আমরা একবারে অনেকগুলি কার্য গণনা করতে কোয়ান্টাম সমান্তরালতা ব্যবহার করতে পারি?

Question

এটা তোলে সুপরিচিত যে কোয়ান্টাম উপমা ব্যবহার দ্বারা আমরা একটি ফাংশন নিরূপণ করতে পারেন হয় বিভিন্ন মানের জন্য একযোগে। যাইহোক, প্রতিটি মানের তথ্য, যেমন ডয়চের আলগোরিদিম সহ তথ্য বের করতে কিছু বুদ্ধিমান হেরফের প্রয়োজন।$f(x)$$x$

বিপরীত কেসটি বিবেচনা করুন: আমরা একক মান জন্য বহু ফাংশন (যেমন ) একসাথে গণনা করতে কোয়ান্টাম সমান্তরালতা ব্যবহার করতে পারি ?$f(x),g(x),\dots$$x_0$

Comments

মূল্যায়নের $f(x_0)$ এবং $g(x_0)$ আপনার একটি অনুলিপি তৈরি করতে হবে $x_0$প্রতিটি ক্রিয়াকলাপের জন্য যা সাধারণভাবে কোনও ক্লোনিং উপপাদ্য দ্বারা সম্ভব নয়। অন্যদিকে যদি আপনি কেবল একটি রাষ্ট্র প্রস্তুত করেন যা দ্বিগুণ$x_0$, আপনি কেবল ধ্রুপদী সমান্তরালতা পুনরুদ্ধার করুন।

@ হেনরিমনেক কীভাবে অসম্পূর্ণ ক্লোনিং সম্পর্কে?

— donnydm

@ হেনরিমেনকে: 'ক্লোনিং' সম্পর্কে আপনার ধারণাটি খুব বিস্তৃত বলে মনে হচ্ছে, উত্পাদনশীলভাবে সমস্যার সমাধানের জন্য আপনার ক্ষমতাকে কিছুটা বাধা দেওয়ার পয়েন্টে।

— নিল ডি বৌদ্রাপ

Answer 1

সঠিক উত্তরটি আপনি চান ঠিক ধরণের সুপারপজিশনের উপর নির্ভর করে। পিরামিড এবং নীল উভয়ের উত্তরগুলি আপনাকে এরকম কিছু দেয়

$$A\sum_{t=1}^n |\,\,f_t (x)\,\,\rangle \otimes |F_t\rangle$$

এখানে আমি নিলকে বিভিন্ন ফাংশন লেবেল করে অনুসরণ করেছি $f_1$, $f_2$ইত্যাদি $n$আপনি সুপারপোজ করতে চান এমন মোট কার্যকারিতা হিসাবে। আমিও ব্যবহার করেছি$F_t$ ফাংশনটির কিছু বর্ণনা বোঝাতে $f_t$একটি সঞ্চিত প্রোগ্রাম হিসাবে। দ্য$A$ রাষ্ট্রকে সাধারণীকরণের জন্য যে সংখ্যাটি থাকা দরকার কেবল তা হ'ল।

মনে রাখবেন যে এটি কেবলমাত্র একটি সুপারপজিশন নয় $f_t(x)$। এটি সঞ্চিত প্রোগ্রামের সাথে জড়িয়ে পড়ে। আপনি যদি সঞ্চিত প্রোগ্রামটি সন্ধান করতে চান তবে আপনার কাছে একটি মিশ্রণ রয়েছে$f_t(x)$। এর অর্থ হল যে সঞ্চিত প্রোগ্রামটি 'আবর্জনা' গঠন করতে পারে, যা হস্তক্ষেপের প্রভাবগুলিকে প্রতিরোধ করে যা আপনি সম্ভবত গণনা করছেন। অথবা এটি নাও পারে। এটি আপনার গণনায় এই সুপারপজিশনটি কীভাবে ব্যবহৃত হবে তার উপর নির্ভর করে।

আপনি যদি আবর্জনা থেকে মুক্তি চান তবে জিনিসগুলি আরও জটিল হয়ে উঠবে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনি যা চান তা একক$U$ যে প্রভাব আছে

$$U : \,\,\, | x \rangle \otimes |0\rangle^{\otimes N} \rightarrow A \sum_{t=1}^n |\,\,f_t (x)\,\,\rangle$$

সমস্ত সম্ভাব্য ইনপুট জন্য $x$(যা আমি ধরে নিচ্ছি যে গণনা ভিত্তিতে বিট স্ট্রিংগুলি লেখা হয়েছে)। নোট করুন যে আমি ইনপুট সাইডে কিছু ফাঁকা কুইটসও অন্তর্ভুক্ত করেছি, যদি ফাংশনগুলিতে ইনপুটগুলির চেয়ে দীর্ঘ আউটপুট থাকে।

এটি থেকে আমরা খুব শীঘ্রই একটি শর্তটি খুঁজে পেতে পারি যে ফাংশনগুলি অবশ্যই মেটানো উচিত: যেহেতু ইনপুট স্টেটগুলি একটি অর্থোগোনাল সেট গঠন করে, তাই অবশ্যই ফলাফলগুলি আউটপুটগুলি। এটি এই ধরণের একত্রিত হতে পারে এমন ধরণের ক্রিয়াকলাপগুলিতে একটি উল্লেখযোগ্য সীমাবদ্ধতা স্থাপন করবে।

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ, আমি মনে করি এইভাবে কেউ টেলর সম্প্রসারণ গণনার মতো দ্রুতগতিতে আসতে পারে। যাইহোক, সঞ্চিত প্রোগ্রামটি কিছু তথ্য পাওয়ার জন্য অ্যাক্সেস / পরিমাপ করা যেতে পারে, বা এটি কেবল একটি সরঞ্জাম?

— donnydm

সঞ্চিত প্রোগ্রামটি সবেমাত্র কুইটসের একটি রেজিস্টারে লিখিত হবে, সুতরাং এটি অবশ্যই ম্যানিপুলেট করা যায়।

— জেমস ওয়াটন

Answer 2

কাজগুলি $f,g,\ldots$যে আপনি বিভিন্ন গণনামূলক শাখায় মূল্যায়ন করতে চান তা অবশ্যই কোনওরকম গণনাযোগ্য হওয়ার জন্য কোনও উপায়ে নির্দিষ্ট করে রাখতে হবে (যেমন শাস্ত্রীয় লজিক গেটের ক্রম)। এবং সেট $\{ f_1, f_2 , \ldots \}$ আপনি যে ফাংশনগুলি গণনা করতে চান তার মধ্যে নিজেই গণনাযোগ্য হওয়া উচিত: প্রদত্ত জন্য $t$, আপনি অবশ্যই একটি স্পেসিফিকেশন গণনা করতে সক্ষম হতে হবে $f_t$তার যুক্তি গণনা করা হয়। কার্যকারিতা: আপনার অবশ্যই কার্যকারিতা বর্ণনা করার একটি মাধ্যম থাকতে হবে$f_t$সঞ্চিত প্রোগ্রাম হিসাবে। (কোয়ান্টাম গণনা বিবেচনা করার আগেও, এই সমস্ত প্রয়োজনীয়, "এক / সমস্ত ক্রিয়াকলাপ গণনা করার প্রশ্নে)$f_1, f_2, \ldots$ একটি ইনপুট $x_0$"অর্থবহ হতে।)

একবার আপনি স্টোরেজ প্রোগ্রাম হিসাবে ফাংশন নির্দিষ্ট করার একটি উপায় পরে, আপনি মূলত সম্পন্ন করেছেন: একটি প্রোগ্রাম মূলত অন্য ধরণের ইনপুট হয়, যা আপনি সুপারপজিশনে প্রস্তুত করতে পারেন, এবং উদাহরণস্বরূপ একটি নির্দিষ্ট ইনপুট, বা ইনপুটগুলির একটি সুপারপজিশনে গণনা করে মূল্যায়ন করতে পারেন a প্রতিটি শাখায় তাদের নির্দিষ্টকরণ থেকে ফাংশন।

এটি করা থেকে একটি প্রতিযোগিতামূলক সুবিধা অর্জন করা একটি পৃথক বিষয়, এবং কার্যগুলিতে কিছু নির্দিষ্ট কাঠামো জড়িত থাকতে হবে $f_t$ যার সুবিধা আপনি নিতে পারেন, তবে প্রশ্নটি বোধগম্য হওয়ার জন্য আপনার কাছে পর্যাপ্ত তথ্য থাকলে সহজেই "সুপারপজিশনে মূল্যায়ন" করা সম্ভব।

Answer 3

হ্যাঁ ("একবারে অনেকগুলি কার্য গণনা" এর উপর নির্ভর করে)

ফাংশন দেয় এমন সার্কিট বর্ণনা করে $f$ যেমন $U_f$ এবং সার্কিট প্রদান $g$ যেমন $U_g$, এটি করার কয়েকটি উপায় রয়েছে:

1. কুইট রেজিস্টার দিয়ে শুরু করে $\left|00x\right>$, একটি রাষ্ট্র প্রস্তুত $\alpha\left|01\right>+\beta\left|10\right>$প্রথম দুটি রেজিস্টারে। রাজ্যে এই রেজিস্টারটি রাখার জন্য প্রথম রেজিস্টারটিতে ইউনিটরি ¹ প্রয়োগ করে এটি করা যেতে পারে$\alpha\left|0\right> + \beta\left|1\right>$ CNOT প্রয়োগের আগে, তারপর $I\otimes X$। তারপরে, আবেদন করুন$CU_f$ প্রথম নিবন্ধ থেকে তৃতীয় এবং $CU_g$ দ্বিতীয় থেকে তৃতীয় পর্যন্ত

   1.1। এটি দেয় যে তৃতীয় নিবন্ধক এখন রাজ্যে$\left(\alpha U_f + \beta U_g\right)\left|x\right>$, যখন প্রাথমিক অপারেশনগুলি (অবধি) $I\otimes X$) প্রথম দুটি রেজিস্টার বিপরীত হয়। তবে স্বেচ্ছাচারিত নিয়ন্ত্রিত-একক ক্রিয়াকলাপ বাস্তবায়নের সাধারণ অসুবিধার কারণে (পাশাপাশি অতিরিক্ত কোয়েট অপ্রয়োজনীয়ভাবে ব্যবহার করা) সম্ভবত ইউনিটরিটি ডায়াল করে সরাসরি এটি প্রয়োগ করা আরও সহজ হবে$\alpha U_f + \beta U_g$। নোট করুন যে এটি বাস্তবায়ন করছে না$f$ না $g$, কিন্তু একটি নতুন, ভিন্ন ফাংশন $f+g$

   1.2। প্রথম দুটি রেজিস্টারে প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপগুলি উল্টো না করে তৃতীয়টিকে কিছু জড়িয়ে পড়া অবস্থায় ফেলে দেয়$f$ এবং $g$, যা অন্যান্য উত্তরে আলোচনা করা হয়।

2. রাষ্ট্র দিয়ে শুরু $\left|xx\right>$ এবং আবেদন $U_f$ প্রথম রেজিস্টার এবং $U_g$ to the second. This is the closest to classical parallelism, where both functions are applied independently to copies of the same state. Aside from requiring twice the number of qubits, the issue here is that, due to no-cloning, in order to copy $\left|x\right>$, it either has to be known, or be a classical state (i.e. not involve superpositions in the computational basis). Approximate cloning could also be used.

3. Start with the state $\left|0x\right>$, as well as a classical register. Apply a unitary¹ to put the first register in the superposition $\alpha\left|0\right>+\beta\left|1\right>$. Now, measure this register (putting the result in the classical register) and apply the classical operation IF RESULT = 0 U_f ELSE U_g. While this may seem less powerful than either of the above operations, this is in some sense, equivalent to the quantum channel $\mathcal E\left(\rho\right) = \lvert\alpha\rvert^2U_f\rho U_f^\dagger + \lvert\beta\rvert^2U_g\rho U_g^\dagger$. Such methods can be used to make random unitaries, which have applications in e.g. boson sampling and randomised benchmarking

---

^{1 given by}

$$\begin{pmatrix}\alpha &&-\beta^* \\ \beta && \alpha^*\end{pmatrix}$$

Comments

This is interesting, partially because no stored program needed. Is the CNOT in number 1 necessary?

— donnydm

Answer 4

Yes, one can. The trick is to define (and implement) a new function $f_\mathrm{all}(y,x)$ that evaluates to $f(x)$ if $y=0$, to $g(x)$ if $y=1$, etc. Then one prepares the qubits representing $y$ in the desired superposition and set $x$ to $x_0$.