অন্যরা ডিজাইনের জন্য সাধারণ কাঠামো (সসীম প্রজেক্টিভ প্লেন) বর্ণনা করেছেন এবং দেখিয়েছেন কীভাবে প্রাইম অর্ডারের সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ প্লেন তৈরি করা যায়। আমি কিছু শূন্যস্থান পূরণ করতে চাই।
সীমাবদ্ধ প্রজেক্টিভ প্লেনগুলি বিভিন্ন বিভিন্ন অর্ডারের জন্য তৈরি করা যেতে পারে তবে প্রাইম অর্ডারের ক্ষেত্রে এগুলি সবচেয়ে সোজা p। তারপরে পূর্ণসংখ্যার মডুলো pএকটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র গঠন করে যা বিমানের পয়েন্ট এবং লাইনগুলির স্থানাঙ্ক বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। পয়েন্টের জন্য স্থানাঙ্ক 3 বিভিন্ন ধরণের আছে: (1,x,y), (0,1,x), এবং (0,0,1), যেখানে xএবং yথেকে মানগুলি নিতে পারেন 0করতে p-1। 3 টি বিভিন্ন ধরণের পয়েন্ট p^2+p+1সিস্টেমে পয়েন্টের সংখ্যার সূত্রটি ব্যাখ্যা করে । আমরা স্থানাঙ্ক একই 3 বিভিন্ন ধরণের সঙ্গে লাইন বর্ণনা করতে পারেন: [1,x,y], [0,1,x], এবং [0,0,1]।
আমরা তাদের গুণাবলীর বিন্দুর পণ্য 0 মডের সমান কিনা তা দ্বারা বিন্দু এবং রেখার ঘটনা কিনা তা আমরা গণনা করি p। উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু (1,2,5)এবং লাইনটি [0,1,1]যখন তখন ঘটনা , তবে বিন্দু এবং লাইনটি তখন p=7থেকে ঘটনা নয় ।1*0+2*1+5*1 = 7 == 0 mod 7(1,3,3)[1,2,6]1*1+3*2+3*6 = 25 != 0 mod 7
কার্ড এবং ছবিগুলির ভাষায় অনুবাদ করা, এর অর্থ হ'ল স্থানাঙ্কযুক্ত কার্ডটিতে স্থানাঙ্ক (1,2,5)সহ ছবি থাকে তবে স্থানাঙ্ক [0,1,1]সহ কার্ডটিতে স্থানাঙ্ক (1,3,3)সহ ছবি থাকে না [1,2,6]। কার্ড এবং তাদের থাকা ছবিগুলির একটি সম্পূর্ণ তালিকা তৈরি করতে আমরা এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারি।
যাইহোক, আমি মনে করি ছবিগুলি পয়েন্ট এবং কার্ডকে লাইন হিসাবে ভাবা আরও সহজ, তবে পয়েন্ট এবং লাইনের মধ্যে প্রত্যাশিত জ্যামিতিতে একটি দ্বৈততা রয়েছে তাই এটি সত্যিকার অর্থে কিছু যায় আসে না। তবে, এরপরে আমি কার্ডের জন্য ছবি এবং লাইনগুলির জন্য পয়েন্টগুলি ব্যবহার করব।
একই নির্মাণ কোনও সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের জন্য কাজ করে। আমরা জানি যে এখানে একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র রয়েছে qকেবলমাত্র যদি q=p^kএকটি প্রধান শক্তি। ক্ষেত্রটি বলা হয় GF(p^k)যা "গ্যালোইস ক্ষেত্র" এর জন্য দাঁড়িয়েছে। ফিল্ডগুলি প্রাইম পাওয়ারের ক্ষেত্রে প্রাইম কেসের মতো নির্মাণ করা তত সহজ নয়।
ভাগ্যক্রমে, কঠোর পরিশ্রম ইতিমধ্যে সেজে নামক ফ্রি সফটওয়্যারটিতে করা হয়েছে এবং প্রয়োগ করা হয়েছে । অর্ডার 4-এর একটি প্রজেটিভ প্লেন ডিজাইন পেতে, উদাহরণস্বরূপ, কেবল টাইপ করুন
print designs.ProjectiveGeometryDesign(2,1,GF(4,'z'))
এবং আপনি দেখতে যে আউটপুট পাবেন
ProjectiveGeometryDesign<points=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], blocks=[[0, 1, 2, 3, 20], [0,
4, 8, 12, 16], [0, 5, 10, 15, 19], [0, 6, 11, 13, 17], [0, 7, 9, 14,
18], [1, 4, 11, 14, 19], [1, 5, 9, 13, 16], [1, 6, 8, 15, 18], [1, 7,
10, 12, 17], [2, 4, 9, 15, 17], [2, 5, 11, 12, 18], [2, 6, 10, 14, 16],
[2, 7, 8, 13, 19], [3, 4, 10, 13, 18], [3, 5, 8, 14, 17], [3, 6, 9, 12,
19], [3, 7, 11, 15, 16], [4, 5, 6, 7, 20], [8, 9, 10, 11, 20], [12, 13,
14, 15, 20], [16, 17, 18, 19, 20]]>
আমি উপরোক্ত বিষয়গুলি নীচে ব্যাখ্যা করি: 0 থেকে 20 পর্যন্ত লেবেলযুক্ত 21 টি ছবি রয়েছে Each উদাহরণস্বরূপ, প্রথম কার্ডে 0, 1, 2, 3 এবং 20 টি ছবি থাকবে; দ্বিতীয় কার্ডে ছবি 0, 4, 8, 12, এবং 16 থাকবে; ইত্যাদি।
অর্ডার 7 সিস্টেমটি তৈরি করা যেতে পারে
print designs.ProjectiveGeometryDesign(2,1,GF(7))
যা আউটপুট উত্পন্ন করে
ProjectiveGeometryDesign<points=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46,
47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56], blocks=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
56], [0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49], [0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 50], [0,
9, 18, 27, 29, 38, 47, 51], [0, 10, 20, 23, 33, 36, 46, 52], [0, 11, 15,
26, 30, 41, 45, 53], [0, 12, 17, 22, 34, 39, 44, 54], [0, 13, 19, 25,
31, 37, 43, 55], [1, 7, 20, 26, 32, 38, 44, 55], [1, 8, 15, 22, 29, 36,
43, 49], [1, 9, 17, 25, 33, 41, 42, 50], [1, 10, 19, 21, 30, 39, 48,
51], [1, 11, 14, 24, 34, 37, 47, 52], [1, 12, 16, 27, 31, 35, 46, 53],
[1, 13, 18, 23, 28, 40, 45, 54], [2, 7, 19, 24, 29, 41, 46, 54], [2, 8,
14, 27, 33, 39, 45, 55], [2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 49], [2, 10, 18, 26,
34, 35, 43, 50], [2, 11, 20, 22, 31, 40, 42, 51], [2, 12, 15, 25, 28,
38, 48, 52], [2, 13, 17, 21, 32, 36, 47, 53], [3, 7, 18, 22, 33, 37, 48,
53], [3, 8, 20, 25, 30, 35, 47, 54], [3, 9, 15, 21, 34, 40, 46, 55], [3,
10, 17, 24, 31, 38, 45, 49], [3, 11, 19, 27, 28, 36, 44, 50], [3, 12,
14, 23, 32, 41, 43, 51], [3, 13, 16, 26, 29, 39, 42, 52], [4, 7, 17, 27,
30, 40, 43, 52], [4, 8, 19, 23, 34, 38, 42, 53], [4, 9, 14, 26, 31, 36,
48, 54], [4, 10, 16, 22, 28, 41, 47, 55], [4, 11, 18, 25, 32, 39, 46,
49], [4, 12, 20, 21, 29, 37, 45, 50], [4, 13, 15, 24, 33, 35, 44, 51],
[5, 7, 16, 25, 34, 36, 45, 51], [5, 8, 18, 21, 31, 41, 44, 52], [5, 9,
20, 24, 28, 39, 43, 53], [5, 10, 15, 27, 32, 37, 42, 54], [5, 11, 17,
23, 29, 35, 48, 55], [5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 49], [5, 13, 14, 22,
30, 38, 46, 50], [6, 7, 15, 23, 31, 39, 47, 50], [6, 8, 17, 26, 28, 37,
46, 51], [6, 9, 19, 22, 32, 35, 45, 52], [6, 10, 14, 25, 29, 40, 44,
53], [6, 11, 16, 21, 33, 38, 43, 54], [6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 55],
[6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 49], [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 56], [14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 56], [21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 56], [28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 56], [35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 56], [42, 43, 44, 45,
46, 47, 48, 56], [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]]>
