গ্রোভারের অনুসন্ধান অ্যালগরিদমের কী অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে?

গ্রোভারের অনুসন্ধান অ্যালগরিদম সাধারণত একটি অরসেটেড ডাটাবেসে চিহ্নিত এন্ট্রি সন্ধানের ক্ষেত্রে কথা হয়। এটি একটি প্রাকৃতিক আনুষ্ঠানিকতা যা এনপি সমস্যার সমাধানের জন্য (যেখানে একটি ভাল সমাধান সহজেই স্বীকৃত হয়) সরাসরি এটি প্রয়োগ করতে দেয়।

আমি সংখ্যার একটি সেট ন্যূনতম, গড় এবং মধ্যমা খুঁজে পেতে গ্রোভারের অনুসন্ধানের অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশনগুলি সম্পর্কে জানতে আগ্রহী ছিলাম । এটি আমাকে ভাবছে যে গ্রোভারের অনুসন্ধানের (বা এর জেনারালাইজেশনের অ্যাপ্লিকেশন যেমন প্রশস্ততা প্রশস্তকরণ) এর ইতিমধ্যে পরিচিত অন্য কোনও কম-স্পষ্ট অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে কিনা? এটি কীভাবে করা হয় সে সম্পর্কে কোনও সংক্ষিপ্ত অন্তর্দৃষ্টি প্রশংসিত হবে।

algorithm grovers-algorithm

— DaftWullie
সূত্র

আপনি উল্লিখিত বিষয়গুলি বাদে গ্রোভারের অ্যালগরিদমের আরেকটি অ্যাপ্লিকেশন যা সম্পর্কে আমি অবগত রয়েছি জটিলতা তত্ত্ব, কোয়ান্টাম কম্পিউটিং এবং কম্পিউটেশনাল গণিতে ক্লিনিশন সমস্যা সমাধান করা । একে বিএইচটি অ্যালগরিদমও বলা হয় ।

ভূমিকা :

সংঘর্ষের সমস্যাটি প্রায়শই 2-টু -1 সংস্করণকে বোঝায় যা স্কট অ্যারনসন তাঁর পিএইচডি থিসিসে বর্ণনা করেছিলেন। প্রদত্ত যে এমনকি এবং একটি ফাংশন আমরা আগেই জানি যে হয় 1-to-1 বা 2-থেকে -1 হয়। আমরা কেবলমাত্র মান সম্পর্কে প্রশ্ন করতে অনুমতি দেওয়া হয় কোন $n$ $f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}$ $f$ $f(i)$ । সমস্যাটি তখন জিজ্ঞাসা করে যে 1-থেকে-1 বা 2-থেকে -1 হয়তা নিশ্চিত করে নির্ধারণ করতে আমাদের কতগুলি প্রশ্ন করা দরকার। $i\in\{1,2,...,n\}$ $f$

2-থেকে -1 সংস্করণ সমাধানের জন্য নির্ধারিতভাবে প্রশ্নের প্রয়োজন, এবং সাধারণভাবে 1-থেকে -1 ফাংশন থেকে r-to-1 ক্রিয়াকলাপগুলি প্রশ্নের প্রয়োজন। $n/2+1$ $n/r+1$

নির্ধারিত ধ্রুপদী সমাধান :

এটি কবুতরের নীতিটির একটি সরল আবেদন: যদি কোনও ফাংশন আর-টু -1 হয়, তবে অনুসন্ধানের পরে আমরা একটি সংঘর্ষের নিশ্চয়তা পেয়েছি। যদি কোনও ফাংশন 1-থেকে -1 হয়, তবে কোনও সংঘর্ষের অস্তিত্ব নেই। আমরা যদি দুর্ভাগ্য হয় তবে অনুসন্ধানগুলি পৃথক উত্তর দিতে পারে। সুতরাং $n/r+1$ $n/r$ ক্যোয়ারী প্রয়োজনীয়। $n/r+1$

এলোমেলোভাবে শাস্ত্রীয় সমাধান :

যদি আমরা এলোমেলোভাবে অনুমতি দেয় তবে সমস্যাটি আরও সহজ। জন্মদিন Paradox দ্বারা, যদি আমরা (স্বতন্ত্র) প্রশ্নের এলোমেলোভাবে, তারপর উচ্চ সম্ভাবনা সঙ্গে আমরা পরে কোন নির্দিষ্ট 2-টু-1 ফাংশনে একটি সংঘর্ষের এটি পছন্দ কোয়েরি। $\Theta(\sqrt{n})$

কোয়ান্টাম বিএইচটি সমাধান :

স্বজ্ঞাতভাবে, অ্যালগরিদম গ্রোভারের (কোয়ান্টাম) অ্যালগরিদম থেকে স্কোয়ার রুটের স্পিডআপের সাথে (ধ্রুপদী) এলোমেলো ব্যবহার করে জন্মদিনের প্যারাডক্স থেকে স্কোয়ার রুটের স্পিডআপকে একত্রিত করে ।

প্রথমত, থেকে ইনপুট এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয় এবং তাদের সব সময়ে জানতে চাওয়া হয়। যদি এই ইনপুটগুলির মধ্যে কোনও সংঘর্ষ হয় তবে আমরা সংঘর্ষের জোড়াটি ইনপুট ফিরিয়ে দেব। অন্যথায়, এই সমস্ত ইনপুট পৃথক মান মানচিত্র । তারপর গ্রোভার এর এলগরিদম করার জন্য একটি নতুন ইনপুট এটি ব্যবহার করা হয় যে ধাক্কা দিতে যাচ্ছিল। যেহেতু শুধুমাত্র যেমন ইনপুট , গ্রোভার এর এলগরিদম এক জানতে পারেন (যদি থাকে তাহলে) শুধুমাত্র করে $n^{1/3}$ $f$ $f$ $f$ $f$ $n^{2/3}$ $f$ $\mathcal{O}(\sqrt{n^{2/3}})=\mathcal{O}(n^{1/3})$ $f$

সূত্র:

— সঁচায়ণ দত্ত
সূত্র

বিএইচটি সলিউশন সম্পর্কে কিছু মন্তব্য (আমি উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি খুব আলোকিত করে দেখিনি): প্রথমে নির্বাচন করুন

n^{1 / 3}

$n^{1/3}$ ইনপুট পরীক্ষা করতে

f

$f$ at random. Assume they don't collide. Sort these values

x

$x$ according to

f (x)

$f(x)$ । এখন যদি

f (x)

$f(x)$ is 2-to-1, there are

n^{1 / 3}

$n^{1/3}$ values

x

$x$ ইতিমধ্যে পরীক্ষিত নয় যে পরীক্ষিতদের সাথে সংঘর্ষ হয়। সুতরাং, একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করুন যা "ইতিমধ্যে পরীক্ষা করা হয়নি এবং সংঘর্ষে পড়ে" পরীক্ষা করে। এটি চিহ্নিত এন্ট্রিগুলি সংজ্ঞায়িত করে। সংঘর্ষের মান অনুসারে বাছাই করা তালিকা দিয়ে পরীক্ষা করা সহজ

f (x)

$f(x)$ । চিহ্নিত এন্ট্রিগুলির সঠিক সংখ্যা (2-থেকে -1) জেনে, গ্রোভারের (প্রায়) সমাধানের গ্যারান্টি দেয়।

— দাফটওয়ুলি

@ ডেফ্টওয়ুলি হ্যাঁ, এটি নিশ্চিত হয়ে যায়। গ্রোভারের অ্যালগরিদম কোনও সমাধানের গ্যারান্টি দেয় না তবে সঠিক সমাধান সরবরাহের উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে। কিন্তু উইকিপিডিয়া বর্ণনা থেকে এটি কি খুব স্পষ্ট নয়? আমি নিশ্চিত নই যে আপনি যে পয়েন্ট বা আপত্তি করছেন তা আমি বুঝতে পেরেছি। আমি কিছু অনুপস্থিত করছি?

— সঁচায়ন দত্ত

সকল আমি বলতে পারি যে এটা সুস্পষ্ট ছিল না আমার কাছে । প্রথম পড়ার সময়, আমি বুঝতে পেরেছি (মিথ্যা) যে গ্রোভারের পক্ষে, সমস্ত সম্ভাব্য রাজ্যের একটি সুপারপজিশন তৈরি করার পরিবর্তে, এটি ইতিমধ্যে পরীক্ষিত নয় এমনগুলির জন্য কেবল একটি সুপারপজিশন প্রস্তুত করেছে। তবে গতিবেগটি যেভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছিল তার পক্ষে এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে হয়েছিল। এছাড়াও, আমি প্রাথমিকভাবে উদ্বিগ্ন ছিল যে সংঘর্ষগুলি কীভাবে পরীক্ষা করা হচ্ছে: কোন জোড়া সংঘর্ষের জন্য চেক করা হয়েছিল, এবং সংঘর্ষটি কতটা দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে?

— ড্যাফটউইলি

@DaftWullie Ah, okay. I get your point. Wikipedia doesn't go into that much detail of the algorithm. You can always refer to the original paper (arxiv.org/abs/quant-ph/9705002) for the details (which I guess you already did). Later, I will try to expand on this answer to include all the details. I'm still reading the paper.

— Sanchayan Dutta

Unless qubits and quantum gates turn out to be unbelievably cheaper than bits and classical gates, any discussion of BHT should include the caveat that the costs exceed state-of-the-art classical collision search with the van Oorschot–Wiener machine. See cr.yp.to/papers.html#collisioncost or blog.cr.yp.to/20171017-collisions.html for details. (The latter is a response to an alleged improvement on BHT that claims to be more cost-effective than classical collision search.)

— Squeamish Ossifrage

Grover's algorithm is used extensively in quantum cryptography as well. It can be used to solve problems such as the Transcendental Logarithm Problem, Polynomial Root Finding Problem etc.

— da281
সূত্র

Would you care to elaborate a bit? What are these problems? Where can I read more about them?

— DaftWullie

ieeexplore.ieee.org/document/7016940 This is an ieee paper which seeks to develop a quantum algorithm for solving the polynomial root finding problem. You can read more about it there

— da281

Grover's algorithm can be used to solve any numerical optimization problem faster than brute-force search, because any optimization problem can be formulated as a search problem (where you are searching for a function output greater/less than some fixed $M$ within each run, and you repeat for a logarithmic number of runs using binary search to home into the optimal $M$ ): https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/040605072?journalCode=sjope8.

In fact, Grover's algorithm is the best-known quantum algorithm for many difficult optimization problems (such as NP-complete ones) that don't have much structure that is amenable to a classical algorithm cleverer than brute-force search: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-78773-0_67.

— tparker
সূত্র