( সততা এবং গাণিতিক অখণ্ডতা - এই "উত্তরের" ভোটের সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে - আমাকে এই উত্তরটি সম্পাদনা করতে পরিচালিত করেছে I আমি যতদিন সম্ভব স্থির ছিলাম কারণ এটি একটি সংক্ষিপ্ত কুইপ হিসাবে তৈরি হয়েছিল এবং "গভীর" তেমন কিছু রাখেনি) কোনও ব্যাখ্যা উদ্দেশ্যটির সাথে পাল্টা মনে হয়েছিল However তবে, মন্তব্যগুলি স্পষ্ট করছে যে ভুল বোঝাবুঝি এড়াতে আমার পরিষ্কার হওয়া উচিত ))
আমার মূল উত্তর:
নির্দিষ্টকরণের এই অংশটির শব্দ:
যদি এটি 0 হয়, আমি এটি 1 এ সেট করতে চাইছি, অন্যথায় 0 তে সেট করুন।
ইঙ্গিত দেয় যে সবচেয়ে সঠিক সমাধানটি হ'ল:
v = dirac_delta(0,v)
প্রথমত, স্বীকারোক্তি: আমি না পেতে আমার ব-দ্বীপ ফাংশন বিভ্রান্ত। ক্রোনেকার ব-দ্বীপটি কিছুটা যথাযথ হতে পারে তবে আমি ডোমেন-ইন্ডিপেন্ডড কিছু চাইনি (ক্রোনেকার ডেল্টা মূলত কেবল পূর্ণসংখ্যার জন্য ব্যবহৃত হয়)। তবে আমার সত্যিই ডেল্টা ফাংশনগুলি ব্যবহার করা উচিত হয়নি, আমার বলা উচিত ছিল:
v = characteristic_function({0},v)
আমাকে স্পষ্ট করতে দিন। মনে রাখবেন যে একটি ফাংশন একটি ট্রিপল, (এক্স, ওয়াই, এফ) , যেখানে এক্স এবং ওয়াই সেট হয় ( যথাক্রমে ডোমেন এবং কোডোমেন বলা হয়) এবং f এমন একটি নিয়ম যা এক্স এর প্রতিটি উপাদানকে Y এর একটি উপাদান নির্ধারণ করে । আমরা প্রায়শই f: X → Y হিসাবে ট্রিপল (এক্স, ওয়াই, চ) লিখি । একটি উপসেট দেওয়া এক্স বলতে একটি , একটি হল চরিত্রগত ফাংশন যা একটি ফাংশন χ একটি এক্স → {0,1}:(এটি ℕ বা ℝ এর মতো বৃহত্তর কোডোমেনের একটি কার্য হিসাবেও ভাবা যেতে পারে)। এই ফাংশনটি বিধি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:
χ এ (এক্স) = 1 যদি এক্স ∈ এ এবং χ এ (এক্স) = ০ যদি এক্স ∉ এ ।
আপনি সত্য টেবিল মত, এটা প্রশ্নের জন্য সত্য টেবিল যদি "উপাদান এক্স এর এক্স উপসেট এর একটি উপাদান একটি ?"।
তাই এই সংজ্ঞা থেকে এটা পরিষ্কার চরিত্রগত ফাংশন কি এখানে প্রয়োজন, যে এক্স কিছু বড় ধারণকারী 0 এবং সেট একটি = {0} । এটাই আমার লেখা উচিত ছিল ।
এবং তাই ডেল্টা ফাংশন। এই জন্য, আমাদের একীকরণ সম্পর্কে জানতে হবে। হয় আপনি ইতিমধ্যে এটি জানেন, বা আপনি না। আপনি যদি তা না করেন তবে এখানে আমি যা বলতে পারি তা কিছুই আপনাকে তত্ত্বের জটিলতা সম্পর্কে বলবে না, তবে আমি একটি বাক্য সংক্ষিপ্তসার দিতে পারি। একটি সেট এক্সের একটি পরিমাপ মূলত "এটি যা গড় কাজ করতে প্রয়োজন"। অর্থাৎ যদি আমরা একটি সেট আছে যে এক্স এবং একটি পরিমাপ μ তারপর ফাংশন একটি বর্গ যে সেটে এক্স → ℝ বলা পরিমাপযোগ্য ফাংশন , যার জন্য অভিব্যক্তি ∫ এক্স চ dμ জ্ঞান করে তোলে এবং, কিছু অস্পষ্ট অর্থে, "গড়" এর চ উপর এক্স ।
একটি সেটে একটি পরিমাপ দেওয়া, যে কোনও সেটটির উপসেটগুলির জন্য "পরিমাপ" সংজ্ঞায়িত করতে পারে। এটি একটি উপসেটকে তার বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য হিসাবে নির্ধারিত করে করা হয় (ধরে নেওয়া যে এটি একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন। এই করতে অসীম, বা অনির্ধারিত হতে (দুই চতুরভাবে ভিন্ন)।
চারদিকে প্রচুর ব্যবস্থা রয়েছে তবে এখানে দুটি গুরুত্বপূর্ণ রয়েছে। এক বাস্তব লাইনে স্ট্যান্ডার্ড পরিমাপ , ℝ। এই মেজার ফর, তারপর ∫ ℝ dμ চ প্রায় কাছাকাছি কি আপনি স্কুলে শেখানো পাবেন (ক্যালকুলাস এখনও বিদ্যালয়ে পড়ানো হয়?): সামান্য আয়তক্ষেত্র যোগফল এবং ছোট এবং ছোট প্রস্থ নিতে। এই পরিমাপে, একটি অন্তরালের পরিমাপ এর প্রস্থ। বিন্দুর পরিমাপ 0 হয়।
অন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাপ, যা কোনও সেটে কাজ করে , তাকে পয়েন্ট পরিমাপ বলে । এটি সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে কোনও ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য তার মানগুলির যোগফল হয়:
∫ এক্স চ dμ = Σ এক্স ∈X চ (x) এর
প্রতিটি Singleton এই পরিমাপ নির্ধারণ পরিমাপ 1. এই উপায়ে একটি উপসেট আছে সেট সসীম পরিমাপ যদি এবং কেবল যদি তা না হয় নিজেই সসীম। এবং খুব কম ফাংশন সীমাবদ্ধ অবিচ্ছেদ্য আছে। যদি কোনও ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ অবিচ্ছেদ্য থাকে, তবে এটি অবশ্যই একটি গণনাযোগ্য পয়েন্টের শূন্য নয় । সুতরাং আপনি সম্ভবত জানেন যে বিস্তৃত ফাংশনগুলির এই পরিমাপের অধীনে সীমাবদ্ধ অবিচ্ছেদ্য নেই।
এবং এখন ডেল্টা ফাংশন। আসুন একটি খুব বিস্তৃত সংজ্ঞা গ্রহণ করা যাক। আমাদের একটি পরিমাপযোগ্য স্থান রয়েছে (এক্স, μ) (সুতরাং এটির উপর একটি পরিমাপের একটি সেট) এবং একটি উপাদান একটি ∈ এক্স । আমরা ডেল্টা ফাংশনটি "সংজ্ঞায়িত করি" ( ক উপর নির্ভর করে ) "ফাংশন" δ এ : এক্স → ℝ সম্পত্তি সহ যে δ a (x) = 0 যদি x ≠ a এবং ∫ X δ a dμ = 1 হয় ।
এটিকে ধরে রাখতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ তথ্যটি হ'ল ডেল্টা ফাংশনটি ফাংশন হওয়ার দরকার নেই । এটা তোলে হয় না সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত: আমি কি বলেছি δ একটি (ক) হয়।
আপনি এই মুহুর্তে যা করেন তা নির্ভর করে আপনি কে। এখানকার বিশ্ব দুটি বিভাগে বিভক্ত। আপনি যদি গণিতবিদ হন তবে আপনি নিম্নলিখিতটি বলবেন:
ঠিক আছে, তাই ডেল্টা ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হতে পারে না। আসুন এর অনুমানমূলক বৈশিষ্ট্যগুলি দেখুন এবং দেখুন যেখানে এটির সংজ্ঞা দেওয়া আছে সেখানে আমরা তার জন্য উপযুক্ত বাড়ি খুঁজে পেতে পারি কিনা । আমরা এটি করতে পারি, এবং আমরা বিতরণ শেষ করি । এগুলি হল না (অগত্যা) ফাংশন, কিন্তু আছে ফাংশন মত একটু, এবং প্রায়ই আমরা তাদের সাথে কাজ করতে পারেন, যেন তারা ফাংশন ছিল আচরণ; তবে কিছু জিনিস রয়েছে যা তাদের নেই (যেমন "মান") তাই আমাদের সাবধান হওয়া দরকার।
আপনি যদি গণিতবিদ না হন তবে আপনি নিম্নলিখিতটি বলবেন:
ঠিক আছে, তাই ডেল্টা ফাংশনটি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত না হতে পারে। যারা বলছেন? একগুচ্ছ গণিতবিদ? তাদের উপেক্ষা! তারা কী জানে?
আমার শ্রোতাদের এখন বিরক্ত করার পরে, আমি চালিয়ে যাব।
ডিরাক ব-দ্বীপ সাধারণত তার মান পরিমাপ রিয়েল লাইন একটি বিন্দু (প্রায়ই 0) বদ্বীপ ফাংশন করা থেকে নেওয়া হয়। সুতরাং যারা আমার সম্পর্কে ডেল্টা না জেনে আমার সম্পর্কে মন্তব্যে অভিযোগ করছেন তারা এগুলি করছেন কারণ তারা এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করছেন। তাদের কাছে আমি ক্ষমাপ্রার্থনা করছি: যদিও আমি ম্যাথমেটিজিয়ানদের প্রতিরক্ষা ( হ্যাম্প্টি ডাম্প্টি দ্বারা জনপ্রিয় হিসাবে : সবকিছুকে নতুনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যাতে এটি সঠিক হয়) ব্যবহার করে এটি থেকে বেরিয়ে আসতে পারি , তবে কিছু আলাদা বোঝার জন্য মানক পদটি ব্যবহার করা খারাপ ফর্ম।
কিন্তু হয় একটি ব-দ্বীপ ফাংশন যা কি আমি এটা করতে চাই এবং এটি যা আমি এখানে প্রয়োজন কি আছে। আমি যদি একটি সেট এক্স- তে একটি বিন্দু পরিমাপ করি তবে একটি আসল ফাংশন রয়েছে δ a : X → ℝ যা একটি ব-দ্বীপ ফাংশনের মানদণ্ডকে সন্তুষ্ট করে। এর কারণ আমরা খুঁজছি হয় একটি ফাংশন জন্য এক্স → ℝ যা ব্যতীত শূন্য হয় একটি এবং এই ধরনের যে তার মূল্যবোধের সব এর সমষ্টি 1. এই ধরনের একটি ফাংশন সহজ হল: তথ্য শুধুমাত্র অনুপস্থিত টুকরা তার মান একটি , এবং পেতে সমষ্টি 1 হতে আমরা শুধু এটা মান 1. ধার্য এই চরিত্রগত ফাংশন ছাড়া অন্য কেউ নেই {একটি} । তারপর:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1।
সুতরাং এই ক্ষেত্রে, একটি একক সেট জন্য, বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন এবং ডেল্টা ফাংশন সম্মত হয়।
উপসংহারে, এখানে "ফাংশন" এর তিনটি পরিবার রয়েছে:
- সিঙ্গলটন সেটগুলির বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন,
- ডেল্টা ফাংশন,
- ক্রোনেকার ডেল্টা কাজ করে।
এর দ্বিতীয়টি সর্বাধিক সাধারণ হিসাবে অন্যদের যে কোনওটি পয়েন্ট পরিমাপটি ব্যবহার করার সময় এর উদাহরণ। তবে প্রথম এবং তৃতীয়টির সুবিধা রয়েছে যে তারা সর্বদা খাঁটি কাজ functions তৃতীয়টি আসলে ডোমের একটি নির্দিষ্ট পরিবারের জন্য (পূর্ণসংখ্যা বা এর কিছু উপসেট) প্রথমটির একটি বিশেষ কেস।
সুতরাং, পরিশেষে, যখন আমি মূলত উত্তর আমি লিখেছি হয়নি সঠিকভাবে চিন্তা (আমি এতদূর যেতে হবে না যেমন বলতে চাই যে আমি বিভ্রান্ত , যেমন আমি আশা করি আমি শুধু প্রদর্শিত করেছি আমি না জানি আমি যখন কথা বলছি আমি আসলে প্রথমে ভাবি, আমি খুব বেশি কিছু ভাবিনি)। ডায়রাক ডেল্টার সাধারণ অর্থটি এখানে যা চেয়েছিল তা নয়, তবে আমার উত্তরের একটি বিষয় হ'ল ইনপুট ডোমেনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়নি তাই ক্রোনেকার ডেল্টাও সঠিক ছিল না। সুতরাং সেরা গাণিতিক উত্তর (যা আমি লক্ষ্য করেছিলাম) বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন হত ।
আমি আশা করি যে এটি সমস্ত পরিষ্কার; এবং আমি আরও আশা করি যে টেক্স ম্যাক্রোগুলির পরিবর্তে এইচটিএমএল সত্তা ব্যবহার করে আমাকে আর কোনও গাণিতিক টুকরো লিখতে হবে না!