আমি কীভাবে দেখাব যে একটি দুই কুইট রাজ্য একটি জড়িয়ে পড়া রাষ্ট্র?

18

বেল রাজ্য একটি জড়িয়ে পড়া রাষ্ট্র। তবে কেন এই মামলা? আমি কীভাবে এটি গাণিতিকভাবে প্রমাণ করব? $|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$

entanglement tensor-product

— nbro
সূত্র

19

সংজ্ঞা

একটি দ্বি-কুইট রাজ্য একটি জড়িত রাষ্ট্র যদি এবং কেবল সেখানে দুটি ওয়ান-কোবাইটের অস্তিত্ব না থাকে তবে and এরকম , যেখানে -এর মানে টেন্সর পণ্য এবং । $|\psi\rangle \in \mathbb{C}^4$ $|a\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ $|b\rangle = \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ $|a\rangle \otimes |b\rangle = |\psi\rangle$ $\otimes$ $\alpha, \beta, \gamma, \lambda \in \mathbb{C}$

সুতরাং, বেল রাজ্যটি দেখানোর জন্য $|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$ একটি জড়িত রাষ্ট্র, আমাদের কেবল দেন বিদ্যমান আছে কোন দুই এক-qubit রাজ্যের $|a\rangle$ এবং $|b\rangle$ যেমন যে $|\Phi^{+}\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle$ ।

প্রমাণ

অনুমান করি যে

$\begin{aligned} | Φ^{+} ⟩ & = | a ⟩ \otimes | b ⟩ \\ = (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (γ | 0 ⟩ + λ | 1 ⟩) \end{aligned}$ $\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= |a\rangle \otimes |b\rangle \\ &= \left( \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \right) \otimes \left( \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \right) \end{align}$
আমরা এখন সহজেই বিতরণ সম্পত্তি প্রাপ্ত করতে প্রয়োগ করতে পারি

$\begin{aligned} | Φ^{+ +} ⟩ & = \dots \\ = (α γ | 00 ⟩ + α λ | 01 ⟩ + β γ | 10 ⟩ + β λ | 11 ⟩) \end{aligned}$ $\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= \cdots \\ &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$
এটি অবশ্যই সমান হতে হবে, এটি হ'ল আমাদের অবশ্যই সহগ , , এবং , যেমন $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\lambda$

$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) & = (α γ | 00 ⟩ + α λ | 01 ⟩ + β γ | 10 ⟩ + β λ | 11 ⟩) \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$
লক্ষ্য করুন, , আমরা উভয়ই রাখতে চাই এবং । সুতরাং, এবং , যা সহগ হয় শূন্য হতে পারে না; অন্য কথায়, আমাদের অবশ্যই এবং । একইভাবে, এবং , যা জটিল সংখ্যাগুলি গুণমান শূন্য হতে পারে না, অর্থাৎ এবং । সুতরাং, সমস্ত জটিল সংখ্যা $\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$ $|00\rangle$ $|11\rangle$ $\alpha$ $\gamma$ $|00\rangle$ $\alpha \neq 0$ $\gamma \neq 0$ $\beta$ $\lambda$ $|11\rangle$ $\beta \neq 0$ $\lambda \neq 0$ $\alpha$ , , এবং অবশ্যই শূন্যের থেকে পৃথক হতে হবে। $\beta$ $\gamma$ $\lambda$

তবে, বেল রাষ্ট্র পেতে, আমরা এবং মুক্তি পেতে চাই । সুতরাং, সংখ্যার মধ্যে একটি (বা উভয়) গুণক (এবং ) এক্সপ্রেশনটিতে , অর্থাত্ এবং (এবং যথাক্রমে এবং ) অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে। তবে আমরা সবেমাত্র দেখেছি যে , , এবং $|\Phi^{+}\rangle$ $|01\rangle$ $|10\rangle$ $|01\rangle$ $|10\rangle$ $\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$ $\alpha$ $\lambda$ $\beta$ $\gamma$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\lambda$ সব শূন্য থেকে পৃথক হতে হবে। সুতরাং, আমরা জটিল সংখ্যার মিশ্রণটি খুঁজে পাই না , , এবং এরকম $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\lambda$

$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) & = (α γ | 00 ⟩ + α λ | 01 ⟩ + β γ | 10 ⟩ + β λ | 11 ⟩) \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$
অন্য কথায়, আমরা প্রকাশ করতে পারছি না one two দুটি এক-কুইট রাজ্যের একটি সেন্সর পণ্য হিসাবে চিহ্নিত করুন। অতএব, একটি জড়িয়ে পড়া রাষ্ট্র। $|\Phi^{+}\rangle$ $|\Phi^{+}\rangle$

আমরা অন্য বেল রাজ্যের জন্য বা সাধারণভাবে, যদি আমরা প্রমাণ করতে চাই যে কোনও রাষ্ট্র জড়িয়ে আছে, আমরা একইরকম প্রমাণ করতে পারি।

— nbro
সূত্র

2

বাহ আপনি নিজের প্রশ্নের উত্তর একটি সুন্দর, বোধগম্য প্রমাণ দিয়ে দিয়েছেন। না কিছু আপনি দেখতে প্রতিদিন। এটি আপনাকে ধন্যবাদ আপনাকে সাহায্য করেছিল।

— ইয়ংগুন

11

একটি দ্বিগুণ বিশুদ্ধ খাঁটি রাষ্ট্র বিভাজ্য যদি কেবলমাত্র যদি তা ফর্মটিতে লেখা যায় তবে si gle bit নির্বিচারে একক চতুর্থাংশ রাজ্যের জন্য রেঞ্জ এবং । অন্যথায়, এটি জড়িয়ে পড়ে।

| Ψ ⟩ = | ψ ⟩ | ϕ ⟩

$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

খাঁটি রাষ্ট্রটি জড়িয়ে রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য , এই উত্তর হিসাবে যেমন একটি সন্তোষজনক রাজ্য এবং জন্য একটি জোর বল পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারে । এটি অমনোযোগী এবং সাধারণ ক্ষেত্রে কঠোর পরিশ্রম। প্রমাণ করার কিনা এই বিশুদ্ধ রাষ্ট্র বিজড়িত হয় আরো একটি সহজবোধ্য উপায় ক্যালকুলেট হ্রাস ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স হয় অপরকে ট্রেসিং দ্বারা qudits এক, অর্থাত জন্য। রাজ্যটি বিভাজ্য যদি কেবলমাত্র 1 থাকে তবে অন্যথায় এটি জড়িয়ে পড়ে। গাণিতিকভাবে, আপনি কেবল মূল্যায়ন করে র‌্যাঙ্কের শর্তটি পরীক্ষা করতে পারেন can $|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$ $\rho$ $\rho$ $\text{Tr}(\rho^2)$ । মূল অবস্থাটি পৃথকযোগ্য যদি কেবল এবং এই মানটি 1 হয় তবে অন্যথায় রাষ্ট্র জড়িয়ে পড়ে।

উদাহরণস্বরূপ, কল্পনা এক একটি বিশুদ্ধ খণ্ডনীয় রাষ্ট্র হয়েছে । কমেছে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স হল এবং সুতরাং, আমরা একটি পৃথকযোগ্য রাষ্ট্র আছে। $|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$ $A$

ρ_{A} = {Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = | ψ ⟩ ⟨ ψ |,

$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=|\psi\rangle\langle\psi|,$

Tr (ρ_{একজন}^{2}) = tr (| ψ ⟩ ⟨ ψ | \cdot | ψ ⟩ ⟨ ψ |) = tr (| ψ ⟩ ⟨ ψ |) = 1।

$\text{Tr}(\rho_A^2)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|\cdot |\psi\rangle\langle\psi|)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=1.$

এদিকে, আমরা যদি তবে এবং যেহেতু এই মানটি 1 নয়, আমাদের একটি জড়িয়ে থাকা অবস্থায় রয়েছে। $|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$

ρ_{A} = {Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = \frac{1}{2} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |) = \frac{1}{2} I

$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\frac12\left(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|\right)=\frac12\mathbb{I}$

Tr (ρ_{A}^{2}) = \frac{1}{4} Tr (I \cdot I) = \frac{1}{2}

$\text{Tr}(\rho_A^2)=\frac14\text{Tr}(\mathbb{I}\cdot\mathbb{I})=\frac12$

আপনি যদি মিশ্র রাজ্যে (খাঁটি রাষ্ট্র নয়) জড়িয়ে পড়ার বিষয়ে জানতে চান, তবে এটি সহজ সরল নয়, তবে দুটি কুইটের জন্য পৃথকীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত রয়েছে: আংশিক ট্রান্সপোজ অপারেশনের অধীনে ইতিবাচকতা ।

— DaftWullie
সূত্র

+1 ব্রুট ফোর্স অ্যালগোরিদমের তুলনায় এটি অনেক বেশি মার্জিত পদ্ধতি।

— সঁচায়ন দত্ত

কি কি এবং ? এগুলি কি কেবল নিজেরাই চতুর্থাংশ?

A

$A$

B

$B$

— দোহলমান

@ ডহলেমান হ্যাঁ, তারা সিস্টেমের দুটি অংশের জন্য কেবলমাত্র লেবেল, একটি অংশ এ (অ্যালিস) এবং অন্যটি বি (বব) দ্বারা ধারণ করেছে। এক্ষেত্রে এটি দুই চতুর্থাংশ।

— ডাফটওয়ুলি