয়েছে।
import java.util.*;
public class SimpleTest {
public static void main(String[] args) {
int[] input = { 7, 1, 4, 9, 6, 2 };
NumberBag bag = NumberBag.fromArray(input);
int[] output = MissingNumbers.find(1, 10, bag);
System.out.format("Input: %s%nMissing numbers: %s%nPass count: %d%n",
Arrays.toString(input), Arrays.toString(output), bag.getPassCount());
List<Integer> inputList = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < 10; i++)
inputList.add(2 * i);
Collections.shuffle(inputList);
bag = NumberBag.fromIterable(inputList);
output = MissingNumbers.find(0, 19, bag);
System.out.format("%nInput: %s%nMissing numbers: %s%nPass count: %d%n",
inputList, Arrays.toString(output), bag.getPassCount());
// Sieve of Eratosthenes
final int MAXN = 1_000;
List<Integer> nonPrimes = new ArrayList<>();
nonPrimes.add(1);
int[] primes;
int lastPrimeIndex = 0;
while (true) {
primes = MissingNumbers.find(1, MAXN, NumberBag.fromIterable(nonPrimes));
int p = primes[lastPrimeIndex]; // guaranteed to be prime
int q = p;
for (int i = lastPrimeIndex++; i < primes.length; i++) {
q = primes[i]; // not necessarily prime
int pq = p * q;
if (pq > MAXN)
break;
nonPrimes.add(pq);
}
if (q == p)
break;
}
System.out.format("%nSieve of Eratosthenes. %d primes up to %d found:%n",
primes.length, MAXN);
for (int i = 0; i < primes.length; i++)
System.out.format(" %4d%s", primes[i], (i % 10) < 9 ? "" : "\n");
}
}
আরও বড় অ্যারে টেস্টিং এইভাবে করা যেতে পারে:
import java.util.*;
public class BatchTest {
private static final Random rand = new Random();
public static int MIN_NUMBER = 1;
private final int minNumber = MIN_NUMBER;
private final int numberCount;
private final int[] numbers;
private int missingCount;
public long finderTime;
public BatchTest(int numberCount) {
this.numberCount = numberCount;
numbers = new int[numberCount];
for (int i = 0; i < numberCount; i++)
numbers[i] = minNumber + i;
}
private int passBound() {
int mBound = missingCount > 0 ? missingCount : 1;
int nBound = 34 - Integer.numberOfLeadingZeros(numberCount - 1); // ceil(log_2(numberCount)) + 2
return Math.min(mBound, nBound);
}
private void error(String cause) {
throw new RuntimeException("Error on '" + missingCount + " from " + numberCount + "' test, " + cause);
}
// returns the number of times the input array was traversed in this test
public int makeTest(int missingCount) {
this.missingCount = missingCount;
// numbers array is reused when numberCount stays the same,
// just Fisher–Yates shuffle it for each test
for (int i = numberCount - 1; i > 0; i--) {
int j = rand.nextInt(i + 1);
if (i != j) {
int t = numbers[i];
numbers[i] = numbers[j];
numbers[j] = t;
}
}
final int bagSize = numberCount - missingCount;
NumberBag inputBag = NumberBag.fromArray(numbers, 0, bagSize);
finderTime -= System.nanoTime();
int[] found = MissingNumbers.find(minNumber, minNumber + numberCount - 1, inputBag);
finderTime += System.nanoTime();
if (inputBag.getPassCount() > passBound())
error("too many passes (" + inputBag.getPassCount() + " while only " + passBound() + " allowed)");
if (found.length != missingCount)
error("wrong result length");
int j = bagSize; // "missing" part beginning in numbers
Arrays.sort(numbers, bagSize, numberCount);
for (int i = 0; i < missingCount; i++)
if (found[i] != numbers[j++])
error("wrong result array, " + i + "-th element differs");
return inputBag.getPassCount();
}
public static void strideCheck(int numberCount, int minMissing, int maxMissing, int step, int repeats) {
BatchTest t = new BatchTest(numberCount);
System.out.println("╠═══════════════════════╬═════════════════╬═════════════════╣");
for (int missingCount = minMissing; missingCount <= maxMissing; missingCount += step) {
int minPass = Integer.MAX_VALUE;
int passSum = 0;
int maxPass = 0;
t.finderTime = 0;
for (int j = 1; j <= repeats; j++) {
int pCount = t.makeTest(missingCount);
if (pCount < minPass)
minPass = pCount;
passSum += pCount;
if (pCount > maxPass)
maxPass = pCount;
}
System.out.format("║ %9d %9d ║ %2d %5.2f %2d ║ %11.3f ║%n", missingCount, numberCount, minPass,
(double)passSum / repeats, maxPass, t.finderTime * 1e-6 / repeats);
}
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println("╔═══════════════════════╦═════════════════╦═════════════════╗");
System.out.println("║ Number count ║ Passes ║ Average time ║");
System.out.println("║ missimg total ║ min avg max ║ per search (ms) ║");
long time = System.nanoTime();
strideCheck(100, 0, 100, 1, 20_000);
strideCheck(100_000, 2, 99_998, 1_282, 15);
MIN_NUMBER = -2_000_000_000;
strideCheck(300_000_000, 1, 10, 1, 1);
time = System.nanoTime() - time;
System.out.println("╚═══════════════════════╩═════════════════╩═════════════════╝");
System.out.format("%nSuccess. Total time: %.2f s.%n", time * 1e-9);
}
}
আইডিয়নে এগুলি ব্যবহার করে দেখুন