কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম ব্যবহার করে ভারী ম্যাট্রিক্সের প্রজন্মের গতি বাড়ানো কি সম্ভব?

ইন এই ^[1] কাগজ, পাতা 2, তারা উল্লেখ যে, তারা তৌল ম্যাট্রিক্স উৎপাদিত হয় নিম্নরূপ:

W = \frac{1}{M d} [\sum_{m = 1}^{m = M} x^{(m)} {(x^{(m)})}^{T}] - \frac{I_{d}}{d}

$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$

যেখানে s এর মাত্রিক প্রশিক্ষণ নমুনা (যেমন যেখানে ) এবং মোট প্রশিক্ষণের নমুনা রয়েছে। এই ভারী ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্সের গুণকে পরিমানের চেয়ে বেশি পরিমাণে সময় জটিলতার ক্ষেত্রে ব্যয়বহুল অপারেশন বলে মনে হয় যেমন) আমি (?) এর আশেপাশে অনুমান করি । $\mathbf{x}^{(m)}$ $d$ $\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$ $x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$ $M$ $M$ $O(Md)$

এমন কি কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম রয়েছে যা ভারী ম্যাট্রিক্সের প্রজন্মের জন্য যথেষ্ট গতিবেগ দিতে পারে? আমি মনে করি কাগজে তাদের মূল গতিপথ কোয়ান্টাম ম্যাট্রিক্স ইনভার্ভেশন অ্যালগরিদম থেকে এসেছে (যা পরে কাগজে উল্লিখিত হয়েছে) তবে তারা ভারী ম্যাট্রিক্স প্রজন্মের এই দিকটি বিবেচনায় নিয়েছে বলে মনে হয় না।

[1]: একটি কোয়ান্টাম হপফিল্ড নিউরাল নেটওয়ার্ক লয়েড এট আল। (2018)

algorithm neural-network

— সঁচায়ণ দত্ত
সূত্র

ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স গ্রহণ করা অনেকগুলি বিবরণ সমস্ত পৃষ্ঠায় 2 এর নীচের অনুচ্ছেদে রয়েছে:

ρ = W + \frac{I_{d}}{d} = \frac{1}{M} \sum_{m = 1}^{M} | x^{(m)} ⟩ ⟨ x^{(m)} |,

$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$

স্নায়ুবহুল নেটওয়ার্কগুলির কোয়ান্টাম অভিযোজনের জন্য গুরুত্বপূর্ণ হ'ল অ্যাক্টিভেশন নিদর্শনগুলির ক্লাসিকাল টু-কোয়ান্টাম রিড-ইন। আমাদের সেটিং, একটি অ্যাক্টিভেশন প্যাটার্ন মধ্যে পড়া কোয়ান্টাম রাষ্ট্র প্রস্তুতি করতে পরিমাণে । এটি কোয়ান্টাম র্যান্ডম অ্যাক্সেস মেমোরি (কিউআরএএম) [33] বা দক্ষ কোয়ান্টাম রাষ্ট্র প্রস্তুতির বিকাশকারী কৌশলগুলি ব্যবহার করে নীতিগতভাবে অর্জন করা যেতে পারে, যার জন্য সীমাবদ্ধ, ওরাকল ভিত্তিক, ফলাফল বিদ্যমান [৩৪]। উভয় ক্ষেত্রেই, গণনার ওভারহেড এর ক্ষেত্রে । কেউ বিকল্পভাবে একটি সম্পূর্ণ কোয়ান্টাম দৃষ্টিভঙ্গিকে মানিয়ে নিতে এবং সক্রিয়করণের ধরণগুলি নিতে পারে $x$ $|x〉$ $d$ $|x〉$ সরাসরি কোয়ান্টাম ডিভাইস থেকে বা কোয়ান্টাম চ্যানেলের আউটপুট হিসাবে। প্রাক্তনদের জন্য, আমাদের প্রস্তুতির রান সময়টি কার্যকর যখনই কোয়ান্টাম ডিভাইসটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে কোয়েটসের সংখ্যার সাথে বেশ কয়েকটি গেট স্কেল করে তৈরি হয়। পরিবর্তে, পরবর্তীকালের জন্য, আমরা সাধারণত চ্যানেলটিকে স্থির সিস্টেম-পরিবেশগত মিথস্ক্রিয়াকে কিছু রূপ হিসাবে দেখি যার প্রয়োগ করার জন্য একটি কম্পিউটেশনাল ওভারহেডের প্রয়োজন হয় না।

উপরের রেফারেন্সগুলি হ'ল:

[৩৩]: ভি। জিওভনেটি, এস। লয়েড, এল। ম্যাককন, কোয়ান্টাম এলোমেলো অ্যাক্সেস মেমোরি, শারীরিক পর্যালোচনা পত্র 100, 160501 (২০০ () [ পিআরএল লিঙ্ক , আরএক্সিভ লিঙ্ক ]

[34]: এএন সোকলাভ, আর। শ্যাক, কোয়ান্টাম বিটের একটি নিবন্ধের জন্য দক্ষ রাষ্ট্র প্রস্তুতি, শারীরিক পর্যালোচনা এ 73, 012307 (2006)। [ পিআরএ লিঙ্ক , আরএক্সিভ লিঙ্ক ]

কীভাবে বিশদে না গিয়ে, উপরোক্ত উভয়ই যথাক্রমে একটি দক্ষ QRAM বাস্তবায়নের জন্য পরিকল্পনা; এবং দক্ষ রাষ্ট্রের প্রস্তুতি যা রাজ্যটিকে পুনরায় তৈরি করে $\left|x\right>$ সময়মতো $\mathcal O\left(\log_2 d\right)$ ।

তবে এটি কেবল আমাদের এখনও পাওয়া যায়: এটি রাষ্ট্র তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে $\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$ , আমরা যতটা সম্ভব সব চেয়ে একটি যোগফল চাই $m$ 'S।

গভীরভাবে, $\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$ মিশ্রিত, সুতরাং একটি একক খাঁটি রাষ্ট্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায় না, তাই বিশুদ্ধ রাষ্ট্রগুলি পুনরুদ্ধার সম্পর্কিত উপরোক্ত দুটি রেফারেন্সের দ্বিতীয়টি প্রযোজ্য না এবং প্রথমটির জন্য রাষ্ট্রটি ইতিমধ্যে QRAM এ থাকা আবশ্যক।

এই হিসাবে, লেখকরা তিনটি সম্ভাব্য অনুমানের মধ্যে একটি করে:

তাদের একটি ডিভাইস রয়েছে যা ঠিক তাদের সঠিক ইনপুট অবস্থা দেওয়ার জন্য ঘটে
তাদের হয় হয় রাজ্য $\rho^{\left(m\right)}$ কিউআরএমে,
উপরের রেফারেন্সগুলির দ্বিতীয়টি ব্যবহার করে তারা ইচ্ছামত সেই রাজ্যগুলি তৈরি করতে সক্ষম। এর পরে মিশ্রিত অবস্থা কোয়ান্টাম চ্যানেল ব্যবহার করে তৈরি করা হয় (অর্থাত্ একটি সম্পূর্ণ ইতিবাচক, ট্রেস সংরক্ষণকারী (সিপিটিপি) মানচিত্র))

এই মুহুর্তের জন্য উপরের বিকল্পগুলির প্রথম দুটি সম্পর্কে ভুলে যাওয়া (প্রথম যাদুকরী যেকোনভাবে সমস্যার সমাধান করে) চ্যানেলটি হ'ল:

একটি ইঞ্জিনিয়ারড সিস্টেম, যাতে এটি কোনও অ্যানালগ সিমুলেশনের অনুরূপ কোনও নির্দিষ্ট উদাহরণের জন্য তৈরি করা হত। অন্য কথায় আপনি একটি দৈহিক চ্যানেল পেয়েছেন যা দৈহিক দৈর্ঘ্য নেয় $t$ (কিছু সময়ের জটিলতার বিপরীতে)। এটি "স্থির সিস্টেম-পরিবেশগত মিথস্ক্রিয়া যা প্রয়োগ করার জন্য একটি গণনার ওভারহেডের প্রয়োজন হয় না।"
চ্যানেলটি নিজেই সিমুলেটেড। এ সম্পর্কে কয়েকটি কাগজপত্র রয়েছে, যেমন বনি এবং অরেশকভের কোয়ান্টাম চ্যানেলগুলির আনুমানিক সিমুলেশন ( আরএক্সিব লিঙ্ক - এটি একটি সম্পূর্ণ কাগজের মতো দেখায়, তবে আমি কোনও সময় জটিলতার বিবৃতি পাইনি), লু এট et আল এর পরীক্ষামূলক কোয়ান্টাম চ্যানেল সিমুলেশন (কোনও আরএক্সিব সংস্করণ বিদ্যমান বলে মনে হচ্ছে না) এবং আইবিএম এর ক্লাউড কোয়ান্টাম কম্পিউটারে ওয়েই, জিন এবং লং-এর আরক্সিব প্রিপ্রিন্ট দক্ষ ইউনিভার্সাল কোয়ান্টাম চ্যানেল সিমুলেশন , যা (সংখ্যার জন্য সংখ্যা) $n=\lceil\log_2 d\rceil$ ) একটি সময় জটিলতা দেয় $\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$ । স্টাইনস্প্রিং ডাইলেশনও এর জটিলতা সহ ব্যবহার করা যেতে পারে $\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$ ।

এখন বিকল্প 2 ^{1-তে সন্ধান করা} , আরও সম্ভাব্য একটি কার্যকর পদ্ধতি হ'ল সাধারণ পদ্ধতিতে অ্যাড্রেস রেজিস্ট্রার থেকে ডেটা রেজিস্টারে রাজ্য স্থানান্তর করা: নিবন্ধে ঠিকানাগুলির জন্য $a$ , $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$ এটি ডেটা রেজিস্টারে স্থানান্তরিত করে ডেটা রেজিস্টারে রাষ্ট্রকে দেয় $d$ যেমন $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$ । এটিকে একটি মিশ্র অবস্থায় পরিণত করার জন্য ঠিকানা এবং ডেটা রেজিস্টারকে সহজেই ডিকোয়ার করা সম্ভব হবে, একটি অল্প সময়কে ওভারহেড দেবে, যদিও কোনও অতিরিক্ত কম্পিউটেশনাল জটিলতা ওভারহেড তৈরি করে না, উত্পাদনকে অনেক উন্নত জটিলতা দেয় $\rho$ , রাজ্যগুলির সাথে একটি কিউআরএএম দেওয়া হয়েছে $\left|x^{\left(m\right)}\right>$ এর $\mathcal O\left(n\right)$ । এটিও রাজ্যগুলি তৈরির জটিলতা $\left|x^{\left(m\right)}\right>$ প্রথমত, উত্পাদন সম্ভাবনার (অনেক উন্নত) জটিলতা প্রদান করে $\rho$ এর $\mathcal O\left(n\right)$ ।

^{1 আড্ডায় এই সম্ভাবনাটি নির্দেশ করার জন্য @ জিএলএসকে ধন্যবাদ জানাতে}

এই ঘনত্বের ম্যাট্রিক্সটিকে পরে 'কিউহপ' (কোয়ান্টাম হপফিল্ড) খাওয়ানো হয়, যেখানে এটি অনুকরণ করার জন্য ব্যবহৃত হয় $e^{-iAt}$ জন্য

একজন = (\begin{matrix} ওয়াট - γ {আমি}_{ঘ} & পি \\ পি & 0 \end{matrix})

$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$ পৃষ্ঠায় 8 এর " দক্ষ হ্যামিলটোনিয়ান সিমুলেশন অফ এ " উপধারা অনুযায়ী।

— Mithrandir24601
সূত্র

ঠিক আপনার সম্পাদনা সম্পর্কে যেমন ছোট নোট: আপনার ঠিকানা নিবন্ধের সত্যিকার অর্থে "ডিকোহার" করতে হবে না, বা সত্যিই কিছু করার দরকার নেই। এটি ব্যবহার না করার সরল সত্যটি ডেটা নিবন্ধের সামগ্রীকে বিভিন্নের মিশ্রণ থেকে পৃথক করে তোলে

| D_{j} ⟩

$|D_j\rangle$

— GLS