যেখানে নিয়ন্ত্রণ ও টার্গেট কিউবিটস সংলগ্ন নয় এমন 3-কিউবিট সিস্টেমের জন্য সিএনওটি ম্যাট্রিক্স কীভাবে পাবেন?

একটি ত্রি-কিউবিট সিস্টেমে যখন নিয়ন্ত্রণ ও টার্গেট কিউবিটগুলি তাত্পর্যপূর্ণভাবে সংযুক্ত থাকে তখন সিএনওটি অপারেটরটি অর্জন করা সহজ - আপনি কেবল অদ্বিতীয় কিউবিটির অবস্থানের পরিচয় ম্যাট্রিক্স সহ 2-বিট সিএনওটি অপারেটরটি সেন্সর করুন:

$C_{10}|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle = (\mathbb{I}_2 \otimes C_{10})|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle$

তবে নিয়ন্ত্রণ এবং টার্গেট কিউবিটগুলি তাত্পর্যপূর্ণ না থাকলে কীভাবে সিএনওটি অপারেটরটি আনা যায় তা স্পষ্ট নয় :

$C_{20}|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle$

এটি কিভাবে হয়?

quantum-gate gate-synthesis

— ahelwer
সূত্র

এই প্রশ্নোত্তরটি দেখুন: কোয়ান্টামকমপুটিং.স্ট্যাকেক্সেঞ্জিং

— মার্টিন

উত্তর:

প্রথম নীতিগুলি উপস্থাপনার জন্য, আমি রায়ান ও'ডনেলের উত্তর পছন্দ করি । তবে কিছুটা উচ্চ স্তরের বীজগণিত চিকিত্সার জন্য, আমি কীভাবে এটি করব তা এখানে।

যে কোনও ইউনিটারি জন্য নিয়ন্ত্রিত- অপারেশনের মূল বৈশিষ্ট্যটি হ'ল এটি (সুসংহতভাবে) কিছু একক কুইটের মানের উপর নির্ভর করে কিছু কুইবিটের উপর একটি অপারেশন করে। আমরা যেভাবে এটি স্পষ্টভাবে বীজগণিতভাবে লিখতে পারি (প্রথম কোয়েটের নিয়ন্ত্রণের সাথে): যেখানে হ'ল মতো মাত্রার একটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স । এখানে, এবং the রাজ্যের প্রজেক্টর এবং onto $U$ $U$

C U = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1 + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U

$\mathit{CU} \;=\; \def\ket#1{\lvert #1 \rangle}\def\bra#1{\langle #1 \rvert}\ket{0}\!\bra{0} \!\otimes\! \mathbf 1 \,+\, \ket{1}\!\bra{1} \!\otimes\! U$

1

$\mathbf 1$

U

$U$

| 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\ket{0}\!\bra{0}$

| 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\ket{1}\!\bra{1}$

| 0 ⟩

$\ket{0}$

| 1 ⟩

$\ket{1}$ নিয়ন্ত্রণ কোয়েট - তবে আমরা সেগুলি এখানে পরিমাপের উপাদান হিসাবে ব্যবহার করছি না, তবে প্রথম কুইটটির রাজ্য-স্থানের এক বা অন্য উপ-স্থানের উপর নির্ভর করে অন্যান্য কুইটগুলির উপর প্রভাব বর্ণনা করতে।

আমরা একে গেট the গেটের জন্য ম্যাট্রিক্স আহরণ করতে ব্যবহার করতে পারি, যা নিয়ন্ত্রিত- হিসাবে ভেবে, 1 কুইবিট রাজ্যে সুসংহতভাবে 1 শর্তে শর্তাধীন, একটি অপারেশন করে forms qubits 2 এবং 3 অপারেশন: $\mathit{CX}_{1,3}$ $X$ $(\mathbf 1_2 \!\otimes\! X)$

\begin{aligned} {C X}_{1, 3} & = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1_{4} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes (1_{2} \otimes X) \\ = [\begin{matrix} 1_{4} & 0_{4} \\ 0_{4} & (1_{2} \otimes X) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1_{2} & 0_{2} & 0_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 1_{2} & 0_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 0_{2} & X & 0_{2} \\ 0_{2} & 0_{2} & 0_{2} & X \end{matrix}], \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathit{CX}_{1,3} \;&=\; \ket{0}\!\bra{0} \otimes \mathbf 1_4 \,+\, \ket{1}\!\bra{1} \otimes (\mathbf 1_2 \otimes X) \\[1ex]&=\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_4 & \mathbf 0_4 \\ \mathbf 0_4 & (\mathbf 1_2 \!\otimes\! X) \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & X & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & X \end{bmatrix}, \end{aligned}$ যেখানে পরের দুটি স্থানের (এবং বিগ্রহ) সংরক্ষণ করার জন্য ব্লক ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা।

আরও ভাল: আমরা এটি সনাক্ত করতে পারি - এমন কিছু গাণিতিক স্তরে যেখানে আমরা নিজেকে উপলব্ধি করতে পারি যে টেনসরের কারণগুলির ক্রমটি কিছু নির্দিষ্ট ক্রমে থাকা উচিত নয় - অপারেশনটির নিয়ন্ত্রণ এবং লক্ষ্য কোনও দুটি টেনসারের উপর থাকতে পারে কারণগুলি এবং আমরা দিয়ে অন্যান্য অপারেটরের বিবরণ পূরণ করতে । এটি আমাদের উপস্থাপনের জন্য সরাসরি লাফ দিতে অনুমতি দেবে $\mathbf 1_2$

\begin{aligned} {C X}_{1, 3} & = & \underset{control}{\underset{⏟}{| 0 ⟩ ⟨ 0 |}} \otimes \underset{uninvolved}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{target}{\underset{⏟}{1_{2}}} & + \underset{control}{\underset{⏟}{| 1 ⟩ ⟨ 1 |}} \otimes \underset{uninvolved}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{target}{\underset{⏟}{X}} \\ = & [\begin{matrix} 1_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 1_{2} \end{matrix}] & + [\begin{matrix} X & 0_{2} \\ 0_{2} & X \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{alignat}{2} \mathit{CX}_{1,3} \;&=&\; \underbrace{\ket{0}\!\bra{0}}_{\text{control}} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} &+\, \underbrace{\ket{1}\!\bra{1}}_{\text{control}} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\; X\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \\[1ex]&=&\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 1_2 & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \end{bmatrix} \,&+\, \begin{bmatrix} \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & X & \mathbf 0_2 \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & {\mathbf 0_2} & X \end{bmatrix} \end{alignat}$ এবং নিয়ন্ত্রণ এবং লক্ষ্যগুলির ভূমিকাগুলি বিপরীত হলে কী করতে হবে তা আমাদের তাৎক্ষণিকভাবে দেখতে দেয়:

\begin{aligned} {C X}_{3, 1} & = & \underset{target}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{uninvolved}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{control}{\underset{⏟}{| 0 ⟩ ⟨ 0 |}} & + \underset{target}{\underset{⏟}{X}} \otimes \underset{uninvolved}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{control}{\underset{⏟}{| 1 ⟩ ⟨ 1 |}} \\ = & [\begin{matrix} | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{matrix}] & + [\begin{matrix} | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] . \end{aligned}

$\begin{alignat}{2} \mathit{CX}_{3,1} \;&=&\; \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\ket{0}\!\bra{0}}_{\text{control}} \,&+\, \underbrace{\;X\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\ket{1}\!\bra{1}}_{\text{control}} \\[1ex]&=&\; {\scriptstyle\begin{bmatrix} \!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & & & \\ & \!\!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & & \\ & & \!\!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & \\ & & & \!\!\ket{0}\!\bra{0} \end{bmatrix}} \,&+\, {\scriptstyle\begin{bmatrix} & & \!\!\ket{1}\!\bra{1}\!\! & \\ & & & \!\!\ket{1}\!\bra{1} \\ \!\ket{1}\!\bra{1}\!\! & & & \\ & \!\!\ket{1}\!\bra{1} & & \end{bmatrix}} \\[1ex]&=&\; \left[{\scriptstyle\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}}\right.\,\,&\,\,\left.{\scriptstyle\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}}\right]. \end{alignat}$ তবে সর্বোপরি: আপনি যদি এই অপারেটরগুলি বীজগণিতভাবে লিখতে পারেন তবে আপনি এই অপারেটরদের বীজগণিতভাবে মত এক্সপ্রেশন ব্যবহার করে যুক্তি দিয়ে যুক্তি দিয়ে পুরোপুরি জায়ান্ট ম্যাট্রিক্সের সাথে বিতরণের দিকে প্রথম পদক্ষেপ নিতে পারেন এবং

{C X}_{1, 3} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1_{2} \otimes 1_{2} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes 1_{2} \otimes X

$\mathit{CX}_{1,3} = \ket{0}\!\bra{0} \! \otimes\!\mathbf 1_2\! \otimes\! \mathbf 1_2 + \ket{1}\!\bra{1} \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes\! X$

{C X}_{3, 1} = 1_{2} \otimes 1_{2} \otimes | 0 ⟩ ⟨ 0 | + X \otimes 1_{2} \otimes | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\mathit{CX}_{3,1} = \mathbf 1_2 \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes \! \ket{0}\!\bra{0} + X \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes \! \ket{1}\!\bra{1}$ । এগুলি দিয়ে আপনি কতটা করতে পারবেন তার সীমা থাকবে, অবশ্যই - উপস্থাপনায় একটি সাধারণ পরিবর্তন একটি কঠিন কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমকে দক্ষতার সাথে সমাধানযোগ্য করে তোলা সম্ভব নয়, ম্যানুয়াল গণনা দ্বারা ট্র্যাকটেবলকে একা ছেড়ে দিন - তবে আপনি সাধারণ সার্কিট সম্পর্কে আরও কার্যকরভাবে যুক্তি করতে পারেন দৈত্য স্থান খাওয়ার ম্যাট্রিক্সের চেয়ে এই এক্সপ্রেশনগুলি ব্যবহার করে।

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

হ্যাঁ, আমি প্রথম থেকেই মের্মিন বইয়ের প্রজেক্টরকে স্মরণ করি। প্রজেক্টর এবং ম্যাট্রিক্স সংযোজন ম্যাট্রিক্সে শর্তযুক্ত লজিককে এনকোড করার একটি উপায়!

— এইহেলওয়ার

"প্রতিনিধিত্বের একটি সাধারণ পরিবর্তন একটি কঠিন কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম দক্ষতার সাথে সমাধানযোগ্য" এর সম্ভাবনা নেই - উইক রোটেশনের ক্ষেত্রে কী হবে?

— মেওজজ

@ মওজেজ: প্রতি একবারে একবারে, স্বরলিপিতে এমন পরিবর্তন আপনাকে একটি ধারণাগত অগ্রগতি করতে দেয় এবং সমস্যাগুলি আরও সহজে সমাধান করতে সহায়তা করে। তবে প্রায়শই নয়, এবং সম্ভবত এই নির্দিষ্ট স্বরলিপি পরিবর্তনের ক্ষেত্রেও নয়, যা যুক্তিযুক্তভাবে সুপরিচিত। উইকের ঘূর্ণনের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, তবে আমি যে প্রশ্নটি করব তা হ'ল সমস্যাগুলি সমাধান করা কোন নির্দিষ্ট অগ্রগতিটি সম্ভব করেছিল এবং কোন সমস্যার জন্য এটি সহায়ক ছিল।

— নিল দে বৌদ্রাপ

এটা একটা ভালো প্রশ্ন; এটি এমন একটি যা পাঠ্যপুস্তকগুলি চারপাশে লুকিয়ে আছে বলে মনে হচ্ছে। কয়েক দিন আগে কোয়ান্টাম কম্পিউটিং লেকচার তৈরি করার সময় আমি এই সঠিক প্রশ্নের কাছে পৌঁছেছি।

যতদূর আমি বলতে পারি ক্রোনেকার পণ্য ম্যাট্রিক্সের জন্য স্বরলিপি ব্যবহার করে কাঙ্ক্ষিত 8x8 ম্যাট্রিক্স পাওয়ার কোনও উপায় নেই । আপনি যা বলতে পারেন তা হ'ল: নিয়ন্ত্রণটি প্রথম এবং লক্ষ্যটি তৃতীয় হওয়ার সাথে তিনটি ক্যুইটে সিএনওটি প্রয়োগের আপনার ক্রিয়াকলাপের নিম্নলিখিত প্রভাব রয়েছে: $\otimes$

$\lvert 000\rangle \mapsto \lvert 000\rangle$

$\lvert 001\rangle \mapsto \lvert 001\rangle$

$\lvert 010\rangle \mapsto \lvert 010\rangle$

$\lvert 011\rangle \mapsto \lvert 011\rangle$

$\lvert 100\rangle \mapsto \lvert 101\rangle$

$\lvert 101\rangle \mapsto \lvert 100\rangle$

$\lvert 110 \rangle \mapsto \lvert 111 \rangle$

$\lvert 111 \rangle \mapsto \lvert 110 \rangle$

এবং তাই এটি নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স দ্বারা দেওয়া হয়েছে:

$U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

এই ম্যাট্রিক্স আসলেই বা । এর জন্য কোনও সাসিনেক্ট ক্রোনেকার-পণ্য ভিত্তিক স্বীকৃতি নেই; এটা ঠিক এটি কি। $U$ $I_2 \otimes \mathrm{CNOT}$ $\mathrm{CNOT} \otimes I_2$

— রায়ান ও'ডনেল
সূত্র

সাধারণ ধারণা হিসাবে সিএনওটি নিয়ন্ত্রণের উপর ভিত্তি করে লক্ষ্যগুলি উল্টায়। আমি যদি লক্ষ্যটি তবে লক্ষ্যটিকে সরিয়ে ফেলতে বেছে নিই , আপনি এটিও বেছে নিতে পারেন । সুতরাং যেকোন সাধারণ । এখন আপনি আপনার নিয়ন্ত্রণ এবং টার্গেট নির্বাচন করুন, দেয় বলে নিয়ন্ত্রণ এবং লক্ষ্য। রেঙ্গেলটিতে CNOT প্রয়োগ করা কেবলমাত্র $\uparrow (= [1\ 0]^T)$ $\downarrow (= [0\ 1]^T)$ $|\phi\rangle=|\uparrow_1\downarrow_2\downarrow_3....\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle$ $i'th$ $k'th$ $|\phi\rangle$

C N O T | ϕ ⟩ = C N O T | ↑_{1} ↓_{2} . . . ↑_{i} . . . ↑_{k} . . . ↑_{n - 1} ↓_{n} ⟩ = | ↑_{1} ↓_{2} . . . ↑_{i} . . . ↓_{k} . . . ↑_{n - 1} ↓_{n} ⟩

$\begin{equation} CNOT|\phi\rangle=CNOT|\uparrow_1\downarrow_2...\uparrow_i...\uparrow_k...\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle= |\uparrow_1\downarrow_2...\uparrow_i...\downarrow_k...\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle \end{equation}$

যেমন CNOT গেট ম্যাট্রিক্স গঠন করা আমরা প্রয়োগ ( -Pauli ম্যাট্রিক্স) যদি রাষ্ট্র আপ এবং আমরা আবেদন ( পরিচয়পত্র) যদি রাষ্ট্র ডাউন। আমরা এই ম্যাট্রিকগুলি অবস্থান থেকে প্রয়োগ করি , যা আমাদের লক্ষ্য which গাণিতিকভাবে, $\sigma_x$ $x$ $i'th$ $I$ $2\times2$ $i'th$ $k'th$

C N O T = [| ↑_{1} . . . ↑_{i} . . . ↑_{k - 1} ⟩ ⟨ ↑_{1} . . . ↑_{i} . . . ↑_{k - 1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{k + 1} . . . ↑_{n} ⟩ ⟨ ↑_{k + 1} . . . ↑_{n} | + a l l p e r m u t a t i o n s o f s t a t e s o t h e r t h e n i^{'} t h] + [| ↑_{1} . . . ↓_{i} . . . ↑_{k - 1} ⟩ ⟨ ↑_{1} . . . ↓_{i} . . . ↑_{k - 1} | \otimes I \otimes | ↑_{k + 1} . . . ↑_{n} ⟩ ⟨ ↑_{k + 1} . . . ↑_{n} | + a l l p e r m u t a t i o n s o f s t a t e s o t h e r t h e n i^{'} t h]

$\begin{equation} CNOT = \Big[|\uparrow_1...\uparrow_i...\uparrow_{k-1}\rangle\langle\uparrow_1...\uparrow_i...\uparrow_{k-1}|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_{k+1}...\uparrow_n\rangle\langle\uparrow_{k+1}...\uparrow_n| + all\ permutations\ of\ states\ other\ then\ i'th\Big] + \Big[|\uparrow_1...\downarrow_i...\uparrow_{k-1}\rangle\langle\uparrow_1...\downarrow_i...\uparrow_{k-1}|\otimes I\otimes|\uparrow_{k+1}...\uparrow_n\rangle\langle\uparrow_{k+1}...\uparrow_n| + all\ permutations\ of\ states\ other\ then\ i'th\Big] \end{equation}$

নোট স্টেট (টার্গেট) বাদ দেওয়া হয়েছে ম্যাট্রিক্স তৈরি করার সময় এবং অবস্থানে অপারেটর বা লেখা আছে। $k'th$ $k'th$ $\sigma_x$ $I$

পাঁচটি কুইটগুলির একটি উদাহরণ নিন যাতে কুইবিট লক্ষ্য এবং নিয়ন্ত্রণ হয় ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে । আমি গ্রহণ করি, যদি নিয়ন্ত্রণ হয় তবে লক্ষ্যটি ফ্লিপ করুন। আপনি তদ্বিপরীতও নিতে পারেন। $2^{nd}$ $4^{th}$ $CNOT$ $\uparrow$

\begin{aligned} C N O T & = | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes I \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes I \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes I \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes I \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes I \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes I \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes I \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes I \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \end{aligned}

$\begin{align} CNOT & = |\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5| \end{align}$

— জিতেন্দ্র
সূত্র

-2

প্রথমে CNOT⊗𝐼2 ম্যাট্রিক্স লিখুন, তারপরে ম্যাট্লাবের সাথে সূচি 2 এবং সূচি 3 এর ক্রম পরিবর্তন করুন। এইভাবে, আপনি যে কোনও সংখ্যাতে কুইবাট করতে পারেন।

— zhide লু
সূত্র

ওহে! আপনার উত্তরটি আরও পরিষ্কার করতে আপনি প্রসারিত করতে পারেন? সম্ভবত একটি উদাহরণ সাহায্য করবে :)

— met927