কোয়ান্টাম জড়িয়ে পড়া কী এবং কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনে এটি কী ভূমিকা পালন করে?

Question

আমি বুঝতে চাই কোয়ান্টাম জড়িত কী এবং কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনে এটি কী ভূমিকা পালন করে।

দ্রষ্টব্য : @ জেমসওয়টন এবং @ নিলডিবিউদ্রাপের পরামর্শ অনুসারে আমি এখানে শাস্ত্রীয় উপমাটির জন্য আলাদা প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি ।

Comments

আমি যুক্তি দিয়ে বলব যে এটি জিজ্ঞাসা করা হিসাবে কিছুটা বিস্তৃত। সম্ভবত "কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনের জন্য জড়িত কেন" এর মতো আরও কিছু, এবং শাস্ত্রীয় উপমাটির জন্য পৃথক প্রশ্ন রয়েছে।

— জেমস ওয়াটন 10

আমি একটি প্রশ্নে সম্পাদনা করেছিলাম, তখন বুঝতে পেরেছিলাম যে এটি পিরামিডগুলির উত্তর সম্পর্কে আমার পক্ষপাতিত্ব করবে। তবে @ চিন্নি, আমি জেমসের সাথে একমত যে আপনার দুটি প্রশ্নের একটিতে ফোকাস করা উচিত।

— নিল ডি বৌদ্রাপ

@ জামেসওয়ুটন এবং নীল, পরামর্শের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি এখন থেকে এটা মনে রাখব। তবে যেহেতু এই প্রশ্নের ইতিমধ্যে তিনটি উত্তর রয়েছে তাই আমি যদি এটি দুটি পৃথক প্রশ্নে বিভক্ত করি তবে ঠিক হবে?

— চিন্নি

@ চিন্নি আমার মনে হয় এটি ঠিক আছে। সম্ভবত আপনার উত্তরগুলির নীচে দেওয়া মন্তব্যে উত্তরদাতাদের অবহিত করা উচিত যে তারা তাদের উত্তরও 'বিভক্ত' করতে পারে (যদি প্রযোজ্য হয়)।

— বিচ্ছিন্ন টিকটিকি

Answer 1

ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে ধ্রুপদী পারস্পরিক সম্পর্ক ঘটে যখন ভেরিয়েবলগুলি এলোমেলোভাবে উপস্থিত হয় তবে যার মানগুলি কোনওভাবে পদ্ধতিগতভাবে সম্মত (বা অসমত) হিসাবে দেখা যায় to তবে, সর্বদা এমন কেউ (বা এমন কিছু) থাকবেন যা 'জানে' ঠিক যে কোনও ক্ষেত্রে ভেরিয়েবলগুলি কী করছে।

শেষ অংশ ব্যতীত ভেরিয়েবলের মধ্যে জাল একই। এলোমেলোভাবে সত্যই এলোমেলো। পরিমাপের সময় পর্যন্ত এলোমেলো ফলাফলগুলি সম্পূর্ণ সিদ্ধান্তহীন। তবে কোনওভাবে ভেরিয়েবলগুলি, যদিও এগুলি ছায়াপথ দ্বারা পৃথক করা হতে পারে, এখনও সম্মত হতে জানেন।

---

সুতরাং ত্রুটি সংশোধনের জন্য এর অর্থ কী? আসুন একটি সহজ বিট জন্য ত্রুটি সংশোধন সম্পর্কে চিন্তা করে শুরু করা যাক ।

ক্লাসিকাল বিট সংরক্ষণ করার সময়, আপনার যে ধরণের ত্রুটি সম্পর্কে উদ্বিগ্ন হওয়া দরকার তা হ'ল বিট ফ্লিপ এবং ক্ষয় করার মতো জিনিস। তাই 0কোনও কিছু আপনাকে একটি 1বা তদ্বিপরীত করে তুলতে পারে। অথবা আপনার বিট কোথাও ঘুরে বেড়াতে পারে।

তথ্য সুরক্ষিত করার জন্য, আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে আমাদের যৌক্তিক বিটগুলি (আসল তথ্যগুলি আমরা সংরক্ষণ করতে চাই) কেবল একক শারীরিক বিটগুলিতে কেন্দ্রীভূত নয় । পরিবর্তে, আমরা এটি ছড়িয়ে। সুতরাং আমরা একটি সাধারণ পুনরাবৃত্তি এনকোডিং ব্যবহার করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, যেখানে আমরা আমাদের শারীরিক বিটগুলিতে আমাদের তথ্য অনুলিপি করি। কিছু দৈহিক বিট ব্যর্থ হলেও এমনকি এটি আমাদের তথ্যগুলি এখনও বেরিয়ে আসতে দেয়।

এটি ত্রুটি সংশোধন করার প্রাথমিক কাজ: আমরা আমাদের তথ্যগুলি ছড়িয়ে দিয়েছি, যাতে ত্রুটিগুলির জগাখিচুড়ি করা শক্ত হয়।

কোয়েটগুলির জন্য, চিন্তার জন্য আরও ধরণের ত্রুটি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি জানেন যে কুইটগুলি সুপারপজিশন অবস্থায় থাকতে পারে এবং পরিমাপগুলি এগুলিকে পরিবর্তন করে। অযাচিত পরিমাপগুলি হ'ল শব্দের আরেকটি উত্স, যা পরিবেশের সাথে ইন্টারঅ্যাক্ট করার কারণে ঘটে (এবং কোনও কোনও অর্থে আমাদের কোয়েটগুলি 'দেখায়')। এই ধরণের শব্দটি ডিকোয়ারেন্স হিসাবে পরিচিত।

সুতরাং এটি কীভাবে জিনিসগুলিকে প্রভাবিত করে? ধরুন আমরা কুইটস সহ পুনরাবৃত্তি এনকোডিং ব্যবহার করি। সুতরাং আমরা প্রতিস্থাপন 0 ⟩ সঙ্গে আমাদের কাঙ্ক্ষিত যৌক্তিক qubit রাজ্যের | 000 ... 000⟩ , অনেকগুলি শারীরিক কুইট জুড়ে পুনরাবৃত্তি করে এবং | 1 ⟩ সঙ্গে | 111 ... 111⟩ । এটি আবার বিট ফ্লিপ এবং ক্ষয় থেকে রক্ষা করে তবে বিপথগামী পরিমাপের জন্য এটি আরও সহজ করে তোলে। এখন পরিবেশ পরিমাপ কিনা আমরা আছে | 0 ⟩ বা | 1 ⟩ অনেক qubits কোন দিকে তাকিয়ে। এটি ডিকোহারেন্সের প্রভাবকে আরও শক্তিশালী করে তুলবে, যা আমরা আদৌ চেয়েছিলাম তা নয়!$|0\rangle$$|000...000\rangle$$|1\rangle$$|111...111\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$

এটি ঠিক করার জন্য, আমাদের লজিক্যাল কুইট তথ্যকে বিঘ্নিত করার জন্য ডিকোহারেন্সের জন্য আমাদের কঠোর করা দরকার, যেমনটি আমরা বিট ফ্লিপ এবং ক্ষয় করার জন্য কঠোর করেছিলাম। এটির জন্য, আমাদের লজিক্যাল কোয়েট পরিমাপ করা আমাদের আরও কঠিন করতে হবে। খুব বেশি কঠিন নয় যে আমরা যখনই চাই তা করতে পারি না, অবশ্যই, তবে পরিবেশ সহজেই করা খুব কঠিন। এর অর্থ এটি নিশ্চিত করা যে একটি একক শারীরিক কুইট পরিমাপ করা আমাদের লজিক্যাল কোয়েট সম্পর্কে কিছু না বলে। আসলে, আমাদের অবশ্যই এটি তৈরি করতে হবে যাতে কুইটগুলির পুরো গুচ্ছটি পরিমাপ করা যায় এবং কুইট সম্পর্কিত কোনও তথ্য আহরণের তুলনায় তাদের ফলাফলগুলি। কিছু দিক থেকে এটি এনক্রিপশনের একটি রূপ। ধাঁধাটির যথেষ্ট টুকরো আপনার প্রয়োজন যা ছবিটি কোনও ধারণা আছে।

আমরা এটি ক্লাসিকভাবে করার চেষ্টা করতে পারি। তথ্য অনেক বিট মধ্যে জটিল পারস্পরিক সম্পর্ক ছড়িয়ে যেতে পারে। যথেষ্ট পরিমাণ বিট দেখে এবং সংযোগগুলি বিশ্লেষণ করে আমরা লজিকাল বিট সম্পর্কে কিছু তথ্য বের করতে পারি।

তবে এই তথ্যটি পাওয়ার একমাত্র উপায় এটি হবে না। যেমনটি আমি আগেই বলেছি, শাস্ত্রীয়ভাবে সবসময় এমন যে কেউ বা এমন কিছু যা ইতিমধ্যে সমস্ত কিছু জানে। এটি কোনও ব্যক্তি, বা এনক্রিপশন পরিচালিত হওয়ার সময় বাতাসের কেবল নিদর্শনগুলি নিয়ে আসে না। যেভাবেই হোক, তথ্যটি আমাদের এনকোডিংয়ের বাইরে রয়েছে এবং এটি মূলত এমন একটি পরিবেশ যা সমস্ত কিছু জানে। এর অস্তিত্বের অর্থ হ'ল ডিকোহারেন্সটি অপূরণীয় মাত্রায় ঘটেছে।

তাই আমাদের জটলা দরকার। এটির সাহায্যে আমরা কোয়ান্টাম ভেরিয়েবলের সত্য এবং অজানা এলোমেলো ফলাফলগুলিতে পারস্পরিক সম্পর্ক ব্যবহার করে তথ্য গোপন করতে পারি।

Answer 2

এনট্যাঙ্গুলেট কোয়ান্টাম তথ্য এবং কোয়ান্টাম গণনার একটি প্রাকৃতিক অংশ। যদি এটি উপস্থিত না থাকে --- আপনি যদি এমনভাবে কিছু করার চেষ্টা করেন যাতে জড়িয়ে না পড়ে --- তবে আপনি কোয়ান্টাম গণনা থেকে কোনও উপকার পাবেন না। এবং যদি কোনও কোয়ান্টাম কম্পিউটার আকর্ষণীয় কিছু করে, তবে এটি কমপক্ষে একটি পার্শ্ব-প্রতিক্রিয়া হিসাবে, প্রচুর জড়িয়ে ফেলবে।

তবে, এর অর্থ এই নয় যে জড়িত হওয়া "কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলিকে যেতে দেয়"। এনট্যাংগুলেট একটি মেশিনের স্পিনিং গিয়ারের মতো: তারা ঘুরিয়ে না নিলে কিছুই হয় না, তবে এর অর্থ এই নয় যে এই গিয়ারগুলি দ্রুত স্পিন করা মেশিনটিকে আপনার যা করতে চান তা করার জন্য যথেষ্ট। (এনট্যাঙ্গেলমেন্ট হয় জন্য এই ভাবে একটি আদিম সম্পদ যোগাযোগ , কিন্তু না গণনার জন্য যতটা কেউ দেখেনি।)

এটি কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন হিসাবে সত্য এটি গণনার জন্য utation ত্রুটি সংশোধনের সমস্ত ফর্মগুলির মতো, কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন একটি বৃহত সিস্টেমের চারপাশে তথ্য বিতরণের মাধ্যমে কাজ করে, বিশেষত তথ্যের কিছু পরিমাপযোগ্য টুকরো সম্পর্কিত in এনট্যাঙ্গুলেট হ'ল সাধারন উপায় যেখানে কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলি পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হয়ে ওঠে তাই এটি কোনও অবাক হওয়ার মতো বিষয় নয় যে একটি ভাল কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোডটি পরে অনেকগুলি জড়িয়ে পড়ে। তবে এর অর্থ এই নয় যে হিলিয়াম বেলুনের মতো কিছু প্রকারের মতো "আপনার সিস্টেমে সম্পূর্ণ জড়িয়ে পড়া পাম্প" চালানোর চেষ্টা কোয়ান্টামের তথ্য সুরক্ষার জন্য দরকারী বা অর্থবহ।

কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কখনও কখনও জড়িয়ে পড়ার ক্ষেত্রে অস্পষ্টভাবে বর্ণনা করা হয়, তবে আরও গুরুত্বপূর্ণ এটি কীভাবে বিভিন্ন 'পর্যবেক্ষণযোগ্য' ব্যবহার করে প্যারিটি চেক জড়িত। এটি বর্ণনা করার জন্য সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সরঞ্জামটি হ'ল স্ট্যাবিলাইজার আনুষ্ঠানিকতা। স্ট্যাবিলাইজার আনুষ্ঠানিকতা কয়েকটি রাজ্যের বিপুল পরিমাণে বিভ্রান্তির সাথে বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে তবে আরও গুরুত্বপূর্ণভাবে এটি আপনাকে বহু-কবিট বৈশিষ্ট্য ("পর্যবেক্ষণযোগ্য") মোটামুটি সহজেই যুক্তিযুক্ত করতে দেয়। সেই দৃষ্টিকোণ থেকে, কেউ বুঝতে পারেন যে কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনটি সাধারণভাবে কেবল জড়িয়ে যাওয়ার চেয়ে স্পিন-হ্যামিলটোনীয়দের স্বল্প-শক্তিযুক্ত বহু-দেহ পদার্থবিজ্ঞানের সাথে আরও ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

Answer 3

জড়িয়ে যাওয়ার মতো কোনও শাস্ত্রীয় সমতুল্য নেই। জড়িয়ে থাকা সম্ভবত ডায়রাক (ব্রা-কেট) স্বরলিপি ব্যবহার করে সবচেয়ে ভাল বোঝা যায়।

প্রতিটি qubit (Ket) অবস্থায় হতে পারে বা রাজ্যের | 1 ⟩ বা উপরিপাত মধ্যে α | 0 ⟩ + + বিটা | 1 ⟩ যেখানে α এবং β জটিল সংখ্যার যে মেটান হয় | α | 2 + | β | 2 = 1 । আপনার যদি দুটি কুইবিট থাকে তবে 2-কুইট সিস্টেমের ভিত্তি রাজ্যগুলি | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , | 0 ⟩ ⊗ $\left|0\right>$$\left|1\right>$$\alpha\left|0\right> + \beta \left|1\right>$$\alpha$$\beta$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$\left|0\right> \otimes \left|0\right>$ , | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , এবং | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ । স্বরলিপিটি সহজ করার জন্য, পদার্থবিদরা প্রায়শই এগুলি হিসাবে লিখেন | 00 ⟩ , | 01 ⟩ , | 10 ⟩ , এবং | 11 ⟩ । তাই রাজ্যে হচ্ছে | 01 ⟩ মানে যে প্রথম qubit অবস্থায় রয়েছে | 0 ⟩ এবং দ্বিতীয় qubit অবস্থায় রয়েছে | 1 ⟩ ।$\left|0\right> \otimes \left|1\right>$$\left|1\right> \otimes \left|0\right>$$\left|1\right> \otimes \left|1\right>$$\left|00\right>$$\left|01\right>$$\left|10\right>$$\left|11\right>$$\left|01\right>$$\left|0\right>$$\left|1\right>$

এখন ধরনের একটি উপরিপাত বিবেচনা । এর অর্থ হ'ল প্রথম কুইবিট রাজ্যে | 0 ⟩ সম্ভাব্যতা সঙ্গে | α | 2 এবং রাজ্যে | 1 ⟩ অন্যথায়, যখন দ্বিতীয় qubit বিপরীত রাষ্ট্র প্রথম এক আমাদের য়ে সর্বদা: দুই কণা বিজড়িত করা হয়।$\alpha \left|01\right> + \beta \left|10\right>$$\left|0\right>$$|\alpha|^2$$\left|1\right>$

এটি গুরুত্বহীন যে এই উদাহরণে, জড়িত কুইটগুলি বিপরীত অবস্থায় থাকতে পারে: তারা একই অবস্থায় থাকতে পারে এবং এখনও জড়িয়ে পড়ে। কী গুরুত্বপূর্ণ তা হল তাদের রাজ্যগুলি একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র নয়। এটি পদার্থবিদদের জন্য প্রধান মাথাব্যথার কারণ হয়ে দাঁড়িয়েছে কারণ এর অর্থ হ'ল কুইবিটস (বা তাদের বহনকারী কণাগুলি) একসাথে কঠোরভাবে স্থানীয় সম্পত্তি থাকতে পারে না এবং বাস্তববাদ নামক একটি ধারণা দ্বারা পরিচালিত হতে পারে (তাদের রাজ্যগুলিকে অভ্যন্তরীণ সম্পত্তি হিসাবে প্রতিফলিত করে)। আইনস্টাইন বিখ্যাতভাবে ফলাফলটিকে প্যারাডক্স বলেছিলেন (যদি আপনি এখনও লোকালিটি এবং রিয়েলিজম ধরে নেন) "দূরত্বে ভুতুড়ে পদক্ষেপ"।

কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনে এনট্যাঙ্গমেন্ট একটি বিশেষ ভূমিকা পালন করে না: ত্রুটি সংশোধন অবশ্যই প্রতিটি রাজ্যের জন্য গণনীয় ভিত্তিতে কাজ করে (যা জড়িত না)। তারপরে এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে এই রাজ্যের সুপারপজিশনের জন্যও কাজ করে (যা জড়িত রাষ্ট্র হতে পারে)।

Comments

আমি এটি আরও ভালভাবে বুঝতে চাই, যদি সেখানে জড়িয়ে পড়ে তবে এই ত্রুটি সংশোধন অ্যালগরিদমের কার্যকারিতা উন্নত হবে বা আরও খারাপ হবে? এছাড়াও, জড়িয়ে পড়া ছাড়া কি কোয়ান্টাম সিস্টেম থাকা সম্ভব ?

— চিন্নি

জড়িয়ে থাকা বা না থাকা কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনকে প্রভাবিত করে না। হ্যাঁ, জড়িতগুলি ছাড়াই কোয়ান্টাম সিস্টেম রয়েছে; রাষ্ট্র যেমন একটি সিস্টেমের মধ্যে একটি পণ্য রাষ্ট্র বলা হয়, কারণ এটি (প্রথম qubit রাজ্যের) হিসেবে লেখা যেতে পারে (দ্বিতীয় qubit রাজ্যের), ইত্যাদি$\otimes$

— পিরামিড

@ পিরামিডস: আমি মনে করি যে "জড়িয়ে যাওয়ার কোনও ধ্রুপদী সমতুল্য নেই" এই বিবৃতিটি (যদিও সাধারণভাবে বলা সাধারণ) কিছুটা শক্ত বক্তব্য There একটি শাস্ত্রীয় এনালগ রয়েছে যদিও তা কোনওভাবেই গভীরভাবে রহস্যজনক নয় We আমরা প্রতিবারই এটি আহ্বান করছি we জড়ান কী তা ব্যাখ্যা করুন --- এবং সেই একই ধ্রুপদী এনালগের সাথে মানুষকে বিভ্রান্ত করার জাল থেকে রক্ষা করার জন্য সাহসের সাথে "জড়িয়ে পড়ার কোনও ধ্রুপদী এনালগ নেই" দাবি করুন But তবে ত্রুটি সংশোধনের প্রসঙ্গে, শাস্ত্রীয় এনালগের ভূমিকাটি ঠিক কী ইস্যুতে, কারণ এটি যা শাস্ত্রীয় ত্রুটি সংশোধনকে কাজ করে

— Ni

@ নিলদেবিউড্র্যাপ আমি যেভাবে জড়িয়ে পড়েছি (একটি অ-পণ্য রাষ্ট্র) তা বুঝতে পারি, এই বিবৃতি অত্যধিক শক্তির চেয়ে যথাযথ।

— পিরামিডগুলি

পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত ক্লাসিকাল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি জুটি একটি অ-পণ্য রাষ্ট্র এবং এটি অবশ্যই এইভাবে জড়িত হওয়ার জন্য এটি একটি ধ্রুপদী এনালগ। আপনার বক্তব্যটি "শক্তিশালী" করে তোলে তা হ'ল পছন্দের একটি স্বাধীনতা আছে যেখানে 'অ-অ্যানালগাস' প্রপঞ্চের চেয়ে 'সাদৃশ্য' এর মধ্যে রেখাটি আঁকানো হয় এবং আপনি লাইনটি একটি উচ্চ প্রান্তে আঁকিয়েছেন (যেমন রয়েছে entতিহাসিক কারণে জড়িয়ে পড়ার সাথে প্রচলিত)

— নিল ডি বৌদ্রাপ

Answer 4

কোড নামক একটি নির্দিষ্ট বর্গ জন্য বিশুদ্ধ , জড়াইয়া পড়া উপস্থিতি একটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট প্রয়োজন কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনের জন্য, অর্থাত্ সাব একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পর্যন্ত প্রভাবিত সব ত্রুটি সংশোধন করার।

কোড সংশোধন কোয়ান্টাম ত্রুটির জন্য Knill-Laflamme অবস্থার প্রত্যাহার পাবে সনাক্ত ত্রুটি একটি নির্দিষ্ট সেট $\{E_\alpha\}$ : কোন orthonormal ভিত্তিতে বাছাই $|i_\mathcal{Q}\rangle$ যে ধারন কোড-স্পেস। তারপর ত্রুটি $E_\alpha$ যাবে সনাক্ত করা যদি এবং কেবল যদি

$$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$$

নোট করুন যে $C(E_\alpha)$ হ'ল একটি ধ্রুবক যা কেবলমাত্র ত্রুটি $E_\alpha$ উপর নির্ভর করে , তবে $i$ এবং $j$ । (এই যে ত্রুটির মানে $E_\alpha$ একই ভাবে কোড subspace সব রাজ্যের প্রভাবিত)। ক্ষেত্রে $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$ , কোড নামক যদি বিশুদ্ধ । বিবেচিত অনেক স্ট্যাবিলাইজার কোড এই ফর্মের, যদিও কেতাভের টোরিক কোড নয়।

আসুন আমরা একটি ত্রুটি-মডেল ধরে নিই যেখানে আমাদের ত্রুটিগুলি কতগুলি সাবসিস্টেমগুলি কাজ করে সে সম্পর্কে আমরা কেবল আগ্রহী। যদি আমাদের কোডটি সমস্ত ত্রুটি E α সনাক্ত করতে পারে যা সর্বাধিক ( d - 1 ) সাবসিস্টেমগুলি অনিয়ন্ত্রিতভাবে কাজ করে তবে কোডটি দূরত্ব d বলে বলে । ফলস্বরূপ, errors ( d - 1 ) / 2 ⌋ সাবসিস্টেমগুলিতে প্রভাবিত যে কোনও ত্রুটির সংমিশ্রণ সংশোধন করা যায় ।$E_\alpha$$(d-1)$ $d$$\lfloor(d-1)/2\rfloor$

কি অনুসরণ করে যে দূরত্বের বিশুদ্ধ কোডগুলি হয় $d$ , কোড subspace শুয়ে যে ভেক্টর করা আবশ্যক সর্বাধিক বিজড়িত কোন bipartition যার ছোট সাব-সিস্টেম সবচেয়ে আকারে রয়েছে জুড়ে $(d-1)$ : এই দেখতে, নোট যে প্রতি ত্রুটির জন্য $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ এবং ভেক্টর $|v_\mathcal{Q} \rangle$ subspace মধ্যে (আমাদের ONB অবাধ নির্বাচন করা হয়েছিল), এক যে হয়েছে

$$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$$

এভাবে সর্বাধিক সমস্ত observables $(d-1)$ দলগুলোর অন্তর্ধান হয়, এবং সমস্ত কমে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স $(d-1)$ দলগুলোর সর্বাধিক মিশ্র হতে হবে। এটি বোঝায় যে $|v_\mathcal{Q}\rangle$ সর্বাধিক কোন পছন্দ জন্য বিজড়িত করা হয় $(d-1)$ দলগুলোর বাকি বনাম।

সংযোজন (পর্যাপ্ততার জন্য): এককের সমতুল্য সংজ্ঞা হিসাবে। (1): সমস্ত ত্রুটি $E_\alpha$ কম অভিনয় $d$ স্থান হতে পারে সনাক্ত করা , যদি এবং কেবল সবার জন্য যদি $|v\rangle, |w\rangle$ কোড subspace নিম্নলিখিত শর্ত ঝুলিতে এ,

$$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$$

খাঁটি কোডগুলির ক্ষেত্রে উপরের অভিব্যক্তিটি অদৃশ্য হয়ে যায়। এটা অনুসরণ যে যদি একজন subspace যেখানে প্রত্যেক রাষ্ট্র সর্বাধিক (ঘ -1) দলগুলোর বাকি বনাম সব bipartitions জন্য বিজড়িত রয়েছে, তাহলে এটি দূরত্বের একটি বিশুদ্ধ কোড $d$ ।

TL; ড: একটি বড় দূরত্বে জন্য $d$ , একটি বিশুদ্ধ কোড অত্যন্ত বিজড়িত রাজ্যের নিয়ে গঠিত। কোডটির অস্তিত্বের জন্য এটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত প্রয়োজনীয়তা।

সংযোজন: আমরা এই প্রশ্নটি আরও দেখেছি, বিশদটি সর্বাধিক দূরত্বের কোয়ান্টাম কোড এবং উচ্চতর জড়িত সাবস্পেসিসে পাওয়া যাবে । একটি বাণিজ্য বন্ধ রয়েছে: একটি কোয়ান্টাম কোড যত ত্রুটি সংশোধন করতে পারে, কোড জায়গার প্রতিটি ভেক্টর তত বেশি জড়িয়ে পড়তে হবে। এটি উপলব্ধি করে, কারণ তথ্যগুলি যেখানে অনেকগুলি কণার মধ্যে বিতরণ করা হয় না, পরিবেশ - কয়েক কুইবিট পড়ে - কোড স্পেসে বার্তাটি পুনরুদ্ধার করতে পারে। এটি ক্লোডিং বার্তাকে অ-ক্লোনিং উপপাদনের কারণে অগত্যা নষ্ট করে দেবে। এইভাবে একটি উচ্চ দূরত্বের জন্য উচ্চ জড়িয়ে পড়তে হবে।

Answer 5

এখানে কোয়ান্টাম কোডগুলিতে জড়িত থাকার ভূমিকা সম্পর্কে ভাবার একটি উপায় যা আমি মনে করি যে ফেলিক্স হবার্স প্রতিক্রিয়ার পরিপূরক।

$|\Psi\rangle_{RQ}$$Q$$Q$$S_1,S_2,S_3$

তারপরে, ত্রুটি সংশোধন শর্তগুলি সম্পর্কে চিন্তা করার একটি এনট্রপিক উপায় রয়েছে (আরও বীজগণিত নিল-লাফ্ল্যাম্মের অবস্থার তুলনায়)। বিশেষত, যদি

$$I(R:S_3) = 0$$

$Q$$S_1S_2$

ত্রুটি সংশোধনের জন্য এই এনট্রপিক পদ্ধতিটি ব্যবহার করে কোডগুলিতে জড়িয়ে থাকা বোঝার জন্য মোটামুটি প্রত্যক্ষ পথ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা প্রমাণ করতে পারি যে,

$$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$$

নিম্নরূপ. প্রথমে আমরা এই পারস্পরিক তথ্যকে এর সংজ্ঞা অনুসারে লিখি,

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$$

$X$$RS_1S_2S_3X$

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$$

$Q$$S_1S_2$$I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$$

Finally, we can bound the right hand side here below by $2 \log d_R$. The intuition behind how we can do this is that $S_3$ is ``significant'' in the sense that there is a set of shares (say $S_1$) which itself reveals no information about $Q$, but together with $S_3$ allows $Q$ to be recovered. Given this, we expect $S_3$ must carry $2\log d_R$ of entropy, since transferring it can be used to establish $2\log d_R$ worth of entanglement. A similar intuition appears in $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

$$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$$S_1S_3$$Q$$I(R:S_1)=0$$S(S_3) + S(S_3|X)$$I(S_1S_2:S_3)$