"কোড স্পেস", "কোড ওয়ার্ড" এবং "স্ট্যাবিলাইজার কোড" এর মধ্যে পার্থক্য কী?

12

আমি নিম্নলিখিত তিনটি পর্যায় (যেমন নিলসন এবং চুয়াং, 2010; পৃষ্ঠা 456 এবং 465) পড়তে থাকি; "কোড স্পেস", "কোড ওয়ার্ড" এবং "স্ট্যাবিলাইজার কোড" - তবে সেগুলির সংজ্ঞা এবং আরও গুরুত্বপূর্ণ কীভাবে তারা একে অপরের থেকে পৃথক হয় তা সন্ধান করতে আমার খুব সমস্যা হচ্ছে।

আমার প্রশ্ন তাই; এই তিনটি পদকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এগুলি কীভাবে সম্পর্কিত?

— কোয়ান্টাম স্প্যাগিটাইটিফিকেশন
সূত্র

11

কোড স্পেস এবং কোড শব্দ

কোড সংশোধন করার ক্ষেত্রে একটি কোয়ান্টাম ত্রুটি প্রায়শই কোড-স্পেসের সাথে চিহ্নিত করা হয় (নিলসন এবং চুয়াং অবশ্যই এটি করে বলে মনে হচ্ছে)। কোড স্থান একটি যেমন এর -qubit কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড একটি ভেক্টর subspace হয় । $\mathcal C$ $n$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

একটি কোড শব্দ (পরিভাষা যা ত্রুটি সংশোধন শাস্ত্রীয় তত্ত্ব থেকে নেওয়া হয়েছিল) একটি রাষ্ট্র কিছু কোড-স্পেস জন্য: যে, এটি একটি রাষ্ট্র যা কিছু ডেটা এনকোড করা হয়। $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড

অনুশীলনে, আমরা কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড ধরে রাখতে কিছু অ-তুচ্ছ বৈশিষ্ট্য দাবি করি, যেমন:

যে , যাতে একটি শূন্য-পরিমাণ তথ্য এনকোড করা হয়; $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
একটি সেট আছে অপারেটর সহ অন্তত দুই অপারেটরের , যেমন যে - যদি সম্মুখের লম্ব প্রজেক্টর হয় - আমরা কিছু স্কেলারের জন্য ( নিল – লাফলম শর্ত হিসাবে পরিচিত )। $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

এই বিরুদ্ধে আপনি নীতিগতভাবে একটি রাষ্ট্র রক্ষা করতে পারে ত্রুটি অপারেটরদের কিছু সেট নির্ধারণ করে , যে Knill-Laflamme অবস্থার অপারেটার একটি সেটের কাছে, তাহলে , এবং কিছু অপারেটর আপনার রাষ্ট্র উপর কাজ করে, এটা সত্য যে সনাক্ত করতে নীতিগতভাবে সম্ভব ঘটেছে (কিছু উল্টোদিকে অন্যান্য অপারেটর ) এবং ত্রুটি পূর্বাবস্থা, মূল রাষ্ট্র সংরক্ষিত ডেটা ব্যাহত ছাড়া । $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

একজন কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড একটি কোড-স্পেস হয় , একসঙ্গে সঙ্গে ত্রুটি অপারেটার একটি সেট যা Knill-Laflamme অবস্থার সন্তুষ্ট - যে, কোয়ান্টাম কোড সংশোধন ত্রুটি উল্লেখ করতে হবে যা ত্রুটি এটা রক্ষা করার জন্য বোঝানো হয়। $\mathcal C$ $\mathcal E$

কোয়ান্টাম ত্রুটিগুলি তাদের কোড-স্পেসের সাহায্যে কোড সংশোধন করা কেন সাধারণ

আপনি অপারেটরগুলির একটি অনন্য সেট নির্ধারণ করতে পারবেন না যা একা কোড-স্পেস থেকে নিল – ল্যাফ্ল্যামে শর্ত পূরণ করে । তবে, নিম্ন-ওজন অপারেটরগুলি (যাঁরা কেবলমাত্র একটি ছোট সংখ্যক কুইবিটে কাজ করেন) একযোগে কোনও কোড দ্বারা সংশোধন করা যেতে পারে এবং এটি কেবলমাত্র কোড-স্পেস থেকে প্রাপ্ত হতে পারে তা বিবেচনা করা সবচেয়ে সাধারণ । কোড দূরত্ব একটি কোড স্থান qubits ক্ষুদ্রতম সংখ্যা আপনি, কাজ এক "কোড-শব্দ" রুপান্তর আছে যে মধ্যে একটি স্বতন্ত্র codeword $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ । যদি আমরা তখন কোনও কোড-স্পেসকে একটি হিসাবে বর্ণনা করি কোড, এই তারপর বলছেন যে মাত্রা রয়েছে সেট, এবং আমরা বিবেচনা যে সর্বাধিক ওজন সঙ্গে সব পাউলি অপারেটরদের সেট । $[\![n,k,d]\!]$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

কিছু ক্ষেত্রে, কোডকে একটি হিসাবে বর্ণনা করে কোড যথেষ্ট। উদাহরণস্বরূপ, 5-কুইট কোডটি একটি $[\![n,k,d]\!]$ $[\![5,1,3]\!]$ $[\![7,1,3]\!]$ $X$ $Z$

স্ট্যাবিলাইজার কোড

$\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

প্রায় সব কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড যা লোকেদের অনুশীলনে বিবেচনা করা হয় সেগুলি স্ট্যাবিলাইজার কোড। এই দুটি কারণকে আলাদা করতে আপনার সমস্যা হতে পারে এটি একটি কারণ। তবে, আমাদের প্রয়োজন নেই যে কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোডটি একটি স্টেবিলাইজার কোড হতে পারে - যেমন নীতিগতভাবে আমাদের লিনিয়ার কোড হওয়ার জন্য শাস্ত্রীয় ত্রুটি সংশোধন কোডের প্রয়োজন হয় না। স্ট্যাবিলাইজার কোডগুলি কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনকারী কোডগুলি বর্ণনা করার একটি অত্যন্ত সফল উপায় হতে পারে, যেমন লিনিয়ার ত্রুটি সংশোধনকারী কোডগুলি শাস্ত্রীয় ত্রুটি সংশোধনকারী কোডগুলি বর্ণনা করার একটি অত্যন্ত সফল উপায়। এবং প্রকৃতপক্ষে, স্টেবিলাইজার কোডগুলি ক্লাসিকাল লিনিয়ার কোডের তত্ত্বের কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধনের প্রাকৃতিক সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে ।

$\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

$E$ $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
$E, E'$ $\sigma(E,S)$ $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

$P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

2

পরিভাষাটি কিছুটা আলাদা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি গোটসম্যানের থিসিসটি পড়েছেন, এবং তিনি কোড স্পেসের কোনও কোড শব্দকে কোনও বৈধ রাষ্ট্র হিসাবে নিয়ে কথা বলেছেন এবং তিনি '

— বেসড

1

C

$\mathcal C$

μ

$\mu$

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

5

$|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

$\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

$S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$

— DaftWullie
সূত্র

5

$k$ $n$

$|0\rangle$

কোড স্পেস হিলবার্ট স্পেস যা সম্ভাব্য সমস্ত কোড শব্দের দ্বারা বিভক্ত। স্টেবিলাইজার কোডের জন্য, এই শব্দটি স্টেবিলাইজার স্পেসের সমার্থক। এই কোড স্পেসের মধ্যে যে কোনও রাজ্য হ'ল একটি কোড শব্দ

$+1$ $n-k$

— জেমস ওয়াটন
সূত্র