ফুরিয়ার নমুনা আসলে কীভাবে কাজ করে (এবং সমতা সমস্যার সমাধান করে)?

আমি অধ্যাপক উমেশ বাজিরানির প্রথম এবং দ্বিতীয় ফুরিয়ার স্যাম্পলিং ভিডিও বক্তৃতার দ্বিতীয় শ্রদ্ধার সাথে লিখছি with

অংশে আমি তাদের দিয়ে শুরু করি:

হাডামারড ট্রান্সফর্ম এ:

| 0...0 ⟩ \to \sum_{{0, 1}^{n}} \frac{1}{2^{n / 2}} | x ⟩

$|0...0\rangle \to \sum_{\{0,1\}^n}\frac{1}{2^{n/2}}|x\rangle$

| u ⟩ = | u_{1} . . . u_{n} ⟩ \to \sum_{{0, 1}^{n}} \frac{(- 1)^{u . x}}{2^{n / 2}} | x ⟩ (where u . x = u_{1} x_{1} + u_{2} x_{2} + . . . + u_{n} x_{n})

$|u\rangle =|u_1...u_n\rangle \to \sum_{\{0,1\}^n}\frac{(-1)^{u.x}}{2^{n/2}}|x\rangle \quad \text{(where $u.x=u_1x_1+u_2x_2+...+u_nx_n$)}$

ফুরিয়ার স্যাম্পলিংয়ে:

| ψ ⟩ = \sum_{{0, 1}}^{n} α_{x} | x ⟩ \to \sum_{x} \hat{α_{x}} | x ⟩ = | \hat{ψ} ⟩

$|\psi\rangle=\sum_{\{0,1\}}^{n}\alpha_x|x\rangle \to \sum_{x}\hat{\alpha_x}|x\rangle=|\hat{\psi}\rangle$

যখন পরিমাপ করা হয় আমরা দেখতে সম্ভাব্যতা সঙ্গে । $|\hat{\psi}\rangle$ $x$ $|\hat{\alpha_x}|^2$

দ্বিতীয় খণ্ডে:

সমতা সমস্যা:

আমাদের একটি ফাংশন দেওয়া আছে black একটি কালো বাক্স হিসাবেআমরা সেটা জানি (অর্থাত ) জন্য কিছু গোপন । কীভাবে আমরা চিন্তা করি থেকে কয়েক কুয়েরি দিয়ে সম্ভব? $f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}$ $f(x)=u.x$ $u_1x_1+u_2x_2+...+u_nx_n (\text{mod 2})$ $u\in\{0,1\}^{n}$ $u$ $f$

তারা বলে যে, আমরা figuring আউট জন্য একটি দুই ধাপ পদ্ধতি অনুসরণ করতে হবে ধাপের সর্বনিম্ন সম্ভব সংখ্যায়। $u$

একটি সুপারপজিশন সেট করুন $\frac{1}{2^{n/2}}\sum_{x}(-1)^{f(x)}|x\rangle$
নমুনা ফুরিয়ার প্রাপ্ত । $u$

এখানেই আমি হারিয়ে গেলাম। "একটি সুপারপজিশন সেট আপ ..." দ্বারা তারা ঠিক কী বোঝায় তা আমি বুঝতে পারি না। আমাদের এটি করা উচিত কেন ? এবং কিভাবে ফুরিয়ার স্যাম্পলিং (বর্ণনা অনুযায়ী) সাহায্যের নির্ধারণ করে ? $u$

তারা আরও এইভাবে একটি কোয়ান্টাম গেট নির্মাণ:

এমনকি এটি আমার কাছে অর্থবোধ করে না। তারা রাজ্য রেঞ্জযুক্ত এন-কোয়েটগুলির একটি সেটে হাদামারড রূপান্তরগুলি সম্পাদন করছে এবং তারপরে বিট ফ্লিপ করুন এবং আবার হাডামার্ড রূপান্তর করবে। সুতরাং আমরা যেখানে ফিরেছিলাম সেখানে ফিরে যাই। কীভাবে একটি অতিরিক্ত স্টেট ইনপুট আউটপুট দিয়ে সহায়তা করে ? আমি এখানেও নিশ্চিত নই যে কী অপারেশন এখানে দাঁড়াবে। $|0\rangle$ $|-\rangle$ $- \oplus f(0...0)$ $\oplus$

quantum-gate fourier-sampling

— সঁচায়ণ দত্ত
সূত্র

শুরু থেকে শুরু (শুরু করার জন্য খুব ভাল জায়গা, সর্বোপরি), রাজ্যটি হ'ল (এখানে, 'ফুরিয়ার নমুনা' বলা হয়) এর ইনপুট । এটি রাজ্যটিএখন, আমরা দিতে অপারেশনটি প্রয়োগ (এই ক্ষেত্রে, বিট ওরাকল ) $\left| 0\right\rangle^{\otimes n}\left| -\right\rangle$ $H^{\otimes n}\otimes I$

(\underset{এক্স = {0, 1}^{এন}}{Σ} \frac{1}{2^{এন / 2}} | এক্স ⟩) | - ⟩ = \frac{1}{2^{এন / 2}} {(| 0 ⟩ + + | 1 ⟩)}^{\otimes এন} | - ⟩ ।

$\left(\sum_{x=\{0,1\}^n}\frac{1}{2^{n/2}}|x\rangle\right)\left|-\right\rangle = \frac{1}{2^{n/2}}\left(\left|0\right\rangle + \left|1\right\rangle\right)^{\otimes n}\left|-\right\rangle.$

U_{f}

$U_f$

{ইউ}_{চ} (\underset{এক্স = {0, 1}^{এন}}{Σ} \frac{1}{2^{এন / 2}} | এক্স ⟩) | - ⟩ = \underset{এক্স = {0, 1}^{এন}}{Σ} \frac{1}{2^{এন / 2}} | এক্স ⟩ | - \oplus চ (এক্স) ⟩ ।

$U_f\left(\sum_{x=\{0,1\}^n}\frac{1}{2^{n/2}}|x\rangle\right)\left|-\right\rangle = \sum_{x=\{0,1\}^n}\frac{1}{2^{n/2}}|x\rangle\left|-\oplus f\left(x\right)\right\rangle.$

প্রথম পয়েন্টটি লক্ষ্য করুন যে হল ক্লাসিকাল এক্সওআর অপারেশন । এটি যা দেয় তা আসলে পর্বের ওরাকল , যাতে আমরাএর কারণ হল । এটি 'একটি সুপারপজিশন সেট আপ করুন ...' পয়েন্ট - এই সমস্ত অর্থ হল $\oplus$

(\underset{এক্স = {0, 1}^{এন}}{Σ} \frac{1}{2^{এন / 2}} {(- 1)}^{চ (এক্স)} | এক্স ⟩) | - ⟩ ।

$\left(\sum_{x=\{0,1\}^n}\frac{1}{2^{n/2}}\left(-1\right)^{f\left(x\right)}\left|x\right\rangle\right)\left|-\right\rangle.$

U_{f} | x ⟩ (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) = | x ⟩ | f (x) ⟩ - | 1 \oplus f (x) ⟩ = {(- 1)}^{f (x)} | x ⟩ (| 0 ⟩ - | 1 ⟩)

$U_f\left|x\right\rangle\left(\left|0\right\rangle - \left|1\right\rangle\right) = \left|x\right\rangle\left|f\left(x\right)\right\rangle - \left|1\oplus f\left(x\right)\right\rangle = \left(-1\right)^{f\left(x\right)}\left|x\right\rangle\left(\left|0\right\rangle - \left|1\right\rangle\right)$ উপরের রাজ্যে কুইটস সেট করতে প্রয়োজনীয় ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করুন, যা সমস্ত সম্ভাব্য রাজ্যের একটি সুপারপজিশন (এই ক্ষেত্রে ফেজ ফ্যাক্টর সহ) । এই ক্ষেত্রে, এটি কেবল হাদামারড, তারপরে একটি পর্যায়ের ওরাকল।

এখন, কেবল একটি ধ্রুপদী বিট স্ট্রিং: , তাই $x$ $x = \prod_ix_i$

এইচ | {এক্স}_{আমি} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + + {(- 1)}^{{এক্স}_{আমি}} | 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} \underset{Y = {0, 1}}{Σ} {(- 1)}^{{এক্স}_{আমি} । Y} | Y ⟩ ।

$H\left|x_i\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle + \left(-1\right)^{x_i}\left|1\right\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{y=\left\lbrace0, 1\right\rbrace}\left(-1\right)^{x_i.y}\left|y\right\rangle.$

এটি সম্পত্তি দেয়

{এইচ}^{\otimes এন} | এক্স ⟩ = \frac{1}{2^{এন / 2}} \underset{Y \in {0, 1}^{এন}}{Σ} {(- 1)}^{এক্স । Y} | Y ⟩ ।

$H^{\otimes n}\left| x\right\rangle = \frac{1}{2^{n/2}}\sum_{y\in\left\lbrace0, 1\right\rbrace^n}\left(-1\right)^{x.y}\left|y\right\rangle.$

এটি gives হিসাবে চূড়ান্ত অবস্থা দেয়

\frac{1}{2^{এন}} (\underset{এক্স, Y = {0, 1}^{এন}}{Σ} {(- 1)}^{চ (এক্স) \oplus এক্স । Y} | Y ⟩) | - ⟩ ।

$\frac{1}{2^n}\left(\sum_{x, y=\{0,1\}^n}\left(-1\right)^{f\left(x\right) \oplus x.y}\left|y\right\rangle\right)\left|-\right\rangle.$

আমরা জানি যে , । পদগুলির উপরে দেয় যে । এর অর্থ হল যে আমরা জন্য এই শব্দটি রেখে গেছি , যার অর্থ , আউটপুটটিকে , যা এটি পরিমাপ করা হয় প্রাপ্ত । $f\left(x\right) = u.x = x.u$ $\left(-1\right)^{f\left(x\right) \oplus x.y} = \left(-1\right)^{x.\left(u\oplus y\right)}$ $x$ $\sum_x\left(-1\right)^{x.\left(u\oplus y\right)} = 0,\, \forall\, u\oplus y \neq 0$ $u\oplus y = 0$ $u=y$ $\left|u\right\rangle\left|-\right\rangle$ $u$

হিসাবে কেন আমরা একটি উপরিপাত সেট আপ করতে চান এই যেখানে কোয়ান্টাম কম্পিউটিং শক্তি গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে - কম গাণিতিক ভাষায় বলতে গেলে, Hadamard রূপান্তর qubit রাজ্যের একটি ঘূর্ণন কার্য সম্পাদন করে তা দশায় পেতে আবেদন । তারপরে আপনি এক্সওআর (এই নতুন ভিত্তিতে) এর সমতুল্য অপারেশন ব্যবহার করে এই সুপারপজিশন অবস্থায় প্রতিটি কুইবিট ঘোরান, যাতে আবার হাডামারড রূপান্তর সম্পাদন করার সময়, আপনি এখন কেবল রাজ্যের । এটি দেখার আরেকটি উপায় হ'ল এটিকে প্রতিফলন বা বিপরীত হিসাবে বিবেচনা করা যা একই ফলাফল অর্জন করে। $\left|+\right\rangle^{\otimes n}$ $\left|u\right\rangle$

মুল বক্তব্যটি হ'ল সুপারপজিশনটি ব্যবহার করে আমরা ক্লাসিকাল ক্ষেত্রে প্রতিটি কুইবিটকে স্বতন্ত্রভাবে পরীক্ষা না করে বরং একই সাথে সমস্ত কুইবিটের সাথে এটি করতে পারি।

— Mithrandir24601
সূত্র