কোয়ান্টাম পর্যায়ের অনুমান এবং এইচএইচএল অ্যালগরিদম

কোয়ান্টাম ফেজ প্রাক্কলন অ্যালগরিদম (QPE) একটি কোয়ান্টাম গেট প্রদত্ত eigenvector যুক্ত eigenvalue একটি সন্নিকর্ষ নির্ণয় । $U$

আনুষ্ঠানিকভাবে, যাক একজন eigenvector হতে , QPE আমাদের খুঁজে করতে পারবেন , সেরা বিট পড়তা যেমন যে এবং $\left|\psi\right>$ $U$ $\vert\tilde\theta\rangle$ $m$ $\lfloor2^m\theta\rfloor$ $\theta \in [0,1)$

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

HHL অ্যালগরিদম ( মূল কাগজ ) ইনপুট হিসাবে নেয় একটি ম্যাট্রিক্স যে সন্তুষ্ট এবং কোয়ান্টাম রাষ্ট্র এবং নির্ণয় যে রৈখিক ব্যবস্থার সমাধান এনকোড । $A$

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$

| b ⟩

$\vert b \rangle$

| x ⟩

$\vert x \rangle$

A x = b

$Ax = b$

মন্তব্য : প্রতিটি হার্মিয়ান ম্যাট্রিক্স তে শর্তটি স্থির করে । $A$

এটি করতে, এইচএইচএল অ্যালগরিদম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে কোয়ান্টাম গেটের কিউপিই ব্যবহার করে । রৈখিক বীজগণিত ফলাফল ধন্যবাদ, আমরা জানি যে যদি এর eigenvalues হয় তারপর এর eigenvalues হয় । এই ফলাফলটি কোয়ান্টাম লিনিয়ার সিস্টেম অ্যালগোরিদমগুলিতেও বলা হয়েছে : একটি প্রাইমার (ডারভোভিচ, হার্বস্টার, মাউন্টনি, সেভেরিনি, উশার এবং ওয়াসনিগ, 2018) (পৃষ্ঠা 29, সমীকরণ 68 এবং 69 এর মধ্যে)। $U = e^{iAt}$ $\left\{\lambda_j\right\}_j$ $A$ $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ $U$

$\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

$A$ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

$e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

$t$

$A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Nelimee
সূত্র

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

$A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

max_{i} a_{i i} + \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{i} a_{i i} - \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

, এর মানগুলির মধ্যে যদি আপনি উদ্বিগ্ন হন যে বৃহত ম্যাট্রিক্সের জন্য ( কুইটস বলুন ), তবে সারির যোগফল গণনা করা সহজ হতে পারে (কারণ অনেকগুলি প্রবেশাধিকার নেই) তবে সমস্ত সারিতে সর্বাধিক দীর্ঘ হতে পারে সময় (কারণ সারি রয়েছে), এটির সাথে ভাল আনুমানিকতা পাওয়ার বিভিন্ন উপায় থাকবে (উদাহরণস্বরূপ স্যাম্পলিং, বা সমস্যা কাঠামোর জ্ঞান ব্যবহার করে)। সবচেয়ে খারাপ ঘটনা, আপনি সম্ভবত গ্রোভারের অনুসন্ধানটি কিছুটা গতি বাড়ানোর জন্য ব্যবহার করতে পারেন । $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
সূত্র

গ্রোভার কোনও উন্নতি নয়: এমনকি যদি আমরা অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারি তবে আমাদের এখনও কোয়েরিগুলির প্রয়োজন হবে যা ধ্রুপদী পদ্ধতিগুলির তুলনায় এইচএইচএলটির তাত্পর্যপূর্ণ উন্নতি নষ্ট করে এবং এটি একটি চতুর্ভুজীয় গতির সাথে প্রতিস্থাপন করে। সুতরাং একমাত্র আশা বাকী রয়েছে নমুনা দেওয়া (ত্রুটির অন্য উত্স প্রবর্তন) বা প্রার্থনা এবং আশা করি যে সমস্যাটি আমাদের উপরের / নিম্ন সীমাগুলি অনুমান করার অনুমতি দেয়। আমার কাছে অ্যালগরিদমের একটি বড় ত্রুটি মনে হচ্ছে।

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— নীলিমি

অবশ্যই, আমি কেবল এর অর্থই দিয়েছিলাম যে গ্রোভার আপনাকে সর্বাধিক প্রাপ্তির নির্ভুল পদ্ধতির তুলনায় একটি বর্গমূলের গতিবেগ দেয়। অবশ্যই এটি সামগ্রিক চলমান সময়ে খারাপ প্রভাব ফেলেছে।

— ডাফটওয়ুলি

কোয়ান্টাম পর্যায়ের অনুমান এবং এইচএইচএল অ্যালগরিদম - ইগেনভ্যালুগুলির জ্ঞান প্রয়োজন?