সুস্পষ্ট লাইব-রবিনসন বেগ সীমা

স্থানীয় হ্যামিলটোনীয়ের কারণে সিস্টেমের মাধ্যমে কীভাবে প্রভাবগুলি প্রচার করা হয় তা লাইব-রবিনসন সীমানায় বর্ণনা করে। এগুলি প্রায়শই form আকারে বর্ণিত হয় যেখানে এবং অপারেটর যারা একটি জালির উপর একটি এর সাথে পৃথক করা হয় যেখানে হ্যামিলটোনীয় কিছুটা দ্বারা আবদ্ধ সেই জালিতে স্থানীয় (যেমন নিকটতম প্রতিবেশী) এর ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে । নিদর্শনাবলী Lieb রবিনসন এর সাধারণত আবদ্ধ একটি বেগ অস্তিত্ব দেন (যে উপর নির্ভর করে )। এটি প্রায়শই এই সিস্টেমে বৈশিষ্ট্য সীমাবদ্ধ করার জন্য সত্যিই দরকারী। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, কিছু সত্যিই চমৎকার ফলাফল ছিল এখানে

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$

J

$J$ নিকটতম-প্রতিবেশী হ্যামিলটনিয়ান ব্যবহার করে একটি GHZ রাজ্য উত্পন্ন করতে কতক্ষণ সময় নেয় সে সম্পর্কিত

সমস্যা হল আমি ছিল করেছি যে প্রমাণাদি পর্যাপ্ত জেনেরিক এটি কি বেগ আসলে একটা সংকুচিত মান পাওয়া কঠিন হয় হয় কোনো সিস্টেমের জন্য।

নির্দিষ্ট হতে, হ্যামিলটোনিয়ান দ্বারা মিলিত কুইটগুলির একটি মাত্রিক চেইনের কল্পনা করুন যেখানে সমস্ত জন্য । এখানে , এবং একটি পাউলি অপারেটর চিত্রিত একটি প্রদত্ত qubit প্রয়োগ করা হচ্ছে , এবং সর্বত্র অন্য। আপনি কি এক্কে সিস্টেমের জন্য লাইব-রবিনসন বেগ জন্য উপরের সীমাটি (যেমন যথাসম্ভব শক্ত) দিতে পারেন ? (1)?

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$

n

$n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

Z_{n}

$Z_n$

n

$n$

I

$\mathbb{I}$ $v$

এই প্রশ্নটি দুটি পৃথক অনুমানের অধীনে জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে:

এবং সব সময় সংশোধন করা হয় $J_n$ $B_n$
এবং সময় পরিবর্তিত হতে অনুমতি দেওয়া হয়। $J_n$ $B_n$

পূর্ববর্তীটি একটি শক্তিশালী অনুমান যা প্রমাণগুলি আরও সহজ করে তুলতে পারে, যদিও উত্তরকটি সাধারণত লি-রবিনসন সীমানার বিবৃতিতে অন্তর্ভুক্ত থাকে।

প্রেরণা

কোয়ান্টাম গণনা এবং আরও সাধারণভাবে কোয়ান্টাম তথ্য আকর্ষণীয় কোয়ান্টাম রাজ্য তৈরিতে নেমে আসে। যেমন কর্মযজ্ঞের মধ্য দিয়ে এই , আমরা যে তথ্য একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ সময় এক জায়গা থেকে কোয়ান্টাম সিস্টেম বিবর্তন চলছে একে অপরের কাছে সঞ্চারিত করার জন্য একটি হ্যামিল্টনিয়ান যেমন কারণে Eq হিসেবে নেয় দেখুন। (1), এবং সেই কোয়ান্টাম রাজ্যগুলি, যেমন জিএইচজেড রাজ্যগুলি বা টপোলজিকাল অর্ডারযুক্ত রাজ্যগুলি উত্পাদন করতে নির্দিষ্ট পরিমাণ সময় নেয়। ফলাফলটি বর্তমানে যা দেখায় তা হ'ল স্কেলিং সম্পর্ক, যেমন প্রয়োজনীয় সময়টি হ'ল । $\Omega(N)$

সুতরাং, আসুন আমি বলি যে আমি এমন একটি প্রকল্প নিয়ে এসেছি যা তথ্য স্থানান্তর করে, বা একটি জিএইচজেড রাজ্য উত্পাদন করে এমনভাবে যাতে মধ্যে রৈখিকভাবে স্কেল করে । প্রকল্পটি আসলে কতটা ভাল? যদি আমার স্পষ্ট বেগ হয় তবে আমি দেখতে পাচ্ছি যে নীচের গণ্ডির তুলনায় আমার স্কিমে স্কেলিং সহগ কতটা ঘনিষ্ঠভাবে মিলেছে। $N$

যদি আমি মনে করি যে একদিন আমি যা দেখতে চাই তা ল্যাবটিতে প্রয়োগ করা একটি প্রোটোকল, তবে আমি কেবলমাত্র ব্রড স্কেলিং কার্যকারিতা নয়, এই স্কেলিং সহগগুলির অনুকূলকরণ সম্পর্কে খুব যত্নশীল, কারণ যত দ্রুত আমি একটি প্রোটোকল প্রয়োগ করতে পারি, সেখানে কম সুযোগ শোনার জন্য আসার জন্য এবং সমস্ত গোলমাল করা।

আরো তথ্য

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ এই হ্যামিলটোনীয়দের কয়েকটি সুন্দর বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আমি ধরে নিই গণনা সহজ করে। বিশেষত, হ্যামিলটোনিয়ান একটি স্ট্যান্ডার্ড কাঠামো স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিতে 1 এস সংখ্যার উপর ভিত্তি করে (এটি উত্তেজনা সংরক্ষণ হিসাবে বলা হয়) এবং আরও ভাল, জর্ডান-উইগনার রূপান্তর দেখায় যে উচ্চতর উত্তেজনার উপসর্গের সমস্ত বৈশিষ্ট্য উত্পন্ন করা যেতে পারে 1-উত্তেজনার সাবসপেস থেকে। $N\times N$ $h$ $2^N\times 2^N$ $H$ , যেখানে কিছু প্রমাণ রয়েছে যে লাইব-রবিনসনের গতি , যেমন এখানে এবং এখানে , তবে এই সমস্তগুলি সমানভাবে মিলিত চেইনের একটি ঘনিষ্ঠভাবে ব্যবহার করে, যার একটি গ্রুপ বেগ (এবং আমি ধরে নিই যে গ্রুপের বেগটি খুব ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত ছিল লাইব-রবিনসন বেগ)। এটি প্রমাণিত করে না যে সংযুক্তির শক্তির সমস্ত সম্ভাব্য পছন্দগুলির একটি গতিবেগ এতটা আবদ্ধ।

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$

v = 2 J

$v=2J$

2 J

$2J$

প্রেরণায় আমি আরও কিছুটা যুক্ত করতে পারি। চেইনের এক প্রান্তে শুরু হওয়া একক উত্তেজনার সময়ের বিবর্তন, time 1 Consider বিবেচনা করুন , এবং এর প্রশস্ততা শৃঙ্খলার অন্য প্রান্তে পৌঁছানোর জন্য কী , অল্প সময়ের পরে । প্রথমে অর্ডার দেওয়ার জন্য , এটি হ'ল আপনি যে লাইফ-রবিনসন সিস্টেম দ্বারা সংজ্ঞায়িত 'হালকা শঙ্কু'র বাইরে থাকার আশা করতে পারেন এমন ঘনিষ্ঠ কার্যকারিতাটি আপনি দেখতে পাচ্ছেন, তবে আরও গুরুত্বপূর্ণ, আপনি যদি এই প্রশস্ততাটি সর্বাধিক করতে চান তবে আপনি সমস্ত সেট করেছেন $\ket{1}$ $\ket{N}$ $\delta t$ $\delta t$

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$

J_{n} = J

$J_n=J$ । সুতরাং, অল্প সময়ে, অভিন্ন যুগলব্যাপী সিস্টেমটি সবচেয়ে দ্রুত স্থানান্তরের দিকে পরিচালিত করে। এটিকে আরও ধাক্কা দেওয়ার চেষ্টা করে, আপনি কিছুটা ফ্যাদ হিসাবে জিজ্ঞাসা করতে পারেন, কখন বৃহত্তর সীমা গ্রহণ করে এবং স্টার্লিংয়ের সূত্রটি ফ্যাক্টরিয়ালটিতে ব্যবহার করে বাড়ে যা সর্বাধিক গতিবেগের প্রস্তাব দেয় । বন্ধ, তবে কঠোরভাবে কঠোর (উচ্চতর অর্ডার শর্তগুলি অ-উপেক্ষিত হিসাবে)!

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$

N

$N$

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$

e J

$eJ$

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
সূত্র

আপনি কি সেই মডেলের প্রমাণগুলি থেকে সেরা এলআর-গন্ডি গণনা করেছেন? আপনি যে গতির সাথে উদ্ধৃত করেছেন তার সাথে এটি কীভাবে তুলনা করে?

— নরবার্ট শুচ

ঠিক আছে, আমি স্বীকার করি এটি একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটিং প্রশ্ন, কমপক্ষে যেভাবে আমি এখন এটি ব্যাখ্যা করছি: " এবং (কিছু সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে) পছন্দ কী যা তথ্য / রাষ্ট্র / ... স্থানান্তরের জন্য সর্বাধিক বেগ দেয়। " --- এটি কি সঠিক ব্যাখ্যা?

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— নরবার্ট শুচ

পছন্দ করেছেন আমি বলতে সক্ষম হতে চাই "আমি একটি কাপলিংয়ের একটি সেট নিয়ে এসেছি যা একটি নির্দিষ্ট স্কেলিংয়ের সাথে একটি প্রোটোকল অর্জন করে That এই প্রোটোকলটি লাইব-রবিনসন সীমানা দ্বারা আবদ্ধ হিসাবে পরিচিত। আমি এই সীমাবদ্ধতাটি পূরণ করার কতটা কাছাকাছি?" আমার প্রোটোকলটি কত গতিযুক্ত তা পরিমাপ হিসাবে।

— ড্যাফটউইলি

@ ড্যাফটওয়ুলি তাই - আপনি কি প্রশ্ন করছেন: "আমি অনুকূল হওয়ার কতটা কাছাকাছি", বা "আমি একরকম আবদ্ধের (কতটা সম্ভবতমকে নিচ্ছি) এর কতটা কাছাকাছি?"

— নরবার্ট শুচ

@ user1271772 এটি সঠিক।

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— ড্যাফটওয়ুলি

প্রথমে আপনি সাধারণ প্রশ্নের উত্তর দিন, যখন আপনি জেনেরিকভাবে স্থানীয়ভাবে কথোপকথনের জালির মডেলটির মুখোমুখি হন তখন কীভাবে যুক্তিসঙ্গতভাবে টানটানা লেব-রবিনসন (এলআর) গতি পাবেন, এবং তারপরে আমি আপনার প্রশ্নে 1 ডি এক্সওয়াই মডেলটিতে ফিরে আসব, যা খুব বিশেষভাবে সমাধানযোগ্য হতে বিশেষ।

সাধারণ পদ্ধতি

তারিখের নিকৃষ্টতমতম বাঁধা পাওয়ার পদ্ধতি (জেনেরিক স্বল্প-পরিসীমা ইন্টারেক্টিভ মডেলের জন্য) রেফ 1 = আরএক্সিভি: 1908.03997 এ চালু করা হয়েছে । মূল ধারণাটি হ'ল অসমস্বেচ্ছাসেবক স্থানীয় অপারেটরগুলির মধ্যে মডেলটির ক্রমবর্ধমান গ্রাফের উপর নির্ভর করে প্রথম অর্ডার লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির একটি সেট সমাধানের মাধ্যমে উপরের দিকে আবদ্ধ হতে পারে । রেফ 1 এর সেক। III এ চালু হওয়া যাতায়াত গ্রাফটি হ্যামিলটোনীয় the মডেল থেকে সহজেই আঁকতে পারে এবং in উপস্থাপিত বিভিন্ন স্থানীয় অপারেটরের মধ্যে যাতায়াত সম্পর্ককে প্রতিফলিত করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ $\hat{H}$ $\hat{H}$ । অনুবাদ অদলীয় সিস্টেমগুলিতে, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সেটটি একটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম দ্বারা সহজেই সমাধান করা যায়, এবং এলআর গতির একটি উপরের সীমাটি বৃহত্তম ইগেনফ্রুয়েন্সি app ব্যবহার করে গণনা করা যায় রেফ 1 এর একা (31) । নিম্নলিখিতগুলিতে আমি এই পদ্ধতিটি শিক্ষাগত উদাহরণ হিসাবে 1 ডি এক্সওয়াই মডেলটিতে প্রয়োগ করব। সরলতার জন্য, আমি সময়-স্বতন্ত্র এবং অনুবাদ মামলায় ফোকাস করব , (ফলস্বরূপ চিহ্নগুলির উপর নির্ভর করে না $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ $B_n,J_n$ )। অ-আক্রমণকারী, সময়-নির্ভর কেস অনুবাদটির জন্য, আপনি পার্থক্য সমীকরণকে সংখ্যাগতভাবে সমাধান করতে পারেন (এটি হাজার হাজার সাইটের সিস্টেমের জন্য একটি সহজ গণনামূলক কাজ), অথবা আপনি সামগ্রিক উপরের ব্যবহার করতে পারেন এবং নীচের পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে এগিয়ে যান (তবে এটি সংখ্যার পদ্ধতির তুলনায় কিছুটা সাথে আপস করে)। $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

প্রথমে আমরা নীচে যেমন পরিবহণের গ্রাফ আঁকছি। হ্যামিলটোনীয় প্রতিটি অপারেটর ( , , ) একটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, এবং আমরা সংশ্লিষ্ট অপারেটরগুলি চলাচল না করলে কেবল এবং দুটি আমরা সংযুক্ত করি ( বা, বর্তমান ক্ষেত্রে, বিরোধী যাতায়াত) $X_{n}X_{n+1}$ $Y_nY_{n+1}$ $Z_n$
তারপরে রেফ 1 এর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (10) :
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
ফুরিয়ার উপরোক্ত সমীকরণকে রূপান্তরিত করে, আমাদের eigenfrequencies হয় । এলআর গতি রেফ 1 এর এক। (31) দ্বারা দেওয়া হয়েছে : q লেক কোথায়
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

দ্রষ্টব্য: এই বাউন্ডটি যখন বিচ্যুত , যখন শারীরিক তথ্য প্রচারের গতি সীমাবদ্ধ থাকে। সেকেন্ডে পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আমরা এই সমস্যা থেকে মুক্তি পেতে পারি। রেফ 1 এর VI । ফলাফলটি এই সীমাতে, যেখানে সমীকরণ এর সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে । $B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

কিছু ক্লাসিক মডেলের জন্য বেগ সীমাবদ্ধ

উপরোক্ত পদ্ধতিটি সম্পূর্ণ সাধারণ। আপনি যদি আরও আগ্রহী হন তবে আমি একই ধরণেরভাবে প্রাপ্ত কয়েকটি ক্লাসিক মডেলের জন্য গতিবেগের সীমাটি তালিকাভুক্ত করেছি। লক্ষ করুন যে এলআর বেগ listed তালিকাভুক্ত সমস্ত এক্সপ্রেশনগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট দ্বারা আবদ্ধ থাকে (যাতে বিভিন্ন প্যারামিটার অঞ্চলে বিভিন্ন এক্সপ্রেশন ব্যবহার করা উচিত)। ফাংশন সর্ববৃহৎ রুট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়সমস্ত প্যারামিটারগুলি ইতিবাচক বলে ধরে নেওয়া হয় (কেবলমাত্র নেতিবাচক ক্ষেত্রেগুলির জন্য নিখুঁত মান নিন)। $v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

এই সীমাগুলি কতটা ভাল তা সম্পর্কে আমি সাধারণভাবে তদন্ত করে দেখিনি, তবে 1 ডি টিএফআইএমের সমালোচনামূলক পয়েন্ট সঠিক সমাধানটি দেয়, যখন উপরের দেয় । একইভাবে, এ ইএইচ এবং বিন্দু সব একটি গুণক দ্বারা সঠিক সমাধান চেয়ে বড় হাইজেনবের্গ xyz এর পয়েন্ট, উপরে আবদ্ধ হয় । [প্রকৃতপক্ষে এই বিশেষ পয়েন্টগুলিতে দ্বিতীয়টি টিএফআইএমের ডিকোপলড চেইনের সমতুল্য, যেমন তাদের পরিবহণের গ্রাফ থেকে সরাসরি বিচার করা যেতে পারে]] $J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

ফিরমিনগুলিতে ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে 1 ডি এক্সওয়াইয়ের জন্য শক্ততর আবদ্ধ

এখন 1D XY মডেল সম্পর্কে আরও কথা বলা যাক। আপনারা যেমন লক্ষ্য করেছেন, সমাধানযোগ্য: জেনারেল আপনাকে ফ্রি-ফার্মিয়ন সংখ্যাগতভাবে সমাধান করা দরকার তবে আমাকে দুটি বিশেষ ক্ষেত্রে উল্লেখ করতে হবে যা বিশ্লেষণাত্মকভাবে ট্র্যাকটেবল are

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ স্থির এবং অনুবাদ । তারপরে সঠিক সমাধানটি হ'ল যেখানে হ'ল আদেশের বেসেল ফাংশন। সুতরাং এল আর গতি ।
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ স্থির হয়ে থাকে তবে সম্পূর্ণ এলোমেলোভাবে ( ডিসঅর্ডার)। তারপরে বহু-বডি স্থানীয়করণের কারণে (বা ফার্মিওন ছবিতে অ্যান্ডারসন স্থানীয়করণের কারণে ) তথ্য এই সিস্টেমে প্রচার করে না, সুতরাং । আরও কঠোরভাবে, আরএক্সআইভিতে: কোয়ান্ট-পিএইচ / 0703209 , নিম্নোক্ত আবদ্ধতাটি বিশৃঙ্খলাবদ্ধ মামলার জন্য প্রমাণিত হয়েছে: একটি decelerating সঙ্গে, লগারিদমিক আলো শঙ্কু । $v_{\text{LR}}=0$
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— Lagrenge
সূত্র

সহ প্রতিটি মডেলের (অনুবাদ ছাড়াই) সহ যে কথাটি বলছেন তা থেকে কি আমার অনুমান করা উচিত যে বেগটি ?

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

— দফতউল্লি

@ ড্যাফটওয়ুলি না, আপনি কেবলমাত্র সাধারণ পদ্ধতিতে পরামিতিগুলির জন্য সামগ্রিক উপরের বাউন্ড ব্যবহার করতে পারেন, যেহেতু সাধারণ পদ্ধতি সর্বদা একটি বাউন্ড দেয় যা কোনও সহগের পরম মানের মধ্যে কঠোরভাবে হ্রাস পায় না। সীমাবদ্ধ 2 ফ্রি-ফার্মিয়ন সঠিক সমাধান থেকে পাওয়া যায়, যাতে আপনি পরামিতিগুলির জন্য সামগ্রিক উপরের বাউন্ড ব্যবহার করতে পারবেন না, এবং কেস কেস কেস সমাধান করতে হবে। যদি অনুবাদ অদ্বিতীয় হয়, তবে আপনি টার্মটি with দিয়ে যাতায়াত করার পরে সাধারণ পদ্ধতিতে নির্ধারণ করতে পারেন এবং ।

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

— ল্যাগরেঞ্জ

@ ড্যাফটওয়ুলি প্রিয় ড্যাফটউইলি, আপনি যদি মনে করেন আমার উত্তরটিতে এখনও কিছু অনুপস্থিত বা কোনও বক্তব্য এখনও অস্পষ্ট, দয়া করে আমাকে জানান।

— ই

উত্তরটি সম্ভাব্যভাবে দরকারী বলে মনে হচ্ছে। আপনার কাগজটি দেখার জন্য আমার এখনও সময় হয়নি (এটি কয়েক সপ্তাহ হতে পারে)। ধরে নিচ্ছি আমি সবকিছু ঠিকঠাক বুঝতে পেরেছি, এটাই আমি আপনার উত্তরটি গ্রহণ করব।

— দাফটওয়ালি