সমীকরণের লিনিয়ার সিস্টেমের জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম (এইচএইচএল 09): পদক্ষেপ 1 - পর্যায় অনুমানের অ্যালগরিদম ব্যবহার সম্পর্কে বিভ্রান্তি

Question

আমি সমীকরণের লিনিয়ার সিস্টেমগুলির জন্য বিখ্যাত (?) পেপার কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম (হ্যারো, হাসিদিম এবং লয়েড, ২০০৯) (আরও জনপ্রিয় এইচএইচএল ৯৯ অ্যালগরিদম পেপার হিসাবে বেশি পরিচিত ) এর আশেপাশে আমার মাথা পেতে চেষ্টা করেছি ।

প্রথম পৃষ্ঠায়, তারা বলে :

আমরা এখানে আমাদের অ্যালগরিদমের প্রাথমিক ধারণাটি স্কেচ করি এবং তারপরে পরবর্তী বিভাগে আরও বিশদভাবে এটি আলোচনা করব। একটি হারমেটিয়ান ম্যাট্রিক্স এ এবং একটি ইউনিট ভেক্টর Give বি দেওয়া , মনে করুন আমরা satisf x সন্তুষ্ট A → x = → b খুঁজে পেতে চাই । (আমরা দক্ষতার পরবর্তী প্রশ্নগুলির পাশাপাশি এ এবং → বি সম্পর্কে যে অনুমানগুলি করেছি তা কীভাবে শিথিল করা যায় তা নিয়ে আলোচনা করি )) প্রথমত, অ্যালগরিদম → বিটিকে কোয়ান্টাম রাষ্ট্র হিসাবে উপস্থাপন করে | খ ⟩ = Σ এন $N\times N$$A$$\vec{b}$$\vec{x}$$A\vec{x} = \vec{b}$$A$$\vec{b}$$\vec{b}$। এর পরে, আমরা আবেদন করতে হ্যামিল্টনিয়ান সিমুলেশন [3, 4] এর কৌশল ব্যবহার ইআমিএকজনটনথেকে| bidifferent বিভিন্ন সময়ের সুপারপজিশনেরজন্যt। এই exponentiate করার ক্ষমতাএকটিঅনুবাদ, ফেজ-প্রাক্কলন [5-7] এর সুপরিচিত কৌশল মাধ্যমে পচা করার ক্ষমতা মধ্যে| খ⟩ এর eigenbasis মধ্যেএকজনএবং সংশ্লিষ্ট eigenvalues এটি λঞঅনানুষ্ঠানিকভাবে, এই পর্যায়ে পরে আপনি কম্পিউটার রাজ্যের পাসে থেকেΣ ঞ $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$$e^{iAt}$$|b_i\rangle$$t$$A$$|b\rangle$$A$$\lambda_j$$\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$, যেখানে$u_j$এর eigenvector ভিত্তি $A$এবং$|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$।

এ পর্যন্ত সব ঠিকই. বর্ণনা অনুযায়ী নিলসেন & Chuang অধ্যায়ে " কোয়ান্টাম রুপান্তর ফুরিয়ার এবং তার অ্যাপ্লিকেশন ", ফেজ প্রাক্কলন অ্যালগরিদম অনুমান করার জন্য ব্যবহার করা হয় মধ্যে ই আমি 2 পাইয়ের মান φ যা eigenvalue একটি eigenvector সংশ্লিষ্ট করা হয় | তোমার দর্শন লগ করা ⟩ ঐকিক অপারেটর ইউ ।$\varphi$$e^{i2\pi \varphi}$$|u\rangle$$U$

নীলেসন এবং চুয়াং এর সম্পর্কিত অংশটি এখানে:

ফেজ অনুমানের অ্যালগরিদম দুটি রেজিস্টার ব্যবহার করে। প্রথম রেজিস্টার রয়েছে রাজ্যের প্রাথমিকভাবে qubits | 0 ⟩ । আমরা কীভাবে টি নির্বাচন করি তা দুটি জিনিসের উপর নির্ভর করে: আমরা আমাদের অনুমানের জন্য নির্ভুলতার সংখ্যার সংখ্যা φ এর জন্য করতে পারি এবং কোন সম্ভাবনার সাথে আমরা পর্যায়টি অনুমানের পদ্ধতিটি সফল হওয়ার আশা করি। এই পরিমাণগুলির উপর টি এর নির্ভরতা নীচের বিশ্লেষণ থেকে প্রাকৃতিকভাবে উদ্ভূত হয়।$t$$|0\rangle$$t$$\varphi$$t$

রাজ্যে দ্বিতীয় নিবন্ধকরণ শুরু হয় এবং দোকান থেকে প্রয়োজনীয় অনেক qubits যেমন রয়েছে | তোমার দর্শন লগ করা ⟩ । পর্যায়ের প্রাক্কলন দুটি পর্যায়ে সঞ্চালিত হয়। প্রথমত, আমরা চিত্র 5.2-তে প্রদর্শিত সার্কিটটি প্রয়োগ করি। বর্তনী একটি Hadamard প্রথমে নিবন্ধন করতে রুপান্তর প্রয়োগের দ্বারা শুরু হয়, নিয়ন্ত্রিত প্রয়োগের দ্বারা অনুসরণ - ইউ দ্বিতীয় নিবন্ধন অপারেশন, সঙ্গে ইউ দুই ধারাবাহিক ক্ষমতা উন্নীত করেছিলাম। প্রথম নিবন্ধকের চূড়ান্ত অবস্থাটি সহজেই দেখা যায়:$|u\rangle$$|u\rangle$$U$$U$

$$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$$

প্রথম পর্যায়ের অনুমানের দ্বিতীয় পর্যায়ে প্রথম রেজিস্টারে বিপরীত কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর প্রয়োগ করা হয়। এই কোয়ান্টাম ফুরিয়ার পূর্বের বিভাগে রুপান্তর জন্য বর্তনী (ব্যায়াম 5.5) reversing দ্বারা প্রাপ্ত হয় এবং কাজ করা যেতে পারে ধাপ। পর্যায় অনুমানের তৃতীয় এবং চূড়ান্ত পর্যায়ে গণনা ভিত্তিতে একটি পরিমাপ করে প্রথম রেজিস্ট্রারের অবস্থাটি পড়া out আমরা দেখাব যে এই একটি প্রশংসনীয় ভাল অনুমান φ । অ্যালগরিদমের সামগ্রিক স্কিম্যাটিক চিত্র 5.3 এ দেখানো হয়েছে।$\Theta (t^2)$$\varphi$

কেন ফেজ প্রাক্কলন কাজ, ঠাউর হিসাবে আমাদের অনুভূতি ধার করা , ঠিক int- এ বিট প্রকাশ করা হতে পারে যেমন φ = 0. φ 1 । । । φ টি । তারপরে রাষ্ট্রের (5.20) পর্যায়ের অনুমানের প্রথম পর্যায়ে থেকে পুনরায় লেখা যেতে পারে$\varphi$$\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$$\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$$

পর্যায়ের অনুমানের দ্বিতীয় পর্যায়ে বিপরীত কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তর প্রয়োগ করা হয়। কিন্তু ফুরিয়ার জন্য পণ্য ফর্ম সঙ্গে পূর্ববর্তী সমীকরণ তুলনা রুপান্তর, সমীকরণ (5.4), আমরা দেখতে যে দ্বিতীয় পর্যায়ের থেকে আউটপুট রাষ্ট্র পণ্যের রাষ্ট্র । গণনীয় ভিত্তিতে একটি পরিমাপ, তাই আমাদের দেয় φ ঠিক!$|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$$\varphi$

সারমর্ম, ফেজ প্রাক্কলন অ্যালগরিদম একটি ফেজ অনুমান করতে পারবেন একটি ঐকিক অপারেটর একজন eigenvalue এর ইউ সংশ্লিষ্ট eigenvector দেওয়া | তোমার দর্শন লগ করা ⟩ । এই পদ্ধতির কেন্দ্রবিন্দুতে একটি অপরিহার্য বৈশিষ্ট্য হ'ল রূপান্তর সম্পাদন করার জন্য বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর করার ক্ষমতা$\varphi$$U$$|u\rangle$

$$\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$$

আসুন এখান থেকে এগিয়ে চলুন। আমি এখানে HHL09 অ্যালগরিদমের জন্য একটি সুন্দর সার্কিট ডায়াগ্রাম পেয়েছি ^{[ † ]} : ^$\dagger$

পদক্ষেপ 1 (পর্যায় অনুমান):

এইচএইচএল ০৯ অ্যালগরিদমের প্রথম ধাপে একই ধারণাটি (নেলসেন এবং চুয়াং-তে বর্ণিত স্ট্যান্ডার্ড কোয়ান্টাম ফেজ অনুমানের আলগোরিদিম) ব্যবহার করা হয়। তবে, আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে নিজে থেকে কোনও ইউনিটরি অপারেটর নয়। তবে, আমরা যদি ধরে নিই যে এ হর্মিটিয়ান তবে ক্ষতিকারক ই আই এ টি একক (কোনও উদ্বেগ নেই, যদি এ হার্মিটিয়ান না হয় তবে কার্যকরী আছে !)। $A$$A$$e^{iAt}$$A$

এখানে, আমরা লিখতে পারি । এখানে আরও একটি সূক্ষ্ম বিন্দু জড়িত আছে। আমরা না eigenvectors জানেন | তোমার দর্শন লগ করা ঞ ⟩ এর ইউ পূর্বেই (কিন্তু আমরা জানি না যে আকার কোনো ঐকিক ম্যাট্রিক্স জন্য এন × এন বিদ্যমান এন orthonormal eigenvectors)। অধিকন্তু, আমরা নিজেদের মনে করিয়ে দিতে যে যদি এর eigenvalues প্রয়োজন একটি হয় λ ঞ তাহলে eigenvalues ই আমি একজন টন হতে হবে ই আমি λ ঞ$U=e^{iAt}$$|u_j\rangle$$U$$N\times N$$N$$A$$\lambda_j$$e^{iAt}$$e^{i \lambda_j t}$। আমরা eigenvalues আকারে জন্য নিলসেন এবং Chuang দেওয়া সঙ্গে এই তুলনা যদি অর্থাত যদি ই 2 π আমি φ ≡ ই আমি λ ঞ টি , আমরা চাই φ = λ ঞ$U$$e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$ । এই ক্ষেত্রে, আমরা রাজ্যে শুরু| খ⟩(এর eigenvectors একটি উপরিপাত হিসেবে লেখা যেতে পারে যাইউঅর্থাতΣ ঞ = এন ঞ = 1 βঞ|তোমার দর্শন লগ করাঞ⟩) বদলে কোন বিশেষ eigenvector| তোমার দর্শন লগ করাঞ⟩এরইউ, যতটা qubits দ্বিতীয় রেজিস্টার সংশ্লিষ্ট করা হয়। আমরা যদি রাজ্যে শুরু করতাম| তোমার দর্শন লগ করা⟩⊗(|0⟩)⊗টিআমরা দিয়ে শেষ হবে$\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$$|b\rangle$$U$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$$|u_j\rangle$$U$$|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$ অর্থাত | তোমার দর্শন লগ করা ঞ ⟩ ⊗ | । λ জে$|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$(বিবেচনায় যেλঞeigenvector সঙ্গে যুক্ত eigenvalue হয়|তোমার দর্শন লগ করাঞ⟩এরএকটি)। এখন, এর পরিবর্তে যদি আমরা eigenvectors এর সুপারপজিশন শুরু করি∑j=Nj=1βj| তোমার দর্শন লগ করাঞ⟩আমরা দিয়ে শেষ উচিতΣঞ=এনঞ=1βঞ| তোমার দর্শন লগ করাঞ⟩⊗| ।λজে$|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$$\lambda_j$$|u_j\rangle$$A$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$।$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

প্রশ্ন:

পর্ব 1 : এইচএইচএল09 গবেষণাপত্রে , তারা এই পর্যায়টি অনুমানের পদক্ষেপটি পরে সিস্টেমের অবস্থা সম্পর্কে লিখেছেন | তোমার দর্শন লগ করা ঞ ⟩ ⊗ | ~ Λ ঞ ⟩ । যাইহোক, আমি উপরে যা লিখেছি তা থেকে আমার কাছে মনে হয় সিস্টেমটির অবস্থা বরং হওয়া উচিত ∑ j = N j = 1 β j | তোমার দর্শন লগ করা ঞ ⟩ ⊗ | । λ জে$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$।$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

আমি এখানে কি মিস করছি? যেখানে টি এর ফ্যাক্টর তাদের অ্যালগোরিদমের মধ্যে বিলুপ্ত?$\frac{t}{2\pi}$

সম্পাদনা করুন: পৃথক প্রশ্নগুলিকে আরও বেশি কেন্দ্রীভূত করতে পার্ট 2 কে এখানে জিজ্ঞাসা করা হয়েছে ।

---

^{আমার HHL09 অ্যালগরিদমের দ্বিতীয় ধাপ 2 এবং 3 ধাপ সম্পর্কেও বেশ কিছু বিভ্রান্তি রয়েছে, তবে আমি তাদের পৃথক প্রশ্নের থ্রেড হিসাবে পোস্ট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি, কারণ এটি দীর্ঘকালীন হয়ে চলেছে। একবার তৈরি হয়ে গেলে আমি এই পোস্টে এই প্রশ্নগুলির থ্রেডগুলির লিঙ্কগুলি যুক্ত করব।}

[ ]: আইবিএমের ক্লাউড কোয়ান্টাম কম্পিউটিং প্ল্যাটফর্ম হুয়াং এট আল- তে হোমোমর্ফিক এনক্রিপশন পরীক্ষা । (2016)$\dagger$

Comments

$6$$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$$|\lambda_j\rangle$$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$$3$$90\%$

Answer 1

এটি কাগজগুলির উপর নির্ভর করে তবে আমি 2 টি পন্থা দেখেছি:

1. $t$$t = t_0 = 2\pi$

2. $\tilde \lambda$$\lambda$$\frac{t}{2\pi}$$\tilde \lambda$$\frac{\lambda t}{2\pi}$

এখানে কয়েকটি লিঙ্ক রয়েছে:

1. $t$$2\pi$

2. $t$$t_0$$2\pi$

3. $t = 2\pi$

4. $t_0 = 2\pi$

Answer 2

আমি এখানে কি মিস করছি? যেখানে টি এর ফ্যাক্টর$\frac{t}{2\pi}$

$U$$e^{-i\lambda t}$$\lambda t/(2\pi)$$A$$\lambda$

$U$$e^{-i\lambda t}$$A$$\lambda\rangle$

$|\tilde\lambda\rangle$