ক্লিফোর্ড সার্কিটের স্ট্যাবিলাইজার টেবিলের বিপরীতমুখী হওয়ার জন্য কি কোনও সাধারণ নিয়ম আছে?

ইন স্টেবিলাইজার সার্কিট উন্নত সিমুলেশন Aaronson এবং Gottesman দ্বারা যে, তা কিভাবে একটি টেবিল বর্ণনা যা পাউলি টেন্সর পণ্য এক্স এবং Z প্রতিটি qubit এর পর্যবেক্ষণযোগ্য হিসাবে একটি ক্লিফোর্ড বর্তনী তাদের ওপর কাজ করে ম্যাপ পেতে গনা ব্যাখ্যা করা হয়।

ক্লিফোর্ড সার্কিটের উদাহরণ হিসাবে এখানে:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

এবং টেবিলটি বর্ণনা করে যে এটি প্রতিটি কুইবিটের এক্স এবং জেড পর্যবেক্ষণে কীভাবে কাজ করে:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

সারণীর প্রতিটি কলাম বর্ণনা করে যে সার্কিটটি কীভাবে প্রতিটি পর্যবেক্ষণের এক্স পর্যবেক্ষণযোগ্য (কলামের বাম অর্ধেক) এবং জেড পর্যবেক্ষণযোগ্য (কলামের ডান অর্ধেক) উপর কাজ করে। উদাহরণস্বরূপ, 3 কলামের বাম দিকটি হ'ল জেড, জেড, _, এক্স যার অর্থ একটি এক্স 3 অপারেশন (সার্কিটের ডানদিকে পাউলি এক্স) বাম হাতের জেড 1 * জেড 2 * এক্স 4 অপারেশনের সমতুল্য সার্কিটের পাশ 'সাইন' সারিটি পণ্যের চিহ্নটি নির্দেশ করে, যা আপনি যদি কোনও পরিমাপ অনুকরণ করতে যাচ্ছেন তবে এটি গুরুত্বপূর্ণ (ফলাফলটি উল্টাতে হবে কিনা তা আপনাকে জানায়)।

আপনি একটি সার্কিটের বিপরীতের জন্য সারণীটিও গণনা করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ আমি যে উদাহরণটি দিয়েছি, বিপরীতমুখী টেবিলটি হ'ল:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

আপনি যদি তাদের সারি এবং কলামগুলি স্থানান্তর করেন তবে টেবিলগুলি প্রায় একই দেখায় । তবে এন্ট্রিগুলি হুবহু একরকম নয়। ট্রান্সপোসিংয়ের পাশাপাশি, আপনাকে অক্ষরগুলি বিটগুলিতে এনকোড করতে হবে ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11) তারপরে মাঝারি বিটগুলি পরে ডিকোড করুন। উদাহরণস্বরূপ, জেডজেড 1010 এ এনকোড করে যা 1100 এ অদলবদল করে যা Y_ তে ডিকোড হয়।

আমার কাছে প্রশ্নটি হল: বিপরীত টেবিলের লক্ষণগুলি গণনা করার জন্য কি কোনও সাধারণ নিয়ম আছে?

বর্তমানে আমি এই টেবিলগুলিকে সার্কিটগুলিতে দ্রবীভূত করে, সার্কিটগুলি উল্টিয়ে, তারপরে এগুলি আবার একক করে গুণাচ্ছি। এটি স্থানান্তর + প্রতিস্থাপনের তুলনায় অত্যন্ত অদক্ষ, তবে আমি যদি ট্রান্সপোজ + রিপ্লেস ব্যবহার করতে চাই তবে আমার একটি সাইন রুল দরকার।

pauli-gates clifford-group

— ক্রেগ গিডনি
সূত্র

প্রশ্নটি পরিষ্কার করতে: ক্লিফোর্ড সার্কিটটি হতে দিন

U

$U$ । তারপরে

j

$j$ 'ম কলাম দেয়

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$ এবং

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$ ব্যবহৃত বাম বা ডান অর্ধেকের উপর নির্ভর করে। এবং আপনি চান

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$ এবং

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$ পরিবর্তে এই তথ্য থেকে।

— এহুসাইন

পছন্দ

— ক্রেগ গিডনি

প্রশ্নটি পরিষ্কার করতে: আপনার ক্লিফোর্ড সার্কিটের @ গুলি কী বোঝায়?

— জোসু এটক্সিজারেটে মার্টিনেজ

পুনঃটুইট করেছেন যখন দুটি সংযুক্ত থাকে, এটি একটি সিজেড গেট। @ একটি এক্স এর সাথে যুক্ত একটি নিয়ন্ত্রিত-এক্স- @ ওয়াইয়ের সাথে সংযুক্ত একটি নিয়ন্ত্রিত-ওয়াই।

— ক্রেগ গিডনি

উত্তর:

অ্যারোনসন (এবং গোটসম্যান) এর ঝকঝকে উপস্থাপনের খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত প্রতিনিধিত্ব রয়েছে , যা কেবল কুইবিটসের জন্যই নয়, স্বেচ্ছাসেবী সীমাবদ্ধতার চৌম্বকগুলির জন্যও কাজ করে, যা বিশুদ্ধভাবে ক্লিফোর্ড সার্কিটের ( যেমন এক টার্মিনাল পরিমাপের জন্য) বিশেষত ভাল কাজ করে ।

এই বিকল্প উপস্থাপনে, একের টেবিলে বর্ণনা রয়েছে যে সিঙ্গল-কুইবিট এক্স এবং জেড অপারেটরগুলি সাধারণ উপস্থাপনার মতো ফেজ তথ্য সহ কীভাবে রূপান্তরিত করে। কলামগুলি মাল্টি-কুইট ওয়েল অপারেটরগুলিকে বিশেষত বর্ণনা করে, যা পাওলি অপারেটরগুলির একটি বিশেষ উপসেট। এটি করার সুবিধাটি হ'ল যে ঝিল্লিটি কেবল সহগের একটি অ্যারে নয়, তবে ভেক্টরগুলিতে একটি প্রকৃত রৈখিক অপারেটর যা ওয়েল অপারেটর এবং পর্যায়গুলি উপস্থাপন করে।

একটি ছোট ক্যাচ আছে। কুইবিটের জন্য, এই ভেক্টরগুলির সহগ আছে যা ইডিজেচার মডুলো 4 (ওয়েল অপারেটরদের দ্বারা নন-তুচ্ছ সিঙ্গল-কুইট পাওলি অপারেটরের একটি ডাবল কভারের সাথে সম্পর্কিত), পরিবর্তে মডুলো ২। আমি মনে করি এটি প্রদানের জন্য একটি ছোট দাম - যদিও আমি এটি আমার নিজের ফলাফল হিসাবে কিছুটা পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে [ আরএক্সিব: 1102.3354 ]। যাইহোক, এটি কিছুটা 'স্বাভাবিকভাবেই ঘটে' উপস্থাপনা বলে মনে হয়: অ্যাপলবি কিছুটা আগে সিঙ্গেল-কুইট বা চতুর্দিকে বিশেষ কেসটি বিকাশ করেছিলেন [ আরএক্সিব: কোয়ান্ট-পিএইচ / 0412001 ] (এমন কিছু যা আমি সত্যিই দুটি বছর ব্যয় করার আগে জানতাম অগত্যা একই কনভেনশনগুলি পুনরায় তৈরি করা)।

এই ধরনের উপস্থাপনা ব্যবহার করে, 'ঝালর' $M_C$ ক্লিফোর্ড সার্কিটের $C$ এখন একটি আসল ম্যাট্রিক্স (এবং একটি বিবর্তনযোগ্য) যা ভেক্টরকে রূপান্তর করে, বিপরীত সার্কিটের জন্য ঝালর $C^{\dagger}$ তাহলে বিপরীত হয় $M_C^{-1}$ ঝকঝকে। সুতরাং, অন্তত নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত উপস্থাপনের জন্য, বিপরীত সার্কিটের জন্য ঝকঝকে গণনার নিয়মটি সহজ।

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

ওয়েল অপারেটরদের বর্ণনা করে আপনি কী স্লাইড বা বক্তৃতা নোটগুলিতে লিঙ্ক করতে পারবেন?

— ক্রেগ গিডনি 21

পণ্য ভেক্টর ট্র্যাক করার সময় এটি কি কোনও উপায়ে "পাউলি বেস" {আই, এক্স, ওয়াই, জেড rep "কোয়ার্টেরিয়ন বেস" "আই, আইএক্স, আইওয়াই, আইজেড rep প্রতিস্থাপনের সাথে সম্পর্কিত?

— ক্রেগ গিডনি 21

সম্ভবত যখন qubits বিষয়ে কথা, মূল কাগজ এই হল এক

— DaftWullie

আমি ওয়েল অপারেটরদের সম্পর্কে কিছু ভাল স্লাইডগুলি সন্ধান করার চেষ্টা করব (তাদের সম্পর্কে আমার নিজের কাছে তেমন কোন গুরুত্ব নেই)। এন-কোয়েট ক্ষেত্রে, তারা অপারেটর

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$ দুটি ভেক্টর জন্য

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$ । এই সংজ্ঞার জন্য অনুপ্রেরণা সংক্ষেপণ পি। আমার লিঙ্কযুক্ত নিবন্ধের 2 টি, যা লেমমা 4 এর দিকে পরিচালিত করে This এটি স্টেবাইজার গ্রুপগুলির সাথে যুক্ত মোড 4 (এবং ক্লিফোর্ড সার্কিটগুলি করার সময় লিনিয়ার বীজগণিতের Mod 4) ছাড়া আর কিছু ব্যবহার করার পক্ষে যুক্তি দেয়,

— নিল দে বিউড্রাপ

@ ড্যাফটওয়ুলি: না, [ আরএক্সিব: কোয়ান্ট-পিএইচ / 9608006 ] কঠোরভাবে পৃথক। তারা মোড 2 ভেক্টর দ্বারা এক্স এবং জেডের শক্তি সূচক করে (একা .2 এর আগের পাঠ্যটি দেখুন), যা জিএফ (4) এর সংযোজনীয় গ্রুপ কাঠামোতে প্রতিফলিত হয়। P.8-তে সংক্ষিপ্ত রূপান্তর সম্পর্কে তাদের পর্যবেক্ষণগুলি পাওলি গ্রুপের মডুলো পর্যায়ের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। আপেলবি এবং আমি দাবি করি না যে পাউলি গ্রুপের পক্ষে কবিটসে প্রথম অভিনব প্রতিনিধিত্ব আছে: মূল বিষয়টি হ'ল আমাদের প্রতিনিধিত্ব আরও নিখুঁতভাবে পর্যায়ক্রমে ট্র্যাক করে। এটি কিউইসিসি আবিষ্কারের জন্য কম গুরুত্বপূর্ণ তবে রাজ্যগুলি অনুকরণ করার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

— নিল দে বিউড্রাপ

আরোনসন এবং গোটসম্যানের কৌশলগুলি আরও কিছুটা স্পষ্টভাবে আঁকতে: আপনি প্রতিটি স্ট্যাবিলাইজারকে দৈর্ঘ্যের কিছুটা স্ট্রিং হিসাবে সেট আপ করতে পারেন $2N$ (জন্য $N$ qubits)। প্রথম $N$ বিটগুলি জেড অপারেটরগুলির অবস্থান এবং দ্বিতীয় সেটটি নির্দিষ্ট করে $N$ এর অবস্থান নির্দিষ্ট করুন $X$ অপারেটর (তাই, $X_1Z_2$ জন্য $N=2$ 0110)। চারটি ক্যুইটে আপনার সার্কিটের জন্য, ক্লিফোর্ড সার্কিটের কারণে রূপান্তরকরণ (কিছু পর্যায় পর্যন্ত) তারপরে একটি দ্বারা দেওয়া হবে $8\times 8$ ম্যাট্রিক্স। আমরা এটিকে একটি ব্লক ম্যাট্রিক্স হিসাবে ভাবতে পারি

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ যেখানে প্রতিটি ব্লক

N \times N

$N\times N$ । স্ট্যাবিলাইজাররা যাতায়াত করার বিষয়টি দ্বারা আমরা এটি জানি

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$ আপনি বিপরীতটি সন্ধান করতে চান

M

$M$ মডুলো ২.আপনার বিযুক্তির দাবি করা ফর্মটি তখন ফর্মের (আমার মনে হয়)

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$ যা আকর্ষণীয়ভাবে একটি এর বিপরীত স্মরণ করিয়ে দেয়

2 \times 2

$2\times 2$ ম্যাট্রিক্স (তবে এটি ব্লক ম্যাট্রিক্সের জন্য যথেষ্ট নয় a একটি ব্লক-ভিত্তিক বিপরীত কিন্তু এটি এখানে এতটা সহায়ক নয়, আমি মনে করি)।

এই জগাখিচুড়ি অবশ্যই পর্যায়ক্রমে নজর রাখা থেকে আসে। আমার ধারণা, প্রতিটি স্ট্যাবিলাইজারে ওয়াই অপারেটরগুলির পরিবর্তনের সাথে লক্ষণগুলি সম্পর্কিত হবে, তবে আমি একীভূত চিকিত্সায় সফল হতে পারি নি। নীলের উত্তর সম্ভবত এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে যত্ন নেওয়ার আরও ভাল কাজ করে।

— DaftWullie
সূত্র