প্রাথমিক হ্যামিলটোনিয়ান চূড়ান্ত হ্যামিলটোনীয়দের সাথে অ্যাডিয়াব্যাটিক কোয়ান্টাম গণনা না করায় এটি কেন গুরুত্বপূর্ণ?

Question

আমি অনেক সূত্র ও বই পড়েছি রুদ্ধতাপীয় কোয়ান্টাম কম্পিউটেশন (AQC) যে তার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ প্রাথমিক হ্যামিল্টনিয়ান সঙ্গে বিনিময় না চূড়ান্ত হ্যামিল্টনিয়ান , অর্থাত্ । তবে কেন এটি এত গুরুত্বপূর্ণ তা নিয়ে আমি কোনও যুক্তি দেখিনি।$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

যদি আমরা একটি লিনিয়ার সময় নির্ভরতা ধরে নিই তবে একিউসির হ্যামিল্টোনীয় হ'ল যেখানে হ'ল adiabatic সময় স্কেল।

$$\hat{H}\left(t\right)~=~\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\hat{H}_i+\frac{t}{\tau}\hat{H}_f, \qquad \left(0\leq t\leq \tau \right)$$ $\tau$

সুতরাং আমার প্রশ্নটি হল: প্রাথমিক হ্যামিলটোনিয়ান চূড়ান্ত হ্যামিলটনীয়দের সাথে চলাফেরা না করে কেন এটা গুরুত্বপূর্ণ?

Answer 1

অ্যাডিয়াব্যাটিক কিউসিতে, আপনি হ্যামিলটোনীয়ায় আপনার সমস্যাটি এমনভাবে এনকোড করেছেন যাতে আপনার ফলাফল স্থল অবস্থা থেকে বের করা যায়। স্থল অবস্থার প্রস্তুতি সরাসরি করা শক্ত, সুতরাং আপনি পরিবর্তে একটি 'সহজ' হ্যামিল্টোনীয়ের স্থল অবস্থা প্রস্তুত করুন, এবং তারপরে ধীরে ধীরে দুজনের মধ্যে বিভক্ত করুন। আপনি যদি ধীরে ধীরে যান তবে আপনার সিস্টেমের স্থল স্থল অবস্থায় থাকবে। আপনার প্রক্রিয়া শেষে, আপনার কাছে সমাধান হবে।

এটি অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্য অনুসারে কাজ করে । উপপাদ্যটি ধরে রাখার জন্য, স্থল রাষ্ট্র এবং প্রথম উত্তেজিত রাষ্ট্রের মধ্যে একটি শক্তির ব্যবধান থাকতে হবে। গ্যাপটি যত কম হবে তত স্থল এবং প্রথম উত্তেজিত রাজ্যের মধ্যে মিশ্রণ রোধ করতে আপনার ধীরে ধীরে বিভক্ত হওয়া দরকার। যদি ব্যবধানটি বন্ধ হয় তবে এ জাতীয় মিশ্রণটি প্রতিরোধ করা যায় না এবং আপনি যথেষ্ট ধীর গতিতে যেতে পারবেন না। পদ্ধতিটি সেই সময়ে ব্যর্থ হয়।

যদি প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত হ্যামিল্টোনীয় যাতায়াত হয় তবে এর অর্থ তাদের কাছে একই শক্তি রয়েছে igen সুতরাং তারা সম্মত হয় যে কোন রাজ্যগুলিকে শক্তি অর্পণ করা হয়, এবং কেবল তারা যে শক্তি অর্জন করে তা নিয়ে দ্বিমত পোষণ করে। দুটি হ্যামিল্টনীয়দের মধ্যে সংযোগ স্থাপন কেবলমাত্র শক্তি পরিবর্তন করে। চূড়ান্ত স্থল রাষ্ট্র তাই শুরুতে একটি উত্তেজিত রাষ্ট্র হতে পারে, এবং মূল স্থল রাষ্ট্র শেষে উত্তেজিত হয়ে ওঠে। এক পর্যায়ে, একে অপরের পাশ দিয়ে যাওয়ার সময়, এই রাজ্যের শক্তিগুলি সমান হবে এবং তাই তাদের মধ্যে ব্যবধান বন্ধ হয়ে যায়। এটি দেখার জন্য যথেষ্ট যে শক্তির ব্যবধানটি অবশ্যই কোনও পর্যায়ে বন্ধ হওয়া উচিত।

যাতায়াত না করানো হ্যামিল্টনীয়দের রাখা তাই ফাঁকটি উন্মুক্ত রাখার একটি প্রয়োজনীয় শর্ত, এবং তাই একেিউসির জন্য।

Comments

এটি বেশ দৃinc়প্রত্যয়ী এবং পরিষ্কার বলে মনে হচ্ছে। আপনি কি স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করতে পারেন যে অ্যাডিয়াব্যাটিক বিবর্তনের সময় কেন একটি এড়ানো ক্রস হতে পারে না (যা স্থল রাষ্ট্রের প্রকৃতি পরিবর্তনের অনুমতি দেয় তবে কোনও অবক্ষয় ছাড়াই)?

— আগাইতারইনো

Answer 2

যদি দুটি ম্যাট্রিক (এই ক্ষেত্রে, হ্যামিল্টনীয়) যাত্রী হয় তবে তাদের একই আইজেনভেেক্টর রয়েছে। সুতরাং, যদি আপনি প্রথম হ্যামিল্টোনীয়ের একটি স্থল রাষ্ট্র প্রস্তুত করেন, তবে এটি (মোটামুটিভাবে বলা) পুরো অ্যাডিয়্যাব্যাটিক বিবর্তন জুড়েই একটি আদিবাসী হিসাবে থাকবে এবং তাই আপনি যা রেখেছিলেন তা থেকে বেরিয়ে আসুন। এর কোনও মূল্য নেই।

আপনি যদি আরও কিছুটা কঠোর হতে চান, তবে এটি হতে পারে যে আপনার প্রাথমিক হ্যামিলটোনিয়ান একটি ডিজেনারিসি রয়েছে যা দ্বিতীয় হ্যামিলটোনিয়ান দ্বারা উত্থাপিত হয়েছে এবং আপনি সম্ভবত এই সিস্টেমটিকে অনন্য স্থলভাগে রূপান্তরিত করার কারণ আশা করছেন। তবে দ্রষ্টব্য যে দ্বিতীয় হ্যামিলটোনীয় একটি অ-শূন্য পরিমাণ আছে তাত্ক্ষণিকভাবে অধ: পতন হ্রাস করা হয়। এটি যে প্রভাব ফেলতে পারে তা তাত্ক্ষণিক one আমি বিশ্বাস করি যে আপনি সঠিক অ্যাডিয়াব্যাটিক বিবর্তন পাবেন না। পরিবর্তে, আপনাকে নতুন আদিবাসীদের একটি সুপারপজিশন হিসাবে আপনার প্রাথমিক অবস্থাটি লিখতে হবে, এবং এগুলি সময়ের সাথে সাথে বিকশিত হতে শুরু করে, তবে আপনি লক্ষ্য স্থিতি (স্থল রাষ্ট্র) দিয়ে আপনার রাজ্যের ওভারল্যাপটি কখনই বাড়ান না।

Comments

আপনার প্রথম বক্তব্যটি সত্য কিনা তা ভাবছি। উদাহরণস্বরূপ আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সটি ধরুন, এটি প্রতিটি হ্যামিলটনিয়ানকে ভ্রমণ করে। তবে অবশ্যই পরিচয় ম্যাট্রিক্সের স্বেচ্ছাচারী হ্যামিল্টোনীয় হিসাবে একই আইজেনভেেক্টর থাকার কোনও কারণ নেই।

— টারবোটানটেন

হ্যামিলটোনীয়দের ভিত্তি সহ আপনি যে কোনও ভিত্তিতে পরিচয়টি অনেকগুলি পচন করতে পারেন । তবে মুল বক্তব্যটি হ'ল এটি অত্যন্ত অবক্ষয়িত, সুতরাং আপনি আমার দ্বিতীয় অনুচ্ছেদের কথা বলছেন।

— দফতউল্লি

Answer 3

ইসিল অপটিমাইজারদের প্রাথমিক হ্যামিলটোনীয় থাকার প্রসঙ্গে যা সমস্যার সাথে মিলিত হয় হ্যামিলটোনিয়ান মানে এটি মূলত অপারেটরগুলির পণ্য , যার অর্থ এটির আদিবাসীরা ক্লাসিকাল বিটস্ট্রিংস। সুতরাং শুরুতে মূল ভিত্তি ( টি = 0) পাশাপাশি শাস্ত্রীয় হবে, সমস্ত সম্ভাব্য বিটস্ট্রিংয়ের একটি সুপারপজিশন নয়।$\sigma^Z$$t$

তদুপরি, এমনকি একিউসি-র কঠোর সীমানা ছাড়িয়েও (যেমন ওপেন-সিস্টেম কোয়ান্টাম অ্যানিলিং, কিউএওএ ইত্যাদি) যদি ড্রাইভিং হ্যামিলটোনীয় যাত্রা করে তবে এটি হ্যামিলটোনীয় সমস্যার ইনিস্টেটসের মধ্যে রূপান্তর প্ররোচিত করতে পারে না কেবল তরঙ্গসংশ্লিষ্ট প্রশস্ততার স্তরটি পরিবর্তন করতে পারে ; এবং আপনি এমন কোনও ড্রাইভার চান যা সন্ধানের স্থানটি অন্বেষণ করতে স্পিন-ফ্লিপকে প্ররোচিত করতে সক্ষম।

Answer 4

আসুন একটি সহজ উদাহরণ দিয়ে শুরু করি যেখানে এবং H f যাতায়াত করে কারণ তারা উভয়ই তির্যক:$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

সর্বনিম্ন eigenvalue (অর্থাত স্থল রাষ্ট্র) এর সঙ্গে eigenvector হয় | 1 ⟩ তাই আমরা এই অবস্থায় শুরু। এর স্থল রাষ্ট্র এইচ চ হয় | 0 ⟩ এই তাই আমরা যা খুঁজছেন তা নয়।$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

একিউসি-র জন্য একটি ত্রুটির মধ্যে সঠিক উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বনিম্ন রানটাইম মনে রাখুন : τ ≥ সর্বোচ্চ টি ( | | এইচ আই - এইচ চ | |$\epsilon$
।$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

এটি EQ এ দেওয়া এবং ব্যাখ্যা করা হয়েছে। টানবার্ন এট আল এর 2 । (2015) ।

• ধরা যাক আমরা ।$\epsilon = 0.1$
• লক্ষ্য করুন একা অনুযায়ী। একই কাগজ 4।$||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• লক্ষ্য করুন (আমি বেছে নিয়েছিϵযাতে এটি ঘটে তবে এটি কোনও বিষয় নয়)।$\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• আমরা এখন আছে $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

সুতরাং স্থল এবং প্রথম উত্তেজিত রাষ্ট্রের মধ্যে ন্যূনতম ফাঁকটি কী (যা দেয় )? যখন t = 20 τ / 29 , হ্যামিলটোনিয়ান হ'ল:$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

সুতরাং অ্যাডিয়াব্যাটিক উপপাদ্যটি এখনও প্রয়োগ হয়, তবে যখন এটি বলে যে হ্যামিলটোনিয়ানকে "ধীরে ধীরে যথেষ্ট" পরিবর্তন করা দরকার, তখন এটি "অনন্ত ধীরে ধীরে" পরিবর্তিত হওয়া দরকার, যার অর্থ আপনি সম্ভবত AQC ব্যবহার করে উত্তর পাবেন না।

Comments

Thanks! I like the example. Though that's a new expression of the minimum runtime that I've never seen before. Usually in the literature the adiabatic condition is given by $\tau \gg \frac{\underset{0\leq s \leq 1}{\text{max}} \left|\langle\psi_1(s)| \dfrac{d \hat{\mathscr{H}}(s)} {d s}|\psi_0(s)\rangle\right|} {\underset{0\leq s \leq 1}{\text{min}}\Delta^2(s)}; \qquad s\equiv\frac{t}{\tau}$ where $\Delta^2(s) = (E_1(s)-E_0(s))^2$। রেফ দেখুন [1 ] এবং [2 ]

— Turbotanten

@ টারবোটানটেন: অনুগ্রহের জন্য ধন্যবাদ আমার প্রমাণটি কাজ করে যে আমরা 1 / ফাঁক ^ 2 বা 1 / ফাঁক ^ 3 ব্যবহার করি না কেন। উভয় ক্ষেত্রে ফাঁক = 0 এর অর্থ রানটাইম = অনন্ত। আপনার অভিব্যক্তিতে, আমরা কেবল বাইরের দিকে "ম্যাক্স_স" রাখতে পারি, তারপরে আমাদের ডিনোমিনেটরে "মিনি_স" লাগবে না। ট্যানবার্ন পেপারের সাথে আমি যে লিঙ্কটি সংযুক্ত করেছি তার 2 রেফারেন্স ফাঁক ^ 3 সূত্র দেয় যা ফাঁক। 2 সূত্রের চেয়ে সামান্য শক্ত বাঁধা। এটি এখনও (সামান্য আলগা আবদ্ধ) ফাঁক ^ 2 ব্যবহার করা জনপ্রিয়, কারণ কিছু লোক সাম্প্রতিক সাহিত্যটি ফাঁক ^ 3 এ দেখেনি।

— user1271772