কোয়ান্টাম সার্কিট হিসাবে কেন দক্ষতার সাথে ডিস্ক্রিট ফুয়ের ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করা যেতে পারে?

17

এটি একটি সুপরিচিত ফলাফল যে সংখ্যার ডিসক্রেট ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিএফটি) এর মধ্যে একটি কোয়ান্টাম রাষ্ট্রের প্রশস্ততা ফিউরিয়ার রূপান্তর সম্পাদন করার সময়, সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদমের সাথে জটিলতা রয়েছে has শাস্ত্রীয় QFT অ্যালগরিদম , শুধুমাত্র প্রয়োজন প্রাথমিক দরজা। $N=2^n$ $\mathcal O(n2^n)$ $\mathcal O(n^2)$

এই ঘটনাটি হওয়ার কোনও কারণ আছে কি? এর মাধ্যমে আমি বলতে চাইছি যে ডিএফটি এর জ্ঞাত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটির একটি দক্ষ "কোয়ান্টাম সংস্করণ" প্রয়োগ করা সম্ভব করে।

প্রকৃতপক্ষে, ডাইমেনশনাল ভেক্টরগুলির ওপরে একটি ডিএফটি লিনিয়ার অপারেশন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে $N$

\vec{y} = DFT \vec{x}, {DFT}_{j k} \equiv \frac{1}{\sqrt{N}} \exp (\frac{2 π i}{N} j k) .

$\vec y=\operatorname{DFT} \vec x, \qquad \text{DFT}_{jk}\equiv \frac{1}{\sqrt N}\exp\left(\frac{2\pi i}{N}jk\right).$

এই সমস্যার "কোয়ান্টাম সংস্করণ" হ'ল একটি কোয়ান্টাম রাষ্ট্রের দেওয়া কাজ আউটপুট অবস্থা প্রাপ্ত করে এমন $|\boldsymbol x\rangle\equiv\sum_{k=1}^N x_k|k\rangle$ $|\boldsymbol y\rangle\equiv\sum_{k=1}^N y_k |k\rangle$

| y ⟩ = DFT | x ⟩ = QFT | x ⟩ .

$|\boldsymbol y\rangle=\operatorname{DFT}|\boldsymbol x\rangle=\operatorname{QFT}|\boldsymbol x\rangle.$

প্রথম সরলকরণটি এ থেকে মনে হয় যে কিউএম-র লিনিয়ারিটির কারণে আমরা বেসিক স্টেটস $|j\rangle, \,\,j=1,...,N$ -তে সাধারণ ভেক্টরগুলির বিবর্তনের সাথে মনোযোগ দিতে পারি $|\boldsymbol x\rangle$ তখন নিখরচায় আসবে।
যদি $N=2^n$ , তবে $|j\rangle$ থাকার পরে, কেউ বেস দুটিতে প্রকাশ করতে পারে $|j\rangle=|j_1,...,j_n\rangle$ ।
স্ট্যান্ডার্ড কিউএফটি অ্যালগরিদমে একের পরে এই ব্যবহার করে যে রূপান্তরটি $| j_{1}, . . ., j_{n} ⟩ \to 2^{- n / 2} ⨂_{l = 1}^{n} [| 0 ⟩ + \exp (2 π i (0. j_{n - l + 1} \dots j_{n})) | 1 ⟩],$ $|j_1,...,j_n\rangle\to2^{-n/2}\bigotimes_{l=1}^n\big[|0\rangle+\exp(2\pi i (0.j_{n-l+1}\cdots j_{n}))|1\rangle\big],$ যা পরে ফর্মের কোয়ান্টাম বর্তনী হিসাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে $QFT | j_{1}, . . ., j_{n} ⟩ = (\prod_{k = 1}^{n} U_{k}) | j_{1}, . . ., j_{n} ⟩,$ $\operatorname{QFT}|j_1,...,j_n\rangle=\Big(\prod_{k=1}^n \mathcal U_k\Big)|j_1,...,j_n\rangle,$ যেখানে $\mathcal U_k$ প্রয়োগ করা হয়েছে $\mathcal O(n)$ প্রাথমিক গেটস।

ধরুন আমাদের কাছে এখন কিছু একক রূপান্তর এবং আমরা কার্যকরভাবে সমমানের কোয়ান্টাম রূপান্তর উপরে উল্লিখিত প্রথম দুটি কৌশল সর্বদা প্রয়োগ করা যেতে পারে, তবে এটি কিউএফটি-র মতো আমাদের দক্ষতার ফলাফল পেতে কখন এবং কীভাবে অন্য পয়েন্টটি ব্যবহার করা যেতে পারে তা অযৌক্তিক হয়। $A$

| y ⟩ = A | x ⟩ .

$|\boldsymbol y\rangle=A|\boldsymbol x\rangle.$

এটি সত্য হওয়ার জন্য কি জ্ঞাত মানদণ্ড রয়েছে? বা অন্য কথায়, ডিএফটি এর বৈশিষ্ট্যগুলি কী যা সম্পর্কিত কোয়ান্টাম রূপান্তরকে দক্ষতার সাথে কার্যকরভাবে সম্পাদন করা সম্ভব করে তোলে তা সঠিকভাবে লিখে নেওয়া সম্ভব?

algorithm speedup quantum-fourier-transform

— GLS
সূত্র

1

কিউএফটি এর পুনরাবৃত্ত কাঠামো সংখ্যার সাথে কুইবিটসের সংখ্যাটি সেই দক্ষতায় অবদান রাখছে বলে মনে হয়।

— এহুসাইন

12

ধ্রুপদী ডিস্রিট ফুরিয়ার রূপান্তর পরিচয়:

ডিএফটি জটিল সংখ্যার complex জটিল সংখ্যার অন্য ক্রম of রূপান্তর করে যা আমরা প্রয়োজনীয় হিসাবে যথাযথ স্বাভাবিককরণের ধ্রুবক দ্বারা গুণ করতে পারি। তদুপরি, আমরা সূত্রে প্লাস বা বিয়োগ চিহ্নটি নিই না কেন তা আমরা পছন্দ করি convention $N$ $\{\mathbf{x}_n\}:=x_0,x_1,x_2,...,x_{N-1}$ $\{\mathbf{X}_k\}:=X_0,X_1,X_2,...$

X_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} . e^{\pm \frac{2 π i k n}{N}}

$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n.e^{\pm\frac{2\pi i k n}{N}}$

ধরুন, এটা যে দেওয়া এবং । $N=4$ $\mathbf{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2-i \\ -i \\ -1+2i \end{pmatrix}$

আমরা কলাম ভেক্টর বের করতে হবে । সাধারণ পদ্ধতিটি ইতিমধ্যে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় দেখানো হয়েছে । তবে আমরা এর জন্য একটি ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি বিকাশ করব। সহজেই ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে pre প্রাক গুণিত করে পাওয়া যায়: $\mathbf{X}$ $\mathbf{X}$ $\mathbf{x}$

M = \frac{1}{\sqrt{N}} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w^{2} & w^{3} \\ 1 & w^{2} & w^{4} & w^{6} \\ 1 & w^{3} & w^{6} & w^{9} \end{matrix})

$M=\frac{1}{\sqrt{N}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w^{ 2 } & w^{ 3 } \\ 1 & w^ 2 & w^4 & w^6 \\ 1 & w^3 & w^6 & w^9 \end{pmatrix}$

যেখানে হয়। ম্যাট্রিক্স প্রত্যেকটি উপাদান মূলত । simply কেবলমাত্র একটি নরমালাইজেশন ধ্রুবক। $w$ $e^{\frac{-2\pi i}{N}}$ $w^{ij}$ $\frac{1}{\sqrt{N}}$

অবশেষে, সক্রিয় আউট হতে: । $\mathbf{X}$ $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ -2-2i \\ -2i \\ 4+4i \end{pmatrix}$

এখন, কিছুক্ষণ বসে থাকুন এবং কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করুন:

ম্যাট্রিক্সের সমস্ত কলাম এরএকে অপরের অর্থেগোনাল। $M$
সমস্ত কলামের দৈর্ঘ্য । $M$ $1$
যদি আপনি প্রচুর জিরো (বৃহত স্প্রেড )যুক্ত কলাম ভেক্টরটির সাথে বহুগুণ পোস্ট করেন তবে আপনি কেবল কয়েকটি শূন্য (সংকীর্ণ স্প্রেড) সহ একটি কলাম ভেক্টর দিয়ে শেষ করতে পারেন। কথোপকথনটিও সত্য। (পরীক্ষা করে দেখুন!) $M$

এটি খুব সহজভাবে লক্ষ করা যায় যে ক্লাসিকাল ডিএফটি-র একটি সময়ের জটিলতা । এটি কারণ যে প্রতিটি সারি পাওয়ার জন্য , ক্রিয়াকলাপ করা দরকার। এবং মধ্যে সারি আছে । $\mathcal O(N^2)$ $\mathbf{X}$ $N$ $N$ $\mathbf{X}$

দ্রুত ফুরিয়ার রূপান্তর:

এখন, আসুন দ্রুত ফুরিয়ার রূপান্তরটি দেখুন। দ্রুত ফুরিয়ার রূপান্তর গণনার সময় হ্রাস করতে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের প্রতিসাম্য ব্যবহার করে। সহজ কথায়, আমরা আকার ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটিকে আবার দুটি লিখি আকারের ফুরিয়ার রূপান্তর - বিজোড় এবং এমনকি পদগুলি। এরপরে সময়কে হ্রাস করার জন্য আমরা বারবার এটি পুনরাবৃত্তি করি। এটি কীভাবে বিশদে কাজ করে তা দেখতে, আমরা ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের ম্যাট্রিক্সে ফিরে যাই। আমরা এর মধ্য দিয়ে যাবার সময়, একবার নজর দেওয়ার জন্য আপনার সামনে রাখা সহায়ক হতে পারে । লক্ষ্য করুন বহিঃপ্রকাশ মডিউল লিখিত হয়েছে , যেহেতু । $N$ $N/2$ $\text{DFT}_8$ $8$ $w^8 = 1$

সারি কীভাবে সারি সাদৃশ্যপূর্ণ তা লক্ষ্য করুন । এছাড়াও, নোটিশ কিভাবে কলাম খুব কলাম অনুরূপ । এটি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, আমরা ফুরিয়ারটিকে এর সমমান এবং বিজোড় কলামগুলিতে রূপান্তর করতে চলেছি। $j$ $j + 4$ $j$ $j + 4$

প্রথম ফ্রেমে, আমরা পুরো ফুরিয়ার রূপান্তর ম্যাট্রিক্সকে তম সারি এবং তম কলামটি বর্ণনা করে বর্ণনা করেছি : । পরবর্তী ফ্রেমে, আমরা বিজোড় এবং এমনকি কলামগুলি পৃথক করি এবং একইভাবে রূপান্তরকারী ভেক্টরকে পৃথক করি। আপনার নিজেকে বোঝানো উচিত যে প্রথম সাম্যতা আসলে একটি সমতা। তৃতীয় ফ্রেম, আমরা ঠাহর দ্বারা একটু প্রতিসাম্য যোগ করুন যে (যেহেতু )। $j$ $k$ $w^{jk}$ $w^{j+N/2} = −w^j$ $w^{n/2} = −1$

লক্ষ্য করুন যে বিজোড় পক্ষ এবং এমনকি উভয় পক্ষেই শব্দটি রয়েছে । কিন্তু যদি , ঐক্যের আদিম N তম রুট তারপর হয় আদিম য় ঐক্যের মূল। সুতরাং, যে ম্যাট্রিকগুলি , তম এন্ট্রি তারা কেবলমাত্র ! এখন আমরা একটি নতুন উপায়ে লিখতে পারি : এখন ধরুন আমরা ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তর গণনা করছি $w^{2jk}$ $w$ $w^2$ $N/2$ $j$ $k$ $w^{2jk}$ $\text{DFT}_{(N/2)}$ $\text{DFT}_N$ $f(x)$ । আমরা একটি সমীকরণ যে jth মেয়াদ গণনা উপরের হিসাবে হেরফেরের লিখতে পারেন । $\hat{f}(j)$

দ্রষ্টব্য: চিত্রের কিউএফটি কেবল এই প্রসঙ্গে ডিএফটি হিসাবে দাঁড়িয়েছে। এছাড়াও, এম বলতে আমরা এন কে ডাকছি to

এটি আমাদের এর এর দুটি অ্যাপ্লিকেশনে রূপান্তরিত করে । আমরা এটিকে চারটি অ্যাপ্লিকেশন রূপান্তর করতে পারি এবং আরও অনেক কিছু। যতদিন হিসাবে কিছু , আমরা আমাদের হিসাব ভেঙ্গে দিতে পারে মধ্যে এর গণনার । এটি আমাদের গণনা ব্যাপকভাবে সরল করে। $\text{DFT}_N$ $\text{DFT}_{(N/2)}$ $\text{DFT}_{(N/4)}$ $N = 2n$ $n$ $\text{DFT}_N$ $N$ $\text{DFT}_1 = 1$

ফাস্ট ফুরিয়ার ক্ষেত্রে সময় জটিলতা হ্রাস রুপান্তর (এই প্রতিপাদন নিজে চেষ্টা)। এটি ধ্রুপদী ডিএফটি-র তুলনায় একটি বিশাল উন্নতি এবং আপনার আইপডের মতো আধুনিক দিনের সংগীত ব্যবস্থায় ব্যবহৃত অত্যাধুনিক অ্যালগরিদম! $\mathcal{O}(N\log(N))$

কোয়ান্টাম ফুরিয়ার কোয়ান্টাম গেটগুলির সাথে রূপান্তর:

এফএফটিটির শক্তি হ'ল আমরা আমাদের সুবিধার জন্য পৃথক ফিউরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করতে সক্ষম হয়েছি। কিউএফটি-র সার্কিট অ্যাপ্লিকেশন একই নীতিটি ব্যবহার করে, তবে সুপারপজিশনের শক্তির কারণে কিউএফটি আরও দ্রুত হয়।

কিউএফটি এফএফটি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয় তাই আমরা একই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করব, তবে এটি একটি কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম কারণ পদক্ষেপগুলির বাস্তবায়ন আলাদা হবে। এটি হ'ল, আমরা প্রথমে বিজোড় এবং এমনকি অংশগুলির ফুরিয়ার রূপান্তর গ্রহণ করি, তারপরে দ্বারা বিজোড় পদগুলিকে গুণ করি । $w^{j}$

কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমে, প্রথম ধাপটি মোটামুটি সহজ। বিজোড় এবং সমান পদগুলি একত্রে সুপারপজিশনে রয়েছে: বিজোড় পদগুলি হ'ল তাদের অন্তত উল্লেখযোগ্য বিটটি , এবং এমনকি দিয়েও । অতএব, আমরা একসাথে বিজোড় এবং এমনকি উভয় পদগুলিতে প্রয়োগ করতে পারি । আমরা কেবল প্রযোজ্য হবে প্রয়োগের দ্বারা এই কাজ থেকে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিট, এবং অন্তত গুরুত্বপূর্ণ বিট করতে Hadamard প্রয়োগের দ্বারা বিজোড় এবং এমনকি উপযুক্তভাবে পুনর্মিলিত। $1$ $0$ $\text{QFT}_{(N/2)}$ $\text{QFT}_{(N/2)}$ $n-1$

এখন পর্বের গুণনটি সম্পাদন করার জন্য, আমাদের প্রতিটি বিজোড় পদ দ্বারা গুণ করতে হবে । তবে মনে রাখবেন, বাইনারিতে একটি বিজোড় সংখ্যা দিয়ে শেষ হয় এবং সমান দিয়ে শেষ হয় । সুতরাং আমরা নিয়ন্ত্রিত ফেজ শিফটটি ব্যবহার করতে পারি, যেখানে সর্বনিম্ন উল্লেখযোগ্য বিটটি নিয়ন্ত্রণ হয়, এমনকি বিন্দুতে কোনও পদক্ষেপ না করেই কেবলমাত্র বিজোড় শর্তগুলিকে পর্যায় দ্বারা গুণ করতে হয়। মনে রাখবেন যে নিয়ন্ত্রিত ফেজ শিফটটি সিএনওটি গেটের সমান কারণ এটি যদি নিয়ন্ত্রণ বিট এক হয় তবে এটি লক্ষ্যমাত্রার জন্য একটি পর্যায়ে প্রয়োগ করে। $j$ $w^{j}$ $1$ $0$

দ্রষ্টব্য: চিত্রটিতে এম বলতে আমরা এন কে ডেকে আছি to

প্রতিটি নিয়ন্ত্রিত ফেজ শিফটের সাথে যুক্ত ফেজটি সমান হওয়া উচিত যেখানে বাই বিটের সাথে যুক্ত । সুতরাং, নিয়ন্ত্রণ হিসাবে সর্বনিম্ন উল্লেখযোগ্য বিট সহ প্রথম কুইবিটের প্রতিটিতে নিয়ন্ত্রিত ফেজ শিফটটি প্রয়োগ করুন । নিয়ন্ত্রিত ফেজ শিফট এবং হাডামার্ড ট্রান্সফর্মের সাথে হ্রাস করা হয়েছে । $w^{j}$ $j$ $k$ $j = 2k$ $n − 1$ $\text{QFT}_N$ $\text{QFT}_{(N/2)}$

দ্রষ্টব্য: ছবিতে এম বলতে আমরা এন কে ডেকে আছি to

উদাহরণ:

নির্মাণ করতে দেয় । অ্যালগরিদম অনুসরণ করে আমরা কে এবং কয়েকটি কোয়ান্টাম গেটে রূপান্তর করব । তারপরে এই ধারাবাহিকতা অব্যাহত রেখে আমরা কে তে পরিণত করি (যা কেবল একটি হাদামারদ গেট) এবং আরও কয়েকটি গেট। নিয়ন্ত্রিত ফেজ দরজা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হবে । তারপরে মুক্তি পেতে অন্য পুনরাবৃত্তিটি চালান । আপনার এখন আরও কুইবিটে সহজেই র জন্য সার্কিটটি কল্পনা করতে সক্ষম হওয়া উচিত । তদুপরি, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে জন্য প্রয়োজনীয় গেটের সংখ্যা হ'ল $\text{QFT}_3$ $\text{QFT}_3$ $\text{QFT}_2$ $\text{QFT}_2$ $\text{QFT}_1$ $R_\phi$ $\text{QFT}_2$ $\text{QFT}$ $\text{QFT}_N$

\sum_{i = 1}^{\log (N)} i = \log (N) (\log (N) + 1) / 2 = O (\log^{2} N)

$\sum_{i=1}^{\log(N)} i=\log(N)(\log(N)+1)/2 = \mathcal{O}(\log^2 N)$

সূত্র:

^{পিএস: এই উত্তরটি এর প্রাথমিক সংস্করণে রয়েছে। @ ড্যাফটউইলি মন্তব্যগুলিতে যেমন উল্লেখ করেছেন, এটি " কোনও সম্ভাব্য অন্তর্দৃষ্টি যা অন্য সম্ভাব্য অ্যালগরিদমের প্রতি কিছু দিকনির্দেশনা দিতে পারে " তেমন যায় না । আমি মূল প্রশ্নের বিকল্প উত্তর উত্সাহিত করি। আমার ব্যক্তিগতভাবে কিছুটা পড়া এবং সংস্থান-খনন করা দরকার যাতে আমি প্রশ্নের সেই দিকটির উত্তর দিতে পারি।}

— সঁচায়ণ দত্ত
সূত্র

রিকার্সিভ স্ট্রাকচার সম্পর্কিত: সংজ্ঞা অনুসারে কেউ এটি কমবেশি নিতে পারে। আপনি যদি একটি অ্যালগরিদম স্কেলিং সম্পর্কে কথা বলতে চান, আপনার বিভিন্ন আকারের ইনপুটগুলির জন্য সার্কিটের একটি পরিবার প্রয়োজন। এটি সাধারণত যেভাবে করা হয় তা হল আকারের জন্য সার্কিটের বাইরে n + 1 আকারের জন্য সার্কিট তৈরি করা W যা আমি এখানে সত্যিই দেখছি না এমন কোনও অন্তর্দৃষ্টি যা অন্যান্য সম্ভাব্য অ্যালগরিদমের প্রতি কিছু দিকনির্দেশনা দিতে পারে (এটি নয় যে আমি দাবি করুন যে এটি করা সহজ কাজ)

— ড্যাফটউইলি

@ ড্যাফটওয়ুলি "আমি এখানে যা দেখছি তা হ'ল এমন অন্তর্দৃষ্টি যা অন্য সম্ভাব্য অ্যালগরিদমের প্রতি কিছু দিকনির্দেশনা দিতে পারে (এমন নয় যে আমি দাবি করি যে এটি করা সহজ কাজ)" আচ্ছা, হ্যাঁ! আমি সে সম্পর্কেও ভাবছিলাম। এটি প্রাথমিক উত্তর বেশি। আমি যখন আরও কিছুটা শিখতে চাই (এবং যখন আমি আরও ফ্রি সময় পাই) তখন আমি এতে আরও যুক্ত করব। এই প্রশ্নের বিকল্প উত্তর দেখে আমি খুব খুশি হব। :-)

— সঁচায়ন দত্ত

আপনার সমস্যাগুলির ক্রম কেবল কারণ, এর অর্থ এই নয় যে কেউ পরেরটির জন্য অ্যালগরিদম দেয় (একা একা ভাল হোক)। এটি সাধারণ কারণ আমরা সাধারণত সুন্দর কার্যকারিতা সম্পর্কে চিন্তা করি। এত সহজ উপায়ে পুনরাবৃত্তি হওয়া সমস্যাগুলির ক্রমগুলির একটি সম্পত্তি। এখানে আমি যা বোঝাতে চাইছি সেখানে একটি ফ্যাক্টরীকরণ রয়েছে

। এই প্রশ্নের ব্যবহার নির্ণয় করতে একটি ক্রম কিনা

একই efficency বৈশিষ্ট্য আছে।

U_{n} = U_{n - 1} x

$U_n=U_{n-1} x$

U_{∙}

$U_{\bullet}$

— এহুসাইন

হাই, কিউএফটি-তে এটি স্পষ্টভাবে অনুমান করা হয় যে একটি, 8 x 1 বলুন, ইনপুট ভেক্টর x_classical প্রশস্ততা 3-কোয়েটের সাথে এনকোডযুক্ত? তাহলে কিউএফটি অপারেশনগুলি এনকোডযুক্ত কোয়েটগুলিতে করা হয়? এছাড়াও, আপনি কি দয়া করে "... এবং বিশদটি এবং এমনকি যথাযথভাবে হাদামারডকে কমপক্ষে উল্লেখযোগ্য বিটটিতে প্রয়োগ করে পুনরায় সংশ্লেষ করতে পারেন?"

— আবদুল্লাহ আশ-সাকি

10

আমরা কীভাবে কিউএফটি দক্ষতার সাথে উপলব্ধি করতে পারি তার একটি সম্ভাব্য উত্তর এর সহগগুলির কাঠামোর নিচে। সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে , আমরা এটিকে চতুষ্কোণ রূপের প্রসারণ হিসাবে সহজে উপস্থাপন করতে পারি , যা চতুর্ভুজ ফাংশন দ্বারা প্রদত্ত পর্যায়ক্রমে যে পাথগুলির সমষ্টি: যেখানে হল বিট স্ট্রিংগুলিতেসংজ্ঞায়িত একটি চতুর্ভুজ রূপ form বিশেষত কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরটিতে একটি চতুর্ভুজ রূপ রয়েছে যার কোণগুলি

F_{2^{n}} = \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{k, x \in {0, 1}^{n}} \exp (i Q (k, x)) | k ⟩ ⟨ x |,

$F_{2^n} = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{k,x \in \{0,1\}^n} \exp\bigl(i Q(k,x)\bigr) \; \lvert k \rangle\!\langle x \rvert,$

Q (z) = \sum_{1 ⩽ j ⩽ k ⩽ 2 n} θ_{j, k} z_{j} z_{k}

$Q(z) = \sum_{1 \leqslant j \leqslant k \leqslant 2n} \theta_{j,k} z_j z_k$

2 n

$2n$

এই কোণগুলির কাঠামোর একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা কিউএফটি সহজেই একক সার্কিট হিসাবে উপলব্ধি করতে পারে:

θ_{j, k} = {\begin{cases} π / 2^{2 n - j - k}, & if 1 ⩽ j ⩽ n < k ⩽ 2 n - j + 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$\theta_{j,k} = \begin{cases} \pi\big/2^{2n-j-k}, & \text{if $1 \leqslant j \leqslant n < k \leqslant 2n-j+1$} \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

$f: \{1,2,\ldots,n\} \to \{n{+}1,n{+}2,\ldots,2n\}$ $\theta_{j,k} = \pi$ $1 \leqslant j \leqslant n$ $f(j) = 2n-j+1$
$1 \leqslant h,j \leqslant n$ $\theta_{h,\,f(j)} \ne 0$ $\theta_{j,\,f(h)} = 0$

$z = (k,x) \in \{0,1\}^{2n}$ $f$ $(1,2,\ldots,n)$ $(f(1), f(2), \ldots, f(n))$ $\exp(i \theta_{j,k})$ . The second condition on $f$ serves to ensure that these controlled-phase gates can be given a well-defined time ordering.

There are more general conditions which one could describe for when a quadratic form expansion gives rise to a realisable circuit, along similar lines. The above describes one of the simplest cases, in which there are no indices in the sum except for those for the standard basis of the input and output states (in which case the coefficients of the associated unitary all have the same magnitude).

— Niel de Beaudrap
সূত্র

I am not sure I fully understand. Are you saying that any evolution represented as a quadratic form expansion with a quadratic form satisfying those two conditions can be efficiently implemented? Very interesting

— glS

@gIS: yes, and furthermore the structure is essentially the same as the Coppersmith QFT circuit (or rather, the fact that the QFT has that form is why the Coppersmith circuit structure suffices to realise the QFT).

— Niel de Beaudrap

8

This is deviating a little from the original question, but I hope gives a little more insight that could be relevant to other problems.

One might ask "What is it about order finding that lends itself to efficient implementation on a quantum computer?". Order Finding is the main component of factoring algorithms, and includes the Fourier transform as part of it.

The interesting thing is that you can put things like order finding, and Simon's problem, in a general context called the "Hidden Subgroup Problem".

Let us take a group $G$ , with elements indexed by $g$ , and a group operation ' $\oplus$ '. We are given an oracle that evaluates the function $f(g)$ , and we are assured that there is a subgroup, $K$ , of $G$ with elements $k$ such that for all $g\in G$ and $k\in K$ , $f(g)=f(g\oplus k)$ . It is our task to uncover the generators of the subgroup $K$ . For example, in the case of Simon's problem, the group $G$ is all $n$ -bit numbers, and the subgroup $K$ is a pair of elements $\{0,s\}$ . The group operation is bitwise addition.

Efficient solutions (that scale as a polynomial of $\log|G|$ ) exist if the group $G$ is Abelian, i.e. if the operation $\oplus$ is commutative, making use of the Fourier Transform over the relevant group. There are well-established links between the group structure (e.g. $\{0,1\}^n,\oplus$ ) and the problem that can be solved efficiently (e.g. Simon's problem). For example, if we could solve the Hidden Subgroup Problem for the symmetric group, it would help with the solution of the graph isomorphism problem. In this particular case, how to perform the Fourier Transform is known, although this in itself is not sufficient for creating an algorithm, in part because there is some additional post-processing that is required. For example, in the case of Simon's Problem, we required multiple runs to find enough linearly independent vectors to determine $s$ . In the case of factoring, we were required to run a continued fractions algorithm on the output. So, there's still some classical post-processing that has to be done efficiently, even once the appropriate Fourier transform can be implemented.

আরও কিছু বিবরণ

নীতিগতভাবে, আবেলীয় গোষ্ঠীগুলির জন্য লুকানো সাবগ্রুপ সমস্যা নীচে সমাধান করা হয়েছে। আমরা দুটি রেজিস্টার দিয়ে শুরু করি, $|0\rangle|0\rangle$ , এবং সমস্ত গোষ্ঠী উপাদানগুলির একটি অভিন্ন পজিশনে প্রথম প্রস্তুত করুন,

\frac{1}{\sqrt{| জি |}} \underset{ছ \in জি}{Σ} | ছ ⟩ | 0 ⟩,

$\frac{1}{\sqrt{|G|}}\sum_{g\in G}|g\rangle|0\rangle,$ এবং ফাংশন মূল্যায়ন সঞ্চালন

\frac{1}{\sqrt{| জি |}} \underset{ছ}{Σ} | ছ ⟩ | চ (ছ) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| জি |}} \underset{ছ \in {কে}^{⊥}}{Σ} \underset{ট \in কে}{Σ} | ছ \oplus ট ⟩ | চ (ছ) ⟩,

$\frac{1}{\sqrt{|G|}}\sum_g|g\rangle|f(g)\rangle=\frac{1}{\sqrt{|G|}}\sum_{g\in K^\perp}\sum_{k\in K}|g\oplus k\rangle|f(g)\rangle,$ কোথায়

K^{⊥}

$K^\perp$ প্রতিটি উপাদান গ্রহণ এবং সদস্যদের সাথে একত্রিত করে যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয়

K

$K$ পুরো গ্রুপ ফলন

G

$G$ (অর্থাৎ প্রতিটি সদস্য

K^{⊥}

$K^\perp$ এর পৃথক মান উত্পন্ন করে একটি আলাদা কোসেট তৈরি করে

f (g)

$f(g)$ ), এবং অরথোগোনাল সাবগ্রুপ হিসাবে পরিচিত। দ্বিতীয় রেজিস্টারটির সন্ধান করা,

\frac{1}{| কে |} \underset{ছ \in {কে}^{⊥}}{Σ} \underset{ট, ট^{'} \in কে}{Σ} | ছ \oplus ট ⟩ ⟨ ছ \oplus ট^{'} | ।

$\frac{1}{|K|}\sum_{g\in K^\perp}\sum_{k,k'\in K}|g\oplus k\rangle\langle g\oplus k'|.$ এখন আমরা গ্রুপ উপর ফুরিয়ার রূপান্তর সম্পাদন

G

$G$ , আউটপুট অবস্থা প্রদান

\frac{| কে |}{| জি |} \underset{ছ \in {কে}^{⊥}}{Σ} | ছ ⟩ ⟨ ছ | ।

$\frac{|K|}{|G|}\sum_{g\in K^\perp}|g\rangle\langle g|.$ ভেক্টর প্রতিটি

| g \in K^{⊥} ⟩

$|g\in K^\perp\rangle$ এর সম্ভাবনা রয়েছে

| K | / | G |

$|K|/|G|$ পাওয়া গেছে এবং অন্য সকলের 0 সম্ভাবনা রয়েছে। একবার জেনারেটর

K^{⊥}

$K^\perp$ নির্ধারিত হয়েছে, আমরা এর জেনারেটরগুলি বের করতে পারি

K

$K$ কিছু লিনিয়ার বীজগণিতের মাধ্যমে।

— DaftWullie
সূত্র

3

কমপক্ষে আমার কাছে এই প্রশ্নের কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি দেয় এমন সম্ভাব্য অনেকগুলি নির্মাণের মধ্যে একটি নিম্নরূপ। সিএসডি (কোসাইন-সাইন পচন) ব্যবহার করে আপনি যে কোনও ইউনিটরি অপারেটরকে দক্ষ গেটস ভি এর একটি প্রোডাক্টে প্রসারিত করতে পারেন যা বাইনারি ট্রি প্যাটার্নে সুন্দরভাবে ফিট করে। কিউএফটি-র ক্ষেত্রে, বাইনারি গাছ গাছের একক শাখায় পতিত হয়, শাখায় নেই সমস্ত ভি 1 হয়।

সূত্র: কোয়ান্টাম ফাস্ট ফুরিয়ার কোসাইন-সাইন পৃথকীকরণ এর Recursive অ্যাপ্লিকেশন একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেমন দেখা রুপান্তর নিজেকে দ্বারা ।

— rrtucci
সূত্র

আকর্ষণীয়, ধন্যবাদ আপনি যদি উত্তরটিতে যুক্তির একটি স্কেচ অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন, যদি সম্ভব হয়?

— ই

1

আমি ইতিমধ্যে যা উপস্থাপন করেছি তা হ'ল আমার "স্কেচ" এর সংস্করণ। সমীকরণ এবং ছবি সহ আপনি যদি আরও গভীরভাবে উদ্বেগ প্রকাশ করতে চান তবে শেষে দেওয়া

— আর্ক্সিভ রেফটিতে যাওয়া ভাল