কোনও হোলিভোর তথ্য বৈষম্যের প্রমাণ

Question

ধরুন আমার কাছে একটি ধ্রুপদী-ধ্রুপদী-কোয়ান্টাম চ্যানেল , যেখানে সসীম সেট এবং হয় সসীম মাত্রিক, জটিল হিলবার্ট স্থান ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের সেট ।$W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$$\mathcal{X},\mathcal{Y}$$\mathcal{D}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

ধরুন উপর সমবন্টন হয় এবং উপর অভিন্ন বন্টন করা হয় । উপরন্তু, ডিস্ট্রিবিউশন সংজ্ঞায়িত উপর এবং উপর , Holevo তথ্য $p_x$$\mathcal{X}$$p_y$$\mathcal{Y}$$p_1$$\mathcal{X}$$p_2$$\mathcal{Y}$

$$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$$

যেখানে হ'ল ভন নিউম্যান এনট্রপি।$H$

আমি জন্য দেখাতে চাই যে, চি (p_1, p_2, W)) geq \ চি (p_1, p_y, ডাব্লু) {পাঠ্য {এবং}} চি (p_1, p_2, ডাব্লু) \ geq \ চি (p_x) , পি_2, ডাব্লু)।

$$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$$ $$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$$

এখনও অবধি, আমি এখনও নিশ্চিত হতে পারি না যে বক্তব্যটি প্রথম স্থানে সত্য। আমি এটি প্রমাণ করতে খুব বেশি অগ্রগতি করি নি, তবে মনে হচ্ছে কোনও এক ধরণের ত্রিভুজ বৈষম্য দাবিটি যাচাই করতে পারে।

বিবৃতিটি রাখা উচিত কিনা সে সম্পর্কিত কোনও পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ এবং এটি কীভাবে প্রমাণ করতে হবে তার টিপস।

Comments

উত্তরটি সূচিত হিসাবে, আমি অর্গম্যাক্সটি ব্যবহার করার ইচ্ছা পোষণ করেছি, সুপ্রিমামটি নয়।

— স্টিফেন ডায়াদামো 27:58

Answer 1

এটি প্রদর্শিত হয় যে বিবৃতিটি সাধারণভাবে সত্য নয়। ধরুন , একটি একক qubit সংশ্লিষ্ট হিলবার্ট স্পেস, এবং সংজ্ঞায়িত করা হয় যেমন তাহলে অভিন্ন বন্টন, জন্য অনুকূল পছন্দ হয় এবং , যা দেয় , যা সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান। (আমি ধরে নিচ্ছি আপনি সংজ্ঞায়িত করতে চাইছেন$X = Y = \{0,1\}$$\mathcal{H}$$W$

$$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$$ $p_y$$p_1$$p_1(0) = 1$$p_1(1) = 0$$\chi(p_1,p_y,W) = 1$$p_1$এবং সেই এক্সপ্রেশনগুলির হিসাবে, সুপ্রিমাম নয়)) একইভাবে, যদি সমান হয়, এবং অনুকূল এবং মানটি একই। তবে, , সুতরাং বৈষম্য ধরে রাখে না।$p_2$$p_x$$p_2(0) = 1$$p_2(1) = 0$$\chi(p_1,p_2,W) = 0$