কোয়ান্টাম সার্কিটকে ম্যাট্রিক্স হিসাবে কীভাবে ব্যাখ্যা করবেন?

যদি একটি সার্কিট তার ইনপুট হিসাবে একাধিক কুইবিট নেয় এবং কোয়ান্টাম গেট থাকে যা বিভিন্ন সংখ্যক কুইবিটকে তাদের ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে, আমরা কীভাবে এই সার্কিটকে ম্যাট্রিক্স হিসাবে ব্যাখ্যা করব?

এখানে একটি খেলনা উদাহরণ:

quantum-gate matrix-representation

— আর্চিল ঝভনিয়া
সূত্র

নির্দিষ্ট সার্কিট

প্রথম গেটটি হাদামারড গেট যা সাধারণত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$

$H\otimes I$ $I$

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$

Next we have a CNOT gate. This is normally represented by

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$

This is the right size for two qubits, so we don't need to scale using kronecker products. We then have another hadamard gate, which scales the same was as the first. To find the overall matrix for the circuit, then, we multiply them all together:

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$

and get

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{bmatrix}$

(if python multiplied correctly =) We would then multiply this by our original qubit state, and get our result.

Generalization

So basically, you go through each gate one by one, take the base representation, and scale them appropriately using kronecker products with identity matrices. Then you multiply all the matrices together in the order they are applied. Be sure to do this such that if you wrote out the multiplication, the very first gate is on the far right; as arriopolis points out, this is a common mistake. Matrices are not commutative! If you don't know the base representation of a matrix, check first wikipedia's article on quantum gates which has a lot.

— গুল্মবিশেষ
সূত্র

হতে পারে এটি যুক্ত করা শিক্ষণীয় যে ম্যাট্রিক্স গুণণের ক্রমটি সর্বদা বিপরীত হওয়া উচিত। খেলনার এই নির্দিষ্ট উদাহরণে, সার্কিটটি প্রতিসাম্যযুক্ত হওয়ায় এটি প্রয়োজনীয় নয়, তবে সাধারণভাবে, একজনকে সর্বদা বাম-সর্বাধিক গেটের ম্যাট্রিক্সটি ম্যাট্রিক্স গুণনের ডান-সর্বাধিক অবস্থানে রাখা উচিত।

— এয়ারোপোলিস

@ অ্যারিওপোলিস, ভাল পয়েন্ট; আমি যোগ করব!

— হিদার

গেটটি 'স্কেলিং' সম্পর্কে চিন্তা করার পরিবর্তে, আমি যা বুঝতে পেরেছি তা থেকে, পরিচয় ম্যাট্রিক্সের ক্রোনেকার পণ্যটি দ্বিতীয় স্তম্ভের উপর কিছুই প্রয়োগ করা হয়নি এই কারণে হয়, তবে আপনি যদি প্রথম সারিতে সার্কিটটিকে বিবেচনা করেন তবে এটি প্রথম কুইবিটে এবং এইচ-এর রূপান্তরিত হবে এবং দ্বিতীয়টিতে "I" রূপান্তর হবে, যা H⊗I এর সাথে একবারে উপস্থাপিত হয়।

— এফএসিক

@ এফ.সিসিলিয়ানো এটি সম্পর্কেও ভালভাবে চিন্তা করার উপায়; আমার জন্য কেন আমি এটি করছি তা স্মরণ করিয়ে দেওয়ার একটি ভাল উপায় ।

— হিদার