গণনার দৈর্ঘ্য সহ ইউনিভার্সাল গেটস স্কেলের মাধ্যমে গেটগুলি কীভাবে আনুমানিক করা যায়?

আমি বুঝতে পারি যে এমন একটি গঠনমূলক প্রমাণ রয়েছে যে স্বেচ্ছাসেবী গেটগুলি একটি সীমাবদ্ধ সর্বজনীন গেট সেট দ্বারা সজ্জিত করা যেতে পারে, এটি হল সলোভে - কেতায়েভ উপপাদ্য ।
যাইহোক, আনুমানিক একটি ত্রুটি পরিচয় করিয়ে দেয়, যা একটি দীর্ঘ গণনায় ছড়িয়ে পড়ে এবং জমে। এটি গণনার দৈর্ঘ্যের সাথে সম্ভবত খারাপভাবে স্কেল করবে? সম্ভবত কোনও একক গেটে নয়, সম্পূর্ণ সার্কিটের সাথে আনুমানিক আলগোরিদম প্রয়োগ করতে পারে। তবে গণনার দৈর্ঘ্য সহ এই স্কেলটি কীভাবে হয় (অর্থাত্ দ্বারগুলির মাত্রার সাথে কীভাবে আনুমানিক স্কেল হয়)? গেট সংশ্লেষণের সাথে গেটের আনুমানিক সম্পর্ক কীভাবে হয়? কারণ আমি ভাবতে পারি যে এটি গণনার চূড়ান্ত দৈর্ঘ্যকে প্রভাবিত করে?
আমার কাছে আরও বিচলিত: গেটের ক্রম সংকলন করার সময় গণনার দৈর্ঘ্য জানা না থাকলে কী হবে?

— এম স্টার্ন
সূত্র

$A$ $\left\lVert A\right\rVert$ $A$ $A$ $\epsilon$

O (\log^{c} \frac{1}{ϵ})

$\mathcal O\left(\log^c\frac 1\epsilon\right)$

c < 4

$c<4$

প্রথম অংশের জন্য:

আনুমানিক একটি ত্রুটি পরিচয় করিয়ে দেয়, যা একটি দীর্ঘ গণনায় ছড়িয়ে পড়ে এবং জমা হতে পারে

ঠিক আছে, এটি অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে দেখানো যেতে পারে যে একটি ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে অন্যের কাছে আনুমানিকভাবে জড়িত হওয়া ত্রুটিগুলি সাব-ডিডেটিভ (উদাহরণস্বরূপ অ্যান্ড্রু চাইল্ডের বক্তৃতা নোটগুলি দেখুন )। এটি হ'ল একক ম্যাট্রিক্সের জন্য এবং , । $U_i$ $V_i$ $\left\lVert U_i - V_i\right\rVert < \epsilon\,\forall\, i \in \left\lbrace1, 2, \ldots, t\right \rbrace\implies \left\lVert U_t\ldots U_2U_1 - V_t\ldots V_2V_1\right\rVert \leq t\epsilon$

বাস্তবায়নের ক্ষেত্রে এর অর্থ কী, সামগ্রিক ত্রুটির জন্য ছাড়া আর কোনও অর্জন করা উচিত নয়, প্রতিটি গেটের সাথে মধ্যে প্রায় প্রয়োজন হয় , বা $\epsilon$ $\epsilon/t$

সামগ্রিকভাবে সার্কিটের সান্নিধ্য প্রয়োগ করা

প্রতিটি পৃথক গেটের সান্নিধ্য প্রয়োগের অনুরূপ, প্রতিটি ত্রুটিযুক্ত ত্রুটিযুক্ত কোনওরকম পুরো সার্কিটের চেয়ে বেশি আপনি যে গেটগুলি সংখ্যায়িত করছেন তার সংখ্যা দ্বারা বিভক্ত।

গেট সংশ্লেষণ নিরিখে অ্যালগরিদম গেট সেট পণ্য গ্রহণ করে সঞ্চালিত হয় একটি নতুন গেট সেট গঠন যা ফর্ম জন্য নেট (জন্য যে কোনও )। সনাক্তকরণ থেকে শুরু করে, লক্ষ্য ইউনিটেরিয়ালিতে আরও শক্ততর জাল পাওয়ার জন্য নতুন গেট সেট থেকে নতুন ইউনিটারিটি পুনরাবৃত্তভাবে পাওয়া যায়। অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, এই ক্রিয়াকলাপটি সম্পাদন করার জন্য একটি ধ্রুপদী অ্যালগরিদমের সময়টি , যা উপ-বহু-কালীন সময় time তবে , অনুযায়ী $\Gamma$ $\Gamma_0$ $\epsilon^2$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $A \in \operatorname{SU}\left(d\right),\, \exists U\in\Gamma_0\, s.t. \left\lVert A-U\right\rVert\leq\epsilon^2$ $\mathcal O\left(\mathit{poly} \log 1/\epsilon\right)$ হ্যারো, Recht, Chuang মধ্যে -dimensions, ব্যাসার্ধ্যের একটি বল হিসাবে প্রায় একটি ভলিউম হয়েছে , ব্যাখ্যা মূলকভাবে এই দাঁড়িপাল্লা মধ্যে মাত্রার একটি অ-নির্দিষ্ট সংখ্যক জন্য। $d$ $\epsilon$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $\propto \epsilon^{d^2-1}$ $d^2$

এটি চূড়ান্ত গণনার সময়কে প্রভাবিত করে। যাইহোক, উভয় গেটের সংখ্যা এবং শাস্ত্রীয় গণনা সংক্রান্ত জটিলতা উপ-বহুবচন হিসাবে, এটি কোনও অ্যালগোরিদমের জটিলতা শ্রেণিকে পরিবর্তন করে না, কমপক্ষে সাধারণভাবে বিবেচিত শ্রেণীর জন্য।

জন্য দরজা সামগ্রিক (সময় এবং গেট) জটিলতা তারপর $t$ ।

O (t p o l y \log \frac{t}{ϵ})

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac t\epsilon\right)$

মধ্যস্থতাকারী পরিমাপ ছাড়াই ইউনিটরি সার্কিট মডেল ব্যবহার করার সময়, গণনার পূর্বে কার্যকর হওয়া গেটগুলির সংখ্যা সর্বদা জানা যাবে। তবে, মধ্যস্থতাকারী পরিমাপ ব্যবহার করা হয় এমনটি ধারণা করা সম্ভব নয়, সুতরাং যখন আপনি আনুমানিক চান এমন গেটের সংখ্যা অজানা, এটি বলছে যে অজানা। এবং যদি আপনি কি না জানি না হয়, তাহলে আপনি সম্ভবত প্রত্যেক দরজার একটি ত্রুটির আনুমানিক করতে পারবে না । যদি আপনি গেটের সংখ্যার উপর একটি সীমাবদ্ধতা জানেন (বলুন, ), তবে সামগ্রিক ত্রুটি পেতে আপনি প্রতিটি গেটটি within এর মধ্যে আনুমানিক করতে পারেন $t$ $t$ $\epsilon/t$ $t_{\text{max}}$ $\epsilon/t_{\text{max}}$ $\leq\epsilon$ এবং জটিলতা যদিও সংখ্যার উপরের আবদ্ধ না থাকলে গেটস এর পরিচিত হয় , তারপর প্রতিটি গেট কিছু (ছোট) থেকে আনুমানিক করা হবে , একটি সামগ্রিক ত্রুটি দান বাস্তবায়িত দরজা ফলে নম্বর (যা শুরুতে অজানা) জন্য , একটি সঙ্গে সামগ্রিক জটিলতা

O (t p o l y \log \frac{t_{max}}{ϵ}),

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac {t_{\text{max}}}{\epsilon}\right),$

ϵ^{'}

$\epsilon'$

\leq t^{'} ϵ

$\leq t'\epsilon$

t^{'}

$t'$

O (t^{'} p o l y \log \frac{1}{ϵ^{'}}) .

$\mathcal O\left(t'\, \mathit{poly} \log \frac {1}{\epsilon'}\right).$

অবশ্যই, এই মোট ত্রুটি এখনও সীমাবদ্ধ নয়, তাই এক সহজ ¹ বেষ্টিত ত্রুটি পালন উপায়, বলো, একটি গুণক দ্বারা ত্রুটি প্রতিটি সময় কমাতে হবে , যাতে গেট হবে ত্রুটি দিয়ে প্রয়োগ করা হয়েছে । জটিলতাটি তখন একটি সামগ্রিক (এখন বহুপদী) জটিলতা দিচ্ছেন যদিও এই আছে একটি বেষ্টিত ত্রুটি নিশ্চয়তা সুবিধা হয়। $2$ $n^{th}$ $\epsilon/2^n$

O (p o l y \log \frac{2^{n}}{ϵ^{'}}) = O (p o l y n \log \frac{1}{ϵ^{'}}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly} \log \frac {2^n}{\epsilon'}\right) = \mathcal O\left(\mathit{poly}\, n\log \frac {1}{\epsilon'}\right),$

O (p o l y t \log \frac{1}{ϵ}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly}\, t \log \frac {1}{\epsilon}\right),$

এটি খুব খারাপ নয়, সুতরাং আমি আশা করব যে (গেটগুলির সংখ্যা অজানা থাকলে) ক্লাসিকাল কম্পিউটারগুলি কমপক্ষে তত দ্রুত কোয়ান্টাম প্রসেসরের প্রয়োজন মতো সঠিক গেটগুলি নিয়ে আসতে সক্ষম হবে। যদি বর্তমানে না হয়, তবে আশা করি একবার কোয়ান্টাম প্রসেসরগুলি এত ভাল হয়ে যায় যে এটি আসলে সমস্যা হয়ে দাঁড়ায়!

^{1 যদিও, সম্ভবত সবচেয়ে দক্ষ নয়}

— Mithrandir24601
সূত্র