বিরল হ্যামিল্টোনীয়দের অনুকরণের সুবিধা

এই প্রশ্নের @ দাফটওয়ুলির উত্তরে তিনি দেখিয়েছেন যে এই নিবন্ধে উদাহরণ হিসাবে ব্যবহৃত ম্যাট্রিক্সের কোয়ান্টাম গেটের ক্ষেত্রে কীভাবে উপস্থাপন করতে হবে । যাইহোক, আমি বিশ্বাস করি যে বাস্তব জীবনের উদাহরণগুলিতে এ জাতীয় ভাল কাঠামোযুক্ত ম্যাট্রিক্সের সম্ভাবনা নেই, তাই আমি হ্যামিলটোনীয়কে অনুকরণ করার জন্য অন্যান্য পদ্ধতিগুলি দেখার চেষ্টা করছিলাম। আমি বেশ কয়েকটি নিবন্ধে অহারোনভ এবং তা-শ্মার এই প্রবন্ধের একটি রেফারেন্স পেয়েছি , যেখানে অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে তারা বলেছে যে স্পার্স হ্যামিলটোনীয়দের অনুকরণে কিছুটা সুবিধা পাওয়া সম্ভব । নিবন্ধটি পড়ার পরে, তবে আমি বুঝতে পারি না যে স্পারস হ্যামিলটোনীয়দের সিমুলেশন কীভাবে সম্পাদন করা যায়। সমস্যাটি সাধারণত গ্রাফের রঙিন হিসাবে উপস্থাপিত হয়, তবে উপস্থাপনাটির দিকেও তাকিয়ে থাকে @ নীলিমি ম্যাট্রিক্স এক্সপেনসিয়েশন অধ্যয়ন করতে পড়ার পরামর্শ দিয়েছিলেন, এটি সমস্তই পণ্যের সূত্রের মাধ্যমে সিলমুলেশন থেকে নেমে আসে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন এলোমেলো ম্যাট্রিক্স এর মতো নেওয়া যাক:

এটি হারমেটিয়ান নয়, হ্যারো, হাসিদিম এবং লয়েডের পরামর্শ ব্যবহার করে আমরা এর থেকে শুরু করে একটি হারমেটিয়ান ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে পারি:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

এখন আমার 8x8, 2-স্পার্স হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্স রয়েছে:

আমি কি পণ্যের সূত্র পদ্ধতি ছাড়া অন্য উপায়ে এর বিবর্তনকে অনুকরণ করতে পারি?
এমনকি যদি আমি পণ্যের সূত্র ব্যবহার করি তবে আমি কীভাবে এটি অপ্রয়োজনীয় তা কাজে লাগাব? এটি কি কেবলমাত্র অ-শূন্য কম এন্ট্রি রয়েছে বলেই বেসিক গেটগুলির পণ্যটি খুঁজে পাওয়া সহজ হওয়া উচিত?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
সূত্র

অন্তর্দৃষ্টি প্রস্তাব করে যে, যে বিক্ষিপ্ত ম্যাট্রিক্স দরকারী লাইনের বরাবর যায়: কোনো জন্য , আমরা একটি সেট পরিপ্রেক্ষিতে এটি পচা পারেন যার পৃথক উপাদান সব যাতায়াতের (উপার্জন diagonalisation সহজবোধ্য), ম্যাট্রিক্স বিক্ষিপ্ত হয়, তাহলে আপনি অনেকগুলি স্বতন্ত্র প্রয়োজন করা উচিত নয় । তারপরে আপনি হ্যামিলটোনীয় বিবর্তনটি অনুকরণ করতে পারেন $H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

যেখানে

। উদাহরণস্বরূপ, আপনার ক্ষেত্রে, আপনার

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

(3 টি পদ এটি 3-স্পার্স হ্যামিল্টোনিয়ান এর সাথে সম্পর্কিত)। আমি বিশ্বাস করি যে এখানে একটি কৌশল আছে: আপনি আপনার হ্যামিলটোনীয় সমস্ত অ-শূন্য ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির মধ্য দিয়ে যান এবং তাদেরকে গ্রুপ করুন যাতে আমি যদি তাদের স্থানাঙ্কগুলি

হিসাবে লিখি(এবং আমি সর্বদা তাদের জটিল সংযুক্ত জুটি অন্তর্ভুক্ত করি), আমি যোগ করতে থাকি আমার সেটে অন্যান্য উপাদান

প্রদান করা তন্ন তন্ন

কিংবা

সমান

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$ বা

.. এটি একটি জন্য অর্থ হবে

হ্যামিল্টনিয়ান -sparse, আপনি

বিভিন্ন

।

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

সমস্যাটি হ'ল এটি অনুশীলনে সহজভাবে এটি কাজ করে না। একটি বিষয় হিসাবে, এখনও আপনাকে বহন করতে হবে ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি তাত্পর্যপূর্ণভাবে বহন করতে পারে, তবে আপনি এটি যেভাবে সেট আপ করছেন সে ক্ষেত্রে সবসময় এটি ঘটতে চলেছে।

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
সূত্র

2 টি জিনিস যা আমি বুঝতে পারি নি: 1) আপনি যখন বলে থাকেন যে আপনি সবসময় জটিল কনজুগেট জুটি অন্তর্ভুক্ত করেন তখন আপনার অর্থ কী? 2) ওরাকল দ্বারা সরবরাহিত অবস্থানের জ্ঞানটি আমাদের কোন উপায়ে সহায়তা করতে পারে? আমাদের পচে যাওয়া হ্যামিলটনিয়ান প্রতিনিধিত্বকারী ইউনিটরিটির সেট নির্ধারণে সহায়তা করে?

— এফএসিক

@ এফ। সিসিলিয়ানো (২) অরাকল থেকে প্রাপ্ত জ্ঞান সাহায্য করে কারণ এটি আপনাকে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি অ-শূন্য উপাদানগুলির মধ্য দিয়ে কাজ করতে দেয় পরিবর্তে কোনটি শূন্য নয় তা অনুসন্ধান করার জন্য।

— দাফটওয়ালি

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$