কনভলিউশনের জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম

Question

আমি মেশিন লার্নিংয়ের জন্য কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের অ্যাপ্লিকেশনগুলি সন্ধান করছিলাম এবং 2003 থেকে নিম্নলিখিত প্রিন্টের মুখোমুখি হয়েছি Qu কোয়ান্টাম কনভলিউশন এবং কোরিলেশন অ্যালগরিদমগুলি শারীরিকভাবে অসম্ভব । নিবন্ধটি কোনও জার্নালে প্রকাশিত হয়েছে বলে মনে হয় না তবে এটি কয়েক ডজন বার উদ্ধৃত হয়েছে।

নিবন্ধ লেখক কেসটি করেছেন যে কোয়ান্টামের রাজ্যের তুলনায় পৃথক সমঝোতা গণনা করা অসম্ভব। স্বজ্ঞাতভাবে এটি আমার কাছে ভুল বলে মনে হচ্ছে, যেহেতু আমি জানি আমরা কোয়ান্টাম ম্যাট্রিক্সের গুণটি করতে পারি এবং আমি জানি যে পৃথক কনভলিউশনটিকে কেবল একটি টোপলিটজ (বা সার্কুল্যান্ট) ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ হিসাবে চিহ্নিত করা যায়।

তাঁর যুক্তির মূলে মনে হয় যে দুটি ভেক্টরের এলিমেন্টওয়াইজ (হাদামারড) পণ্যটির জন্য একক অপারেটরগুলির কোনও উপলব্ধিযোগ্য রচনা নেই।

কোথায় আমার সংযোগ বিচ্ছিন্ন? কোয়ান্টাম কম্পিউটারে পৃথক পৃথকীকরণের জন্য আমরা সাধারণত টোপলিটজ ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে পারি না এমন কোনও কারণ আছে কি?

বা নিবন্ধটি কি কেবল ভুল? আমি লেমমা 14 এর প্রমাণে লেখক যে দ্বন্দ্বটি উপস্থাপন করেছেন তার মধ্যে দিয়ে কাজ করেছি এবং এটি আমার কাছে বোধগম্য বলে মনে হয়।

Comments

কাগজটি "একটি চূড়ান্ত নোট: এই ফলাফলটি ডেভিড মায়ারের মন্তব্য দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, যিনি স্বাধীনভাবে অনুরূপ ফলাফল পেয়েছিলেন" উল্লেখ করে শেষ হয়েছে। আপনি মায়ারের একটি কাগজ পরীক্ষা করেছেন?

— নরবার্ট শোচ

@ নরবার্টশুচ আমি করেছি, এবং অনুরূপ দাবি করা একজনকে খুঁজে পেতে পারি নি।

— ডিপিএল

Answer 1

যদি আপনার ইনপুট সিগন্যালের একটি নির্দিষ্ট কাঠামো থাকে তবে আপনি আসলে একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারে কনভলিউশন সম্পাদন করতে পারেন (এবং সেই বিষয়টির জন্য দ্রুততর দ্রুত) faster তবে সাধারণ ইনপুটগুলির ক্ষেত্রে এটি চ্যালেঞ্জিং বলে মনে হচ্ছে এবং এমনকি শারীরিকভাবেও অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে যা কাগজটি তর্ক করে বলে মনে হচ্ছে।

আপনি কীভাবে দুটি স্বতন্ত্র সংকেতের বিশ্লেষণ গণনা করবেন তা বিবেচনা করুন $f$ এবং $g$ধ্রুপদী। আপনি উভয় সিগন্যালের ফুরিয়ার রূপান্তর নিতে পারেন, ফলস্বরূপ ভেক্টরগুলির বিন্দু অনুসারে গুণ করতে পারেন এবং তারপরে একটি বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর করতে পারেন:

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

নোট করুন যে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারে খুব সস্তা অপারেশন। সুতরাং এটি দুর্দান্ত মনে হচ্ছে। সমস্যাটি হ'ল দুটি ভেক্টরের পয়েন্ট-ভিত্তিক গুণ এত সহজ নয়। আসুন দেখা যাক কী কারণগুলি এটি নির্ধারণ করে।

ধরুন আমরা ভাগ্যবান এবং এর ফুওরি বর্ণালী $f$ সমতল হতে দেখা যাচ্ছে:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

সেক্ষেত্রে, আপনার কোয়ান্টাম কম্পিউটারটি একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স অপারেশন করতে পারে যা আপনাকে পয়েন্ট-ওয়াইজ গুণকে দেয়:

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

তবে কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমগুলি যা দুটি ভেক্টরের পয়েন্ট-ওয়াইজ গুণাগুলি খুঁজে পায় এটি সাধারণ ক্ষেত্রে শারীরিকভাবে অসম্ভব হতে পারে। কারণ এই ক্রিয়াকলাপটি সাধারণভাবে অ-একক। একটি সাধারণ উদাহরণ হিসাবে ধরা যাক, ফুরিয়ার রূপান্তর$f$ বেশিরভাগ জায়গায় শূন্যের সাথে এটি একটি চটকদার ফাংশন:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ এই রাজ্যের অন্য রাজ্যের সাথে পয়েন্ট-ভিত্তিক গুণনটি পুনরায় বিবর্তনযোগ্য (শূন্যের কারণে), এবং এইভাবে একক নয়।

একটি ফ্ল্যাট বা কাছাকাছি-ফ্ল্যাট ফুওরি বর্ণালী ফলে ফলস্বরূপ আবিষ্কার করার পূর্বে কাজ করা হয়েছে, এবং এইভাবে দৃolute়প্রত্যয় করা সহজ:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

Answer 2

ফলাফল সম্পর্কে আমি অত্যন্ত সন্দেহজনক। আপনি যদি উপপাদ্য 16 টি দেখুন, এটি দাবি করে যে মানচিত্রটি অর্জন করে এমন কোনও অপারেশন নেই

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ স্বাভাবিককরণ পর্যন্ত তবে পরিমাপ অপারেটরটি বিবেচনা করুন $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ এটি পরিষ্কারভাবে কাঙ্ক্ষিত মানচিত্রটি প্রয়োগ করে (সেই নির্দিষ্ট পরিমাপের ফলাফলের জন্য)। তদুপরি, এর বাস্তবায়ন বেশ সোজা। মানচিত্র তৈরি করতে পারে এমন একক (কার্যকরভাবে একটি সাধারণ নিয়ন্ত্রিত) রয়েছে $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$ যাতে আপনি দ্বিতীয় স্পিনটি পরিমাপ করুন এবং 0 ফলাফল পাওয়ার পরে পোস্ট-সিলেক্ট করুন। এটি কাগজের প্রমাণকে অকার্যকর বলে মনে হবে।

Comments

অপারেশনটি একক হওয়ার দরকার নেই?

— ক্রেগ গিডনি

@ ক্রেইগজিডনি উপপাদ্য ১ 16 বিশেষত ইউনিটরিটি এবং পরিমাপের সংমিশ্রনের কথা বলছে এবং দাবি করছে যে কোনও মানচিত্রের পৃথক পরিমাপের ফলাফল নেই যা মানচিত্রটি অর্জন করতে পারে।

— দাফটওয়ালি

এটি একটি ভাল কাউন্টারিকাম নমুনার মতো বলে মনে হচ্ছে। লেমাকে ১৪ (যা তিনি উপপাদ্য ১ 16 প্রমাণ করার জন্য ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করেন?) প্রমাণ করার ক্ষেত্রে লেখকের যুক্তিতে কোনও ভুল হওয়ার জন্য আপনার কী ধারণা আছে?

— ডিপিএল

@ ডিডিএল আমি লেমমা ১৪ টি ভুল বলে মনে করি না (কমপক্ষে, আমি ফলাফলটি বিশ্বাস করি the প্রমাণ সম্পর্কে আমি জানি না) তত্ত্বের ১ 16-তে একটি অদ্ভুত যুক্তি রয়েছে (এটি ঠিক আছে, আমি কোনও ব্যয় করিনি) এটি সম্পর্কে সময় চিন্তা করে, এটি কেবল সন্দেহজনক মনে হয়) কারণ কিছু এককগুলির পক্ষে সত্য ছিল এটি লিনিয়ার অপারেটরগুলির পক্ষে সত্য, এবং সেইজন্য পরিমাপের জন্যও।

— ড্যাফটউইলি

@ ডিপিএল আরও নির্ভুলভাবে, আমি লেম্মাকে বিশ্বাস করি 14 কারণ এটি এককগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

— দফটউইলি