প্রাথমিক গেটগুলি থেকে একটি মাল্টি-কবিট নিয়ন্ত্রিত জেড কীভাবে তৈরি করবেন?

Question

একটি নির্দিষ্ট কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম বাস্তবায়নের জন্য, আমাকে নীচের চিত্রের মতো দেখানো হয়েছে, প্রাথমিক গেটগুলির একটি সেট থেকে একটি বহু-কুইবিট (এই ক্ষেত্রে, একটি তিন-কুইবিট) নিয়ন্ত্রিত-জেড গেটটি তৈরি করা দরকার। ।

আমি যে দরজাগুলি ব্যবহার করতে পারি তা হ'ল

• পাওলি গেটস এবং তাদের সমস্ত শক্তি (অর্থাত্ একটি পর্বের ফ্যাক্টর পর্যন্ত সমস্ত পাওলি আবর্তন),$\rm X, Y, Z$
• ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (প্রায় আবর্তন প্রজেক্টর),$|11\rangle\langle11|$
• $\rm H$ (হাদামারড),
• $\rm C_X$ এক্স (একক- নিয়ন্ত্রিত-এক্স বা সিএনওটি),
• $\rm C_Z$ (একক- নিয়ন্ত্রিত-জেড), এবং
• $\rm S$ (সুইপ)।

এই গেটগুলি থেকে আমি কীভাবে এই তিন কুইট নিয়ন্ত্রিত জেড তৈরি করতে যাব? আমি সার্কিটের পচনের বিষয়ে বেশ কয়েকটি কাগজপত্র পড়েছি, তবে এগুলির কোনওই আমাকে একটি পরিষ্কার এবং সংক্ষিপ্ত উত্তর দিতে পারেনি।

Comments

আপনার চতুর্থ রেজিস্টারটিতে একটি কালো বৃত্তের পরিবর্তে জেড থাকা উচিত?

— ব্যবহারকারী 1271772

@ user1271772 উভয়ই ঠিক আছে। যেহেতু নিয়ন্ত্রিত-জেড গেটগুলি ব্যবহৃত কোয়েটগুলিতে প্রতিসাম্যযুক্ত (যেমন একটি দুটি কুইবিট অদলবদল করতে পারে এবং গেটের প্রভাব একই থাকবে), সাম্প্রতিক সাহিত্যে একটি বিনা শৃঙ্খলা, যেমন কালো বিন্দুযুক্ত, আরও উপযুক্ত হিসাবে বিবেচিত হয়েছে।

— ডায়ান জে ডন কিউই ভ্যান ভ্রেমিউমেন

Answer 1

(সম্পাদনা: 14 টি সিএনটিতে উন্নত)

এটি 14 সিএনওটি, 15 টি সিঙ্গেল-কুইট জেড ঘূর্ণন এবং কোনও সহায়ক কুইটগুলির সাহায্যে করা যায়।

সংশ্লিষ্ট সার্কিট হয়

যেখানে গেটগুলি আবর্তন হয় $\fbox{$\pm$}$

$$R_z(\pm\pi/16)\propto \left(\begin{matrix}1\\&e^{\pm i\pi/8} \end{matrix}\right)$$

---

ডেরাইভেশন:

কার্যপ্রণালী বর্ণিত ব্যবহার https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , কোনো তির্যক গেট - কোনো এইভাবে বিশেষ করে CCCZ গেট - যেমন CNOTs শর্তাদি এবং এক-qubit তির্যক ফটকগুলোতে পচে যায় যেখানে সিএনওটিগুলি ক্লাসিকাল অপ্টিমাইজেশান পদ্ধতি অনুসরণ করে তাদের নিজেরাই অনুকূলিত করা যায়।

রেফারেন্সটি স্বেচ্ছাচারী তির্যক 4-কুইট গেটের জন্য 16 সিএনটি ব্যবহার করে একটি সার্কিট সরবরাহ করে (চিত্র 4)।

এটিকে উন্নত করা যেতে পারে যদি নির্বিচারে জোড়া কুইটগুলিকে 14 কোয়েট করা যায়। পর্যায়ক্রমিক (উন্মুক্ত) সীমানা অবস্থার সাথে নিকটবর্তী প্রতিবেশীদের জন্য, এটি 16 (18) সিএনওটি দিয়ে করা যেতে পারে। সংশ্লিষ্ট সার্কিটগুলি https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , চিত্র 5.2, 5.4, এবং 5.5 তে পাওয়া যাবে এবং উদাহরণস্বরূপ, গ্রে গ্রে সিকোয়েন্সগুলি তৈরির পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে।

এক-কুইট গেটের সংখ্যা সর্বদা 15।

---

মন্তব্য: যদিও নীতিগতভাবে একটি সরল সার্কিট থাকতে পারে (বলেন যে সার্কিট আরও সীমাবদ্ধ সার্কিট আর্কিটেকচারকে সামনে রেখে অনুকূলিত হয়েছে) তবে এটি সর্বোত্তমের কাছাকাছি হওয়া উচিত - সার্কিটটিকে ফর্মের সমস্ত রাজ্য তৈরি করতে হবে form কোনও অ-তুচ্ছ সাবসেট for এর জন্য , এবং 4 টি ক্যুবিটের জন্য তাদের মধ্যে 15 রয়েছে।$\bigoplus_{i\in I}x_i$$I\subset\{1,2,3,4\}$

আরও লক্ষ করুন যে কোনওভাবেই এই নির্মাণকে সর্বোত্তম হওয়া প্রয়োজন needs

---

^{1 দ্রষ্টব্য: আমি একজন লেখক}

Comments

আর আরজেট গেটের পরিবর্তে আরএক্স (বা রাই) গেটগুলি ব্যবহার করে এটি একটি বহু-কুইবিট নিয়ন্ত্রিত এক্স (বা নিয়ন্ত্রিত-ওয়াই) গেট তৈরি করবে?

— সিয়েরক্স

@ সিয়রক্স আপনার কেবলমাত্র নীচের কুইটটিতে হাদামারড-রূপান্তর করতে হবে, যার সাথে সম্পর্কিত সিএনওটি সিজেজে পরিণত হবে, এবং নীচের কোয়েটটিতে আবর্তনগুলি এক্স ঘূর্ণন হয়ে উঠবে।

— নরবার্ট শোচ

Answer 2

আপনি একটি বাস্তবায়ন করতে পারেন $n$-কুইট নিয়ন্ত্রিত $U$এই উত্তর দেওয়া সার্কিট দ্বারা । শুধু প্রতিস্থাপন$U$দ্বারা । তবে এর জন্য সিসিএনওটি (টফোলি) গেট দরকার এবং প্রাথমিক গেটগুলি ব্যবহার করে সিসিএনওটি কীভাবে প্রয়োগ করা যায় তার জন্য আপনার কাছে কিছু বিকল্প রয়েছে ।$Z$

Comments

এটি সম্ভাব্য অতিরিক্ত গভীরতার সাথে একটি সার্কিট দেয়। হতে পারে ওপি সেই গেট সেটটি সহ একটি অগভীর সার্কিট চায়। পরিমিত আকারের পরিমিতভাবে হ্রাস করতে কেউ একটি স্বয়ংক্রিয় পদ্ধতি করতে পারে।

— এহুসাইন

@ আউহসাইন: স্বয়ংক্রিয় পদ্ধতি কী?

— ব্যবহারকারী 1271772

এটি স্বয়ংক্রিয় গ্রুপগুলির তত্ত্ব থেকে ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, তাই এটি ছিল একটি পাং। ব্যাখ্যা অন্য কোথাও যেতে হবে; একটি সংক্ষিপ্ত মন্তব্য না।

— এহুসাইন

ঠিক আছে @ হুসেন, আমি আপনার জন্য কেবল একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে যাচ্ছি!

— ব্যবহারকারী 1271772

Answer 3

এখানে একটি সিসিসিজেড নির্মাণ রয়েছে যা 29 টি গেট ব্যবহার করে :

যদি আপনাকে পরিমাপ এবং শাস্ত্রীয় ফিডফোরওয়ার্ড ব্যবহারের অনুমতি দেওয়া হয়, তবে গেটের গণনা হ্রাস করা যেতে পারে 25 :

(গেট সেট সীমাবদ্ধতা পূরণের প্রয়োজন হলে হাডামারড ফটকগুলি Y এর বর্গমূল দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে।)

এবং আপনি যদি আমাকে কন্ট্রোলড-এস গেটস এবং কন্ট্রোলড-স্কয়ারটি (এক্স) গেটগুলি সম্পাদন করতে এবং এক্স ভিত্তিক পরিমাপ সম্পাদন করতে দেন তবে আমি এটিকে মোট 10 টি গেটে নামিয়ে আনতে পারি :

Comments

তবে আপনি শেষে একটি পরিমাপ + শর্তসাপেক্ষে নিয়ন্ত্রিত গেট ব্যবহার করছেন। আমি বলব এটি গেমের "সাধারণ" নিয়মের বাইরে। (উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি এটি কোনও নিয়ন্ত্রিত গেট দ্বারা প্রতিস্থাপন করেন এবং পরিমাপ স্থগিত করেন তবে আপনি এখনও কোনও টফোলি ব্যবহার করতে পারেন))

— নরবার্ট শুচ

@ নরবার্টশুচ সে কারণেই আমি "যদি আপনাকে পরিমাপ এবং শাস্ত্রীয় ফিডফোর্ড ব্যবহারের অনুমতি দেওয়া হয়" দিয়ে দ্বিতীয় চিত্রটি উপস্থাপন করি। লক্ষ্য করুন যে প্রথম চিত্রটি সেগুলি ব্যবহার করে না।

— ক্রেগ গিডনি

ইউ। পি। এস. দুঃখিত। আমার কুলপা। আমার কেবল ছবিগুলি না দেখে কিছুটা স্ক্রোল করা উচিত ছিল না: - |

— নরবার্ট শুচ

প্রথম সার্কিটের শেষে, পঞ্চম কুইটটি ফেলে দেওয়া হয়। আমার যদি ক্রমানুসারে একাধিক সিসিসিজেড প্রয়োজন হয় তবে কীভাবে আমি এই চত্বরটির আচরণ করব?

— ডায়ন জে ডন কিউই ভ্যান ভ্রেমিউমেন

আপনি এটি পরবর্তী সিসিসিজেডে খাওয়াতে পারবেন তবে দ্বিতীয় সিসিসিজেডের সার্কিটের প্রথম দুটি ক্রিয়াকলাপটি বাদ দিন। এই ক্রিয়াকলাপগুলি এটিকে একটি টি স্টেটে প্রস্তুত করছে, যা প্রত্যাখ্যান করা কুইটটির চূড়ান্ত অবস্থা। সুতরাং দ্বিতীয় সিসিসিজেডের কম অপারেশন হবে।

— ক্রেগ গিডনি

Answer 4

আমি সিসিসিজেডের আরেকটি পচন এখানে পোস্ট করছি ঠিক যদি সিসিসিজেড সংকলনের চেষ্টা করছে অন্য কারও পক্ষে এটি কার্যকর হয়। এটির জন্য মোট গেটের একটি ছোট সংখ্যক প্রয়োজন, এবং 2 এর পরিবর্তে কেবল 1 সহায়ক কুইবিট, তবে "সুস্পষ্ট" উত্তরের চেয়ে আরও পাঁচ-2-কুইট গেট রয়েছে, সুতরাং হার্ডওয়্যারটিতে বাস্তবায়নের জন্য এটি আরও খারাপ হতে পারে।

এটি ব্যবহারকারী @ রব এই মন্তব্যটিতে পরামর্শ করেছিলেন: কোয়ান্টাম সার্কিটগুলির স্বয়ংক্রিয় সংকলন , এবং এই কাগজ থেকে আসে ।

জিএমএস 5 i গেটটি হ'ল:$(\chi)$

সঙ্গে এবং সমস্ত , যার মানে এটা 10 দুই qubit দরজা জড়িত। এরপরে এগুলিকে প্রশ্নে প্রদত্ত গেট সেটটিতে সংকলন করতে হবে, সুতরাং এই ক্ষয়টি কেবলমাত্র তখনই ব্যবহার করা উচিত যদি আপনি সংখ্যা সহকারী কোয়েটগুলিতে সংরক্ষণ করার চেষ্টা করছেন বা যদি আপনার আরও 2-কোবিট গেট থাকার জন্য কিছু মনে না করেন তবে সার্কিটের গভীরতা কিছুটা কমিয়ে দিন।$n=5$$\chi_{ij}=\chi$

Comments

জিএমএস 5 গেটটি একটি দুর্দান্ত গ্লোবাল গেট - এটি প্রচলিত গেট গণনার সাথে তুলনা করা শক্ত। এবং এটি সম্ভবত সম্ভবত এমন পরিস্থিতিতেও যেখানে এই গেটটি কার্যকর করা যায়, আপনি চয়ন করতে সক্ষম হবেন না$\chi_{ij}$। সিসিসিজেড গেটের লগারিদম কেন নি?

— নরবার্ট শোচ

@ নরবার্টসছুচ: প্রশ্নটি সিসিসিজেড লগ না করার জন্য জিজ্ঞাসা করেছে (সিসিসিজেড)। আমরা যদি লগ (সিসিসিজেড) করতাম, যা আপনি সম্ভবতঃ পরামর্শ দিচ্ছেন যেহেতু জিএমএস 5 প্রাথমিক গেটগুলির ক্ষতিকারক এবং এর লগারিদম সম্ভবত প্রয়োগ করা সহজতর হয়, তবে লগের উত্তর থেকে সিসিসিজেডের আউটপুট পাওয়া কি সহজ হবে ( CCCZ)?

— ব্যবহারকারী 1271772

আপনি কী বলছেন সে সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই। পণ্যের যোগফল বা পলিস কার্যকর করা সহজ নয়। তারা এমনকি একক হয় না। --- তবে ইউনিটরিটির লোগারিদম হ্যামিলটনিয়ান, সুতরাং আপনি যদি কিছু স্মার্ট পরীক্ষামূলক সেটআপের মাধ্যমে লগ (সিসিজেড) দিয়ে সময়-বিকাশ করতে পারেন তবে আপনি এই গণনাতে "একটি গেট" সহ সিসিসিজেড পাবেন।

— নরবার্ট শোচ

@ নরবার্টশুচ: আপনার মন্তব্য "এক্সপ্রেস (-আইএইচটি) খুব কমই অ্যাডিয়াব্যাটিক" শব্দার্থগতভাবে নাল এবং কোনও মানে করে না। আপনি আমাকে কেন জিজ্ঞাসা করলেন "সিসিসিজেড গেটের লোগারিথম কেন নিই না?" ?

— ব্যবহারকারী 1271772

@ ব্যবহারকারী 1271772 ঠিক কী যোগ করার জন্য (আমি বিশ্বাস করি) নরবার্ট মন্তব্যগুলিতে কী বলছেন: সময়-স্বতন্ত্র হ্যামিলটোনীয়রা সরাসরি ন্যান্ট্রাইভিয়াল গেটস (সিসিএক্স এবং অন্যদের কাগজে বিবেচনা করা হয়) জেনারেট করার চেষ্টা করতে গিয়ে আরক্স.আর। / এ অধ্যয়ন করা হয়েছে অ্যাবস / 1803.07119 । এই সেটিংটিতে সমস্যা হ্যামিলটোনীয়দের সন্ধান করা যা কেবলমাত্র সম্ভাব্য ইন্টারঅ্যাকশন ধারণ করে এবং এখনও লক্ষ্য গেট তৈরি করে। প্রাথমিক গেটগুলি অনুমোদিত যা পরিবর্তে হ্যামিলটোনীয় মিথস্ক্রিয়াকে মঞ্জুরি দেয় সেই সংস্থানটি তাই হয়ে যায়

— GMS

Answer 5

কিছু বড় সঞ্চয় রয়েছে যা নির্দিষ্ট গেট সেটটির ভিত্তিতে তৈরি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ccnot নির্মাণে, যদি আপনি প্রতিস্থাপন করেন$T$ সাথে গেট $Z^{1/4}$, আপনার দুটি পর্যায়ে কবিটসের মধ্যে শেষ কয়েকটি গেট গঠনের পর্যায়ে সংশোধন করার দরকার নেই। এই নির্মাণ, যা প্রশ্নের মধ্যে নির্দিষ্ট গেট সেট মান্য করে 21 টি গেট নিয়ে গঠিত, যার মধ্যে 10 টি 2 কুইবিট (আপনার নীচের সার্কিটের শেষ গেটের দরকার নেই)।

পরিষ্কার হওয়ার জন্য (বেশ কয়েকটি মন্তব্যের জবাবে): সাধারণত আমরা টফোলির দিকে তাকাই, এবং এটি ব্যবহার করে করার চেষ্টা করি $T$গেট। যদি উভয় নিয়ন্ত্রণ হয়$|1\rangle$, তারপরে লক্ষ্য চূড়ায় গেটের অনুক্রমটি $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$। এখন থেকে$XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$তারপরে ক্রমটি সরল করে $-iHT^4H=-iX$, এবং একটিতে দুটি নিয়ন্ত্রণ কোয়েটে একটি ক্ষতিপূরণকারী নিয়ন্ত্রিত এস গেট যুক্ত করতে হবে। পরিবর্তে, যদি আমরা ব্যবহার করি$Z^{1/4}$তাহলে $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$, এবং এই উদ্বেগজনক পর্যায়েরগুলির মধ্যে কোনওটিই এর মধ্যে আসে না এবং এটি আপনাকে কয়েকটি দ্বি-কোবিট গেট সংরক্ষণ করে!

এছাড়াও, লক্ষ করুন যে দুটি টফোলি গেটগুলি কেবল টফোলি কারণ তারা 0 টি রাষ্ট্রকে লক্ষ্য করে। সাধারণত আপনার একটি অতিরিক্ত দ্বি-কোবিট গেটের প্রয়োজন হবে।

আমি যদিও এই, বিদ্যমান সাহিত্যে দক্ষ নির্মান না পাওয়া করেছি কাগজ মাত্র 11 2-qubit দরজা ব্যবহার করে একটি নির্মাণ দাবি করে, কিন্তু একবার এটা প্রশ্ন সীমাবদ্ধ গেট সেট রূপান্তরিত আমি সম্পূর্ণ গেট গণনা করেনি।

Comments

আপনি মনে করেন যে আপনি এইচটিএমএস ছাড়ছেন না। সার্কিটের নীচের অর্ধেক - তবে আমি এটি সম্পর্কে খুব কঠিন চিন্তা করিনি;)

— নরবার্ট শুচ

আমি অ্যাসিলাকে অসম্পূর্ণ করলাম, এটিতে অপ্রাসঙ্গিক একক কুইট ঘূর্ণন ছাড়াও। এটিই শেষ টফোলি করে। আমি মনে করি টফোলিটি উল্টো কমাতে থাকা উচিত যেহেতু এটিতে 1 টি গেটটি অনুপস্থিত।

— দাফটওয়ুলি

আপনি কি নিশ্চিত যে প্রথম ব্লকটি একটি টফোলি - বা এটি কেবলমাত্র আনসিলায় একটি টফোলি? (আমার মনে আছে টফোলির পক্ষে সেরাটি প্রায় 8 টি সিএনটি ছিল)

— নরবার্ট শোচ

আমি মনে করি আপনি মাঝের ব্লকের শীর্ষ দুটি কুইবিটে সিএস ফেজ সংশোধন মিস করছেন। পাশের প্রতিটি ব্লক থেকে আপনার বামতম সিজেডটি ফেলে দিতে সক্ষম হওয়া উচিত।

— ক্রেগ গিডনি

আমি মঙ্গলবার সাবধানে পরীক্ষা করব। আমি ভেবেছিলাম এই সূত্রটি সিএস এড়িয়ে চলে।

— দাফটওয়ুলি

Answer 6

যদিও আমার অন্য উত্তরটি সর্বাধিক সুস্পষ্ট "পাঠ্যপুস্তক" উপায় ( সিলসিএনওটিগুলিতে নিলসন এবং চ্যাংয়ের সিসিসিজেড পঁচন ব্যবহার করে , তারপরে সিসিএনওটিগুলি সংকলনের জন্য অন্য পাঠ্যপুস্তকের ক্ষয় ), আরও সৃজনশীল উপায় আমাদের কম গেট দিয়ে কাজটি সজ্জিত করার অনুমতি দিতে পারে।

ধাপ 1:

এই গ্যাজেটটি দিয়ে নীলসন এবং চুয়াংয়ের সার্কিটের সমস্ত সিএনওটি প্রতিস্থাপন করুন:

ধাপ ২:

এখন আমাদের কাছে সিসিএনওটিগুলির পরিবর্তে একগুচ্ছ সিসিজেড রয়েছে এবং সেগুলি এইভাবে পচে যেতে পারে ( এই কাগজের সৌজন্যে ):

ধাপ 3:

মনে রাখবেন যে $H^2 = I$, সুতরাং এর মধ্যে কিছু হাদামার্ডস একে অপরকে বাতিল করে দেয় এবং আমরা আরও হ্রাস পেতে পারি :)

Comments

গেটের গণনা কী?

— নরবার্ট শোচ