গ্রোভার বিস্তারণ অপারেটর কীভাবে কাজ করে এবং কেন এটি সর্বোত্তম?

ইন এই উত্তর , গ্রোভার এর এলগরিদম ব্যাখ্যা করা হয়। ব্যাখ্যাটি ইঙ্গিত দেয় যে অ্যালগরিদম গ্রোভার ডিফিউশন অপারেটরের উপর খুব বেশি নির্ভর করে , তবে এই অপারেটরের অভ্যন্তরীণ কার্যকারিতা সম্পর্কে বিশদ দেয় না।

সংক্ষেপে, গ্রোভার ডিফিউশন অপারেটর পরিমাপযোগ্য হওয়ার জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় আকারের ছোট ছোট পার্থক্যগুলি পুনরাবৃত্তভাবে তৈরি করতে একটি 'গড় সম্পর্কে বিবর্তন' তৈরি করে।

প্রশ্নগুলি এখন:

গ্রোভার বিস্তারণ অপারেটর কীভাবে এটি অর্জন করতে পারে?
কেন একটি অর্র্ডারড ডাটাবেস অনুকূল অনুসন্ধান করতে মোট সময়ে ফলাফল ? $O(\sqrt{n})$

algorithm grovers-algorithm

— বিচ্ছুরিত টিকটিকি
সূত্র

দ্বিতীয় প্রশ্নের উপর একটি মন্তব্য। গ্রোভারের অ্যালগরিদমে রাজ্যের ট্র্যাকটি ঠিক জ্যোডেসিককে অ্যালগরিদমের প্রাথমিক অবস্থার সাথে এবং গন্তব্যস্থলের রাজ্যের সাথে সংযুক্ত করে অনুসরণ করে works সুতরাং এটি সর্বোত্তম।

— XXDD

উত্তর:

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ যেহেতু মূল প্রশ্নটি একজন সাধারণ ব্যক্তির বর্ণনার বিষয়ে ছিল তাই আমি একটি অবিচ্ছিন্ন সময় উপস্থাপনের ভিত্তিতে কিছুটা আলাদা সমাধান প্রস্তাব করি যা সম্ভবত বোঝা সহজ (পটভূমি নির্ভর) বিবর্তন। (তবে এটি কোনও সাধারণ মানুষের পক্ষে উপযুক্ত বলে আমি কোনও ভ্রান্তি করি না।)

আমরা একটি প্রারম্ভিক অবস্থা থেকে শুরু করি যা সমস্ত রাজ্যের একরকম সুপারপজিশন, এবং আমরা এমন একটি রাজ্য লক্ষ্য নিয়ে যাচ্ছি যা সঠিক উত্তর হিসাবে স্বীকৃত হতে পারে (ধরে নিলাম ঠিক এরকম একটি রাষ্ট্র রয়েছে, যদিও এটি সাধারণীকরণযোগ্য হতে পারে)। এটি করার জন্য, আমরা হ্যামিলটোনিয়ান the এর ক্রিয়াকলাপের সাথে সময়ে সময়ে বিকশিত হই গ্রোভারের অনুসন্ধানের সত্যই সুন্দর বৈশিষ্ট্যটি এই যে, আমরা সমস্ত পরিবর্তে কেবলমাত্র দুটি স্টেটস হ্রাস করতে পারি । যদি আমরা এই রাজ্যগুলি থেকে অর্থনরমাল ভিত্তি তৈরি করি তবে এটি বর্ণনা করা সহজ, যেখানে

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2^{এন}}} \underset{Y \in {0, 1}^{এন}}{Σ} | Y ⟩

$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{y\in\{0,1\}^n}\ket{y}$

| x ⟩

$\ket{x}$

এইচ = | এক্স ⟩ ⟨ এক্স | + + | ψ ⟩ ⟨ ψ | ।

$H=\proj{x}+\proj{\psi}.$

{| x ⟩, | ψ ⟩}

$\{\ket{x},\ket{\psi}\}$

2^{n}

$2^n$

{| x ⟩, | ψ^{⊥} ⟩}

$\{\ket{x},\ket{\psi^\perp}\}$

| ψ^{⊥} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2^{এন} - 1}} \underset{Y \in {0, 1}^{এন} : Y \neq এক্স}{Σ} | Y ⟩ ।

$\ket{\psi^{\perp}}=\frac{1}{\sqrt{2^n-1}}\sum_{y\in\{0,1\}^n:y\neq x}\ket{y}.$ এই ভিত্তিটি ব্যবহার করে, সময় বিবর্তন হিসাবে লেখা যেতে পারে যেখানে এবং মান পাউলি ম্যাট্রিক্স আছে। এটি হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে সুতরাং, আমরা যদি সময়ের জন্য বিবর্তিত হই

e^{- i H t} | ψ ⟩

$e^{-iHt}\ket{\psi}$

ই^{- আমি টি (আমি + + 2^{- এন} জেড + + \frac{\sqrt{2^{এন} - 1}}{2^{এন}} এক্স)} \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2^{এন}}} \\ \sqrt{1 - \frac{1}{2^{এন}}} \end{matrix}),

$e^{-it\left(\mathbb{I}+2^{-n}Z+\frac{\sqrt{2^n-1}}{2^{n}}X\right)}\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2^n}} \\ \sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{array}\right),$

X

$X$

Z

$Z$

e^{- i t} (I \cos (\frac{t}{2^{n / 2}}) - i \frac{1}{2^{n / 2}} \sin (\frac{t}{2^{n / 2}}) (Z + X \sqrt{2^{n} - 1})) (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \\ \sqrt{1 - \frac{1}{2^{n}}} \end{matrix}) .

$e^{-it}\left(\mathbb{I}\cos\left(\frac{t}{2^{n/2}}\right)-i\frac{1}{2^{n/2}}\sin\left(\frac{t}{2^{n/2}}\right)\left(Z+X\sqrt{2^n-1}\right)\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2^n}} \\ \sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{array}\right).$

t = \frac{π}{2} 2^{n / 2}

$t=\frac{\pi}{2}2^{n/2}$ , এবং বিশ্বব্যাপী পর্যায়ক্রমে উপেক্ষা করে চূড়ান্ত অবস্থাটি হ'ল অন্য কথায়, সম্ভাব্যতা 1, আমরা রাষ্ট্র পেতে যে আমরা জন্য অনুসন্ধান করা হয়। গ্রোভারের অনুসন্ধানের সাধারণ সার্কিট-ভিত্তিক বিবরণটি হ'ল এই অবিচ্ছিন্ন সময় বিবর্তনকে বিচ্ছিন্ন পদক্ষেপগুলিতে বিভক্ত করা হয়েছে, এতে সামান্য অসুবিধা রয়েছে যা আপনি সাধারণত আপনার ফলাফলের জন্য ঠিক সম্ভবত সম্ভাবনা 1 পান না, এটির খুব কাছেই।

\frac{1}{2^{n / 2}} (Z + X \sqrt{2^{n} - 1}) (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \\ \sqrt{1 - \frac{1}{2^{n}}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2^{n}} \\ - \frac{\sqrt{2^{n} - 1}}{2^{n}} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 - \frac{1}{2^{n}} \\ \frac{\sqrt{2^{n} - 1}}{2^{n}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) .

$\frac{1}{2^{n/2}}\left(Z+X\sqrt{2^n-1}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2^n}} \\ \sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2^n} \\ -\frac{\sqrt{2^n-1}}{2^n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 1-\frac{1}{2^n} \\ \frac{\sqrt{2^n-1}}{2^n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right).$

| x ⟩

$\ket{x}$

একটি সতর্কতা নিম্নরূপ: আপনি পুনরায় সংজ্ঞায়িত করতে পারেন , এবং ব্যবহার করে বিবর্তিত হতে পারেন এবং বিবর্তনের সময়টি 5 গুণ কম হবে। আপনি যদি সত্যিই র‌্যাডিক্যাল হতে চান, তবে 5 টি with দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন , এবং গ্রোভারের অনুসন্ধান স্থির সময়ে চলছে! তবে আপনাকে এটিকে নির্বিচারে করার অনুমতি নেই। প্রদত্ত যে কোনও পরীক্ষার একটি স্থির সর্বোচ্চ সংযুক্ত শক্তি (অর্থাত্ একটি নির্দিষ্ট গুণক) থাকবে। সুতরাং, বিভিন্ন পরীক্ষা-নিরীক্ষা বিভিন্ন চলমান বার আছে, কিন্তু তাদের স্কেলিং একই হয় । এটি ঠিক যেমনটি বলার মতো যে সার্কিট মডেলটির গেটের দাম স্থির থাকে, ধরে নেওয়া না যে আমরা যদি ডিগ্রি এর একটি সার্কিট ব্যবহার করি তবে প্রতিটি গেটটি সময়ে চালানো যেতে পারে । $\tilde H=5H$ $\tilde H$ $2^{n/2}$ $2^{n/2}$ $k$ $1/k$

অনুকূলতার প্রমাণটি মূলত এটি অন্তর্ভুক্ত করে তা দেখানো হয় যে আপনি যদি একটি সম্ভাব্য চিহ্নিত রাষ্ট্রের সনাক্তকরণ করেন made $\ket{x}$ $\ket{y}$

— DaftWullie
সূত্র

$D = -H^{\otimes n}U_0H^{\otimes n}$ $U_0$

U_{0} | 0^{\otimes n} ⟩ = - | 0^{\otimes n} ⟩, U_{0} | x ⟩ = | x ⟩ for | x ⟩ \neq | 0^{\otimes n} ⟩ .

$U_0\left|0^{\otimes n}\right> = -\left|0^{\otimes n}\right>,\,U_0\left|x\right> = \left|x\right>\,\text{for} \left|x\right>\neq\left|0^{\otimes n}\right>.$

$U_0$ $U_0 = I-2\left|0^{\otimes n}\rangle\langle0^{\otimes n}\right|$

D = 2 | + ⟩ ⟨ + | - I,

$D= 2\left|+\rangle\langle+\right| - I,$

| + ⟩ = 2^{- n / 2} {(| 0 ⟩ + | 1 ⟩)}^{\otimes n}

$\left|+\right> = 2^{-n/2}\left(\left|0\right> + \left|1\right>\right)^{\otimes n}$

$\left|+\right>$

$x_0$

বেনেট ইত্যাদি। অল। দেখানো হয়েছে যে এটি সর্বোত্তম। একটি এনপি-সমস্যার ক্লাসিকাল সমাধান গ্রহণের মাধ্যমে গ্রোভারের অ্যালগরিদম এটি চতুর্ভুজিকভাবে গতি বাড়ানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। তবে, একটি ভাষা নিচ্ছেন $\mathcal L_A = \left\lbrace y:\exists x\, A\left(x\right) = y\right\rbrace$ $A$ $T\left(n\right)=\mathcal o\left(2^{n/2}\right)$

$\left|1\right>^{\otimes n}$ $\mathcal L_{A_y}$ $\mathcal L_A$ $\mathcal L_{A_y}$ $T\left(n\right)$ $1/3$

জালকা পরে দেখিয়েছেন যে গ্রোভারের অ্যালগরিদম হুবহু অনুকূল।

^{1 গ্রোভারের অ্যালগরিদমে, বিয়োগ চিহ্নগুলি বৃত্তাকারে সরানো যেতে পারে, তাই যেখানে বিয়োগ চিহ্নটি কিছুটা স্বেচ্ছাসেবী এবং প্রসারণকারী অপারেটরের সংজ্ঞায় থাকতে হবে না necess}

^{$\left|+^\perp\right>$}

^{$A$ $M^A$ $A_y$ $M^{A_y}$ $S$ $M^A$ $M^{A_y}$ $t$ $\epsilon$ $<2T^2/\epsilon^2$ $M^A$ $\left|1\right>^{\otimes n}$ $\mathcal L_A$ $2^n - \text{Card}\left(S\right)$ $M^A$ $\left|1\right>^{\otimes n}$ $2^n-1$ $T\left(n\right)=\mathcal o\left(2^{n/2}\right)$ $\mathcal L_A$}

^{4 ইউক্যালিডিয়ান দূরত্ব ব্যবহার করে, দ্বিগুণ ট্রেস দূরত্বটি}

— Mithrandir24601
সূত্র