আমার উত্তরটি বেশ দীর্ঘ, সুতরাং আমি এটিকে তিনটি ভাগে ভাগ করেছি। যেহেতু প্রশ্নটি ভাসমান পয়েন্ট গণিত সম্পর্কে, তাই আমি মেশিনটি আসলে কী করে তার উপর জোর দিয়েছি। আমি এটিকে দ্বিগুণ (bit৪ বিট) নির্ভুলতার জন্যও নির্দিষ্ট করে দিয়েছি তবে যুক্তিটি কোনও ভাসমান বিন্দুতে সমানভাবে প্রযোজ্য।
প্রস্তাবনা
একটি আইইইই 754 ডাবল-স্পষ্টতা বাইনারি ফ্লোটিং-পয়েন্ট ফর্ম্যাট (বাইনারি 64) নম্বরটি ফর্মের একটি সংখ্যা উপস্থাপন করে
মান = (-1) * s * (1. মি 51 মি 50 ... মি 2 মি 1 মি 0 ) 2 * 2 ই -1023
64 বিট মধ্যে:
- প্রথম বিটটি হ'ল সাইন বিট :
1যদি সংখ্যাটি নেতিবাচক হয়, 0অন্যথায় 1 ।
- পরের 11 বিটগুলি হ'ল এক্সপোনেন্ট , যা 1023 দ্বারা অফসেট হয় other অন্য কথায়, ডাবল-স্পষ্টতা নম্বর থেকে এক্সপোশন বিটগুলি পড়ার পরে, দুটি পাওয়ার পাওয়ার জন্য 1023 বিয়োগ করতে হবে।
- বাকী ৫২ বিট হ'ল তাৎপর্যপূর্ণ (বা ম্যান্টিসা)। ম্যান্টিসায় কোনও 'বদ্ধমূল'
1.সর্বদা 2 বাদ দেওয়া হয় যেহেতু যে কোনও বাইনারি মানের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বিট হয় 1।
1 - আইইইই 754 স্বাক্ষরিত শূন্যের ধারণার জন্য অনুমতি দেয় - +0এবং -0আলাদাভাবে চিকিত্সা করা হয়: 1 / (+0)এটি ইতিবাচক অনন্ত; 1 / (-0)নেতিবাচক অনন্ত। শূন্য মানগুলির জন্য, ম্যান্টিসা এবং এক্সপোনেন্ট বিটগুলি সমস্ত শূন্য। দ্রষ্টব্য: শূন্য মানগুলি (+0 এবং -0) স্পষ্টতই ডেনারমাল 2 হিসাবে শ্রেণিবদ্ধ নয় ।
2 - এটি ডেনরমাল সংখ্যার ক্ষেত্রে নয় , যার শূন্যের অফসেট এক্সপোঞ্জেন (এবং একটি অন্তর্নিহিত 0.) রয়েছে। ডেনরমাল ডাবল যথার্থ সংখ্যার পরিসীমা ডি মিনিট ≤ | x | Max ডি সর্বাধিক , যেখানে ডি মিনিট (ক্ষুদ্রতম প্রতিনিধিত্বযোগ্য ননজারো সংখ্যা) 2 -1023 - 51 (≈ 4.94 * 10 -324 ) এবং ডি সর্বাধিক (বৃহত্তম সংখ্যাসূচক সংখ্যা, যার জন্য মান্টিস সম্পূর্ণরূপে 1গুলি) 2 -1023 + 1 - 2 -1023 - 51 (≈ 2.225 * 10 -308 )।
দ্বৈত নির্ভুল সংখ্যাটি বাইনারি রূপান্তর করা
দ্বৈত নির্ভুলতা ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যাটিকে বাইনারি রূপান্তর করতে অনেক অনলাইন রূপান্তরকারীর উপস্থিতি রয়েছে (যেমন বাইনারি কনভার্ট ডট কম ), তবে ডাবল নির্ভুলতার সংখ্যার জন্য আইইইই 754 উপস্থাপনা পাওয়ার জন্য এখানে কিছু নমুনা সি # কোড দেওয়া হয়েছে (আমি তিনটি অংশ কলোন দিয়ে পৃথক করি :) :
public static string BinaryRepresentation(double value)
{
long valueInLongType = BitConverter.DoubleToInt64Bits(value);
string bits = Convert.ToString(valueInLongType, 2);
string leadingZeros = new string('0', 64 - bits.Length);
string binaryRepresentation = leadingZeros + bits;
string sign = binaryRepresentation[0].ToString();
string exponent = binaryRepresentation.Substring(1, 11);
string mantissa = binaryRepresentation.Substring(12);
return string.Format("{0}:{1}:{2}", sign, exponent, mantissa);
}
মূল বক্তব্য: পৌঁছনো
(টিএল; ডিআর সংস্করণের জন্য নীচে যান)
ক্যাটো জনস্টন (প্রশ্নকারী) জিজ্ঞাসা করলেন কেন 0.1 + 0.2! = 0.3।
বাইনারিতে লিখিত (তিনটি অংশ পৃথককারী কলোন সহ), আইইইইই 754 মানগুলির উপস্থাপনা হ'ল:
0.1 => 0:01111111011:1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2 => 0:01111111100:1001100110011001100110011001100110011001100110011010
নোট করুন যে ম্যান্টিসাটি পুনরাবৃত্ত সংখ্যাগুলির সমন্বয়ে গঠিত 0011। গণনার ক্ষেত্রে কেন ত্রুটি রয়েছে তার মূল কারণ - 0.1, 0.2 এবং 0.3 বাইনারিগুলিতে সুনির্দিষ্টভাবে বাইনারি বিটের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যায় 1/9, 1/3 বা 1/7 এর চেয়ে বেশি প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে দশমিক সংখ্যা ।
এছাড়াও নোট করুন যে আমরা ঘনিষ্ঠতায় পাওয়ারটি 52 দ্বারা হ্রাস করতে পারি এবং বাইনারি উপস্থাপনার পয়েন্টটি 52 টি জায়গায় ডানদিকে স্থানান্তর করতে পারি (অনেকটা 10 -3 * 1.23 == 10 -5 * 123)। এটি তখন বাইনারি উপস্থাপনাকে সঠিক মান হিসাবে উপস্থাপন করতে সক্ষম করে যা এটি একটি * 2 পি আকারে প্রতিনিধিত্ব করে । যেখানে 'ক' একটি পূর্ণসংখ্যা।
এক্সটেনশনগুলিকে দশমিক রূপান্তর করা, অফসেটটি সরিয়ে, এবং উল্লিখিত 1(বর্গাকার বন্ধনীগুলিতে), 0.1 এবং 0.2 পুনরায় যুক্ত করা হয়:
0.1 => 2^-4 * [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2 => 2^-3 * [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011010
or
0.1 => 2^-56 * 7205759403792794 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.2 => 2^-55 * 7205759403792794 = 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125
দুটি সংখ্যার যোগ করতে এক্সপোশনটি একই হওয়া দরকার, অর্থাত:
0.1 => 2^-3 * 0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101(0)
0.2 => 2^-3 * 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
sum = 2^-3 * 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
or
0.1 => 2^-55 * 3602879701896397 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.2 => 2^-55 * 7205759403792794 = 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125
sum = 2^-55 * 10808639105689191 = 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875
যেহেতু সমষ্টি ফর্ম 2 নয় এন * 1. {BBB} আমরা একের পর সূচক বৃদ্ধি এবং দশমিক (নামান বাইনারি ) পয়েন্ট পেতে হবে:
sum = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)
= 2^-54 * 5404319552844595.5 = 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875
মান্টিসায় এখন 53 টি বিট রয়েছে (53 তম উপরের লাইনে বর্গাকার বন্ধনীতে রয়েছে)। ডিফল্ট rounding মোড আইইইই 754 জন্য ' নিকটবর্তী গোল ' - অর্থাত একটি সংখ্যা যদি এক্স দুটি মানের মধ্যে বৃক্ষের পতন একটি এবং খ , মান যেখানে অন্তত গুরুত্বপূর্ণ বিট শূন্য নির্বাচিত করা হয়।
a = 2^-54 * 5404319552844595 = 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875
= 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011
x = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)
b = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
= 2^-54 * 5404319552844596 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
নোট করুন যে ক এবং খ শুধুমাত্র শেষ বিট মধ্যে পৃথক; ...0011+ 1= ...0100। এই ক্ষেত্রে শূন্যের সর্বনিম্ন উল্লেখযোগ্য বিটের মানটি খ , সুতরাং যোগফলটি হ'ল:
sum = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
= 2^-54 * 5404319552844596 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
যদিও ০.০ এর বাইনারি উপস্থাপনাটি হ'ল:
0.3 => 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011
= 2^-54 * 5404319552844595 = 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875
যা শুধুমাত্র 2 দ্বারা 0.1 থেকে 0.2 এর সমষ্টি বাইনারি উপস্থাপনা থেকে পৃথক -54 ।
০.১ এবং ০.২ এর বাইনারি উপস্থাপনা হ'ল আইইইই 754 দ্বারা অনুমোদিত নম্বরের সর্বাধিক নির্ভুল প্রতিনিধিত্ব।
টি এল; ডিআর
লেখা 0.1 + 0.2একটি আইইইই 754 বাইনারি প্রতিনিধিত্ব (তিনটি অংশ আলাদা কোলন সহ) এবং তুলনা 0.3(আমি বর্গাকার বন্ধনী মধ্যে স্বতন্ত্র বিট রেখেছি) এই হল:
0.1 + 0.2 => 0:01111111101:0011001100110011001100110011001100110011001100110[100]
0.3 => 0:01111111101:0011001100110011001100110011001100110011001100110[011]
দশমীতে ফিরে রূপান্তরিত, এই মানগুলি হ'ল:
0.1 + 0.2 => 0.300000000000000044408920985006...
0.3 => 0.299999999999999988897769753748...
পার্থক্যটি হুবহু 2 -54 , যা মূল মানগুলির সাথে তুলনা করলে তুচ্ছ (অনেক অ্যাপ্লিকেশনের জন্য) - 5.5511151231258 × 10 -17 ।
ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যার শেষ কয়েকটি বিটের তুলনা করা সহজাতভাবে বিপজ্জনক, কারণ বিখ্যাত " ফ্লোটিং-পয়েন্ট অ্যারিমেটিক সম্পর্কে প্রতিটি কম্পিউটার বিজ্ঞানী কি জানা উচিত " পড়েন তিনি জানেন (যা এই উত্তরের সমস্ত প্রধান অংশকে কভার করে) will
বেশিরভাগ ক্যালকুলেটররা এই সমস্যাটি পেতে অতিরিক্ত গার্ড ডিজিট ব্যবহার করেন , যা কীভাবে 0.1 + 0.2দেবে 0.3: চূড়ান্ত কয়েকটি বিটকে গোল করা হয়।
