জোন্স বহুপদী

12

ডয়েশের অ্যালগোরিদম সাইমন সমস্যা, গ্রোভারের অনুসন্ধান, শোরের অ্যালগরিদম এবং আরও অনেকগুলি থেকে অনেকগুলি মোটামুটি স্ট্যান্ডার্ড কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম রয়েছে যা সমস্ত একটি খুব অনুরূপ কাঠামোর মধ্যে বোঝা যায়।

যে এক অ্যালগরিদম সম্পূর্ণ আলাদা বলে মনে হয় তা হ'ল জোন্স পলিনোমিয়ালটি মূল্যায়নের জন্য অ্যালগরিদম । তদুপরি, মনে হচ্ছে এটি একটি বিকিউপি-সম্পূর্ণ সমস্যা: এই ধারণাটি বোঝার জন্য এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ অ্যালগরিদম : এটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারের সম্পূর্ণ শক্তি প্রদর্শন করে। এছাড়াও, সমস্যার বিভিন্ন রূপের জন্য, এটি ডিকিউসি -১ সম্পূর্ণ , অর্থাৎ এটি একটি ক্লিন কুইটের সম্পূর্ণ শক্তি প্রদর্শন করে ।

জোনস বহুপদী অ্যালগরিদম কাগজ অন্যান্য কোয়ান্টাম আলগোরিদিম একটি খুব অন্যভাবে অ্যালগরিদম উপস্থাপন করে। আরও কি অনুরূপ / পরিচিত উপায় আছে যা আমি অ্যালগরিদম বুঝতে পারি (বিশেষত, DQC-1 ভেরিয়েন্টের এককটি , বা বিকিউপি-সম্পূর্ণ বৈকল্পিকের পুরো পুরো সার্কিট)? $U$

algorithm circuit-construction bqp

— DaftWullie
সূত্র

6

এই উত্তরটি আপনি যে আহারোনভ-জোন্স-ল্যান্ডো কাগজের সাথে সংযুক্ত করেছেন তার সংক্ষিপ্তসার বা সংক্ষিপ্তসার রয়েছে, তবে সমস্ত কিছু যা প্রত্যক্ষভাবে অ্যালগরিদমকে সংজ্ঞায়িত করার সাথে সম্পর্কিত নয়। আশা করি এটি কার্যকর হবে।

Aharonov-জোনস-মধ্যে Landau অ্যালগরিদম একটি বিনুনি এর ভূমিখণ্ড শেষ হওযার জোনস বহুপদী পরিমাপক একটি এ $\sigma$ $k$ হিসাবে (কিছু rescaling) একটি নির্দিষ্ট ঐকিক ম্যাট্রিক্স একটি ম্যাট্রিক্স উপাদান এটা বুঝতে দ্বারা ঐক্যের তম রুট , ভাবমূর্তি বিনুনি গ্রুপ একটি নির্দিষ্ট ঐকিক উপস্থাপনা অধীনে । এর একটি বাস্তবায়ন দেওয়া কোয়ান্টাম বর্তনী যেমন, তার ম্যাট্রিক্স উপাদানের approximating ব্যবহার সহজবোধ্য Hadamard পরীক্ষা । নন্ট্রাইভাল অংশটি কোয়ান্টাম সার্কিট হিসাবে প্রায় $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

তাহলে একটি বিনুনি হয় সঙ্গে সুতা পারাপারের, আমরা লিখতে পারেন , যেখানে $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ , $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ , এবং এর জেনারেটরঅতিক্রম করার সাথে মিলে যায় । $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ স্টেন্ট উপর স্ট্র্যান্ড । যেহেতু এটি বর্ণনা করা যথেষ্ট $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

সংজ্ঞায়িত করতে , আমরা প্রথমে মান ভিত্তির একটি নির্দিষ্ট উপসেট দেব যার উপর অদ্বিতীয় আচরণ করে। জন্য যাক । আসুন কল করুন $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ গ্রাহ্য যদি সকলের জন্য । (এই অনুরূপ দৈর্ঘ্য একটি পাথ বর্ণনা উপর গ্রাফ AJL কাগজ সংজ্ঞায়িত।) যাক $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$ আসুন(এটি এজেএল কাগজে ভুল টাইপ করা হয়েছে; এছাড়াও এখানে এবং শুধুমাত্র এখানে নোট করুন,

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

সূচক নয়

)। লিখুন

, যেখানে

প্রথম

বিটের

, এবং

। তারপরে

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

আমরা সংজ্ঞায়িত

জন্য অ গ্রাহ্য ভিত্তি উপাদানের

।

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

আমরা এখন মত বর্ণনা করার জন্য হবে polynomially অনেক সঙ্গে কোয়ান্টাম বর্তনী (হিসাবে এবং দরজা)। লক্ষ্য করুন যে একটি ভাল পড়তা পেতে $U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ শুধুমাত্র দুটি কুইট পরিবর্তন করলেও এটি প্রথম কুইটের উপর নির্ভর করে উপর নির্ভরশীলতার মাধ্যমে (এবং প্রকৃতপক্ষে এটি স্বীকৃতি প্রয়োজনীয়তার জন্য সমস্ত কুইবারের উপর নির্ভর করে)। তবে, আমরা লগারিদমিকভাবে অনেকগুলি ( ) ইনসিলার কুইবিটগুলিতে (এবং ইনপুটটির গ্রহণযোগ্যতা নির্ধারণ করতে) গণনা করতে এবং সঞ্চয় করতে একটি কাউন্টার চালাতে পারি , এবং সেইজন্য আমরা সলোভে-কেটায়েভ অ্যালগরিদম প্রয়োগ করতে পারি $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ শুধুমাত্র polynomially অনেক দরজা ব্যবহার করে। (কাগজটি সলোভে-কেতায়েভের কাছে দুবার আবেদন করেছিল: একবার প্রতিটি পদক্ষেপে কাউন্টার বাড়ানোর জন্য, এবং একবার প্রয়োগ করার জন্য ; আমি নিশ্চিত নই যে এগুলির দুটিকে স্ট্যান্ডার্ড গেটস সহ কোয়ান্টাম সার্কিট হিসাবে বর্ণনা করার আরও সহজ উপায় আছে কিনা) কাগজটিতে এখানে ভর্তিযোগ্যতা যাচাই করার প্রয়োজনীয়তার কথাও উল্লেখ করা হয়নি; এটি গুরুত্বপূর্ণ কিনা তা আমি নিশ্চিত নই, তবে অবশ্যই আমাদের কমপক্ষে ।) $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

তাই পুনরুদ্ধার:

একটি বিনুনি দিয়ে স্টার্ট সঙ্গে পারাপারের। $\sigma \in B_{2n}$ $m$
লিখন $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
$i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
$U_{\sigma}$
$\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
$\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— ইভান জেনকিন্স
সূত্র

3

আপনি প্রশ্নের পাঁচটি কাগজপত্র উল্লেখ করেছেন, তবে একটি কাগজ যা নিঃশব্দে রয়ে গেছে তা হ'ল ২০০৯ সালের পরীক্ষামূলক বাস্তবায়ন । এখানে আপনি প্রকৃত সার্কিটটি পাবেন যা কোনও জোন্স বহুপদী মূল্যায়নের জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল:

এটি সম্ভবত নিকটবর্তী হতে পারে আপনি আলগোরিদমের একটি "আরও পরিচিত" উপস্থাপনাটি পেতে পারেন, কারণ জোন্স বহুপদী এবং ডিকিউসি -1 এর প্রতি আগ্রহ 2009 সাল থেকে কিছুটা ক্ষয়ে গেছে।

এই পরীক্ষার আরও বিশদ জিনা পাসান্টের থিসিসে পাওয়া যাবে ।

— user1271772
সূত্র

1

U_{n}

$U_n$

আপনাকে স্বাগতম. হ্যাঁ এটি একটি 4-পৃষ্ঠার পিআরএল ছিল যা আমার পছন্দ মত বিশদভাবে ব্যাখ্যা করা হয়নি - সম্ভবত জার্নালের ওয়েবপৃষ্ঠায় একটি "পরিপূরক উপাদান" রয়েছে যা ইউ কে আরও ভাল করে ব্যাখ্যা করে। জোন্স পলিনোমিয়াল এবং ডিকিউসি -1 ২০০৮-২০০৯-এর দিকে জনপ্রিয় ছিল তবে আমি তখন থেকে এটি সম্পর্কে শুনানি বন্ধ করে দিয়েছি।

— ব্যবহারকারী 1271772