এখানে কয়েকটি সম্মেলন এবং স্বজ্ঞাততা রয়েছে, যা সম্ভবত এটি বানানটিতে সহায়তা করবে -
Sign 0,1} বিট বনাম সাইন বিটস
প্রথম পদক্ষেপটি যা কখনও কখনও 'গ্রেট নোটেশনাল শিফট' নামে পরিচিত তাকে তৈরি করা এবং বিটগুলি (এমনকি ধ্রুপদী বিট) চিহ্নকে এনকোড করা হিসাবে ভাবা হয়। বিট স্ট্রিংগুলির অংশগুলি যা আপনি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই আগ্রহী তা যদি করা যায় তবে এটি করার জন্য উত্পাদনশীল কারণ বিট-ফ্লপ এবং সাইন-ফ্লিপগুলি মূলত একইভাবে কাজ করে। আমরা 0↦+1 এবং 1↦−1 ম্যাপ করি , যাতে উদাহরণস্বরূপ বিটের ক্রম (0,0,1,0,1) চিহ্নগুলির ক্রম ( + 1 , + 1 ) দ্বারা উপস্থাপিত হয়(+1,+1,−1,+1,−1) ।
বিটের ক্রমের অংশগুলি তখন চিহ্নগুলির ক্রমগুলির সাথে মিলিত হয়। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, শুধু আমরা স্বীকার করবে 0⊕0⊕1⊕0⊕1=0 একটি সমতা গণনার হিসাবে, আমরা স্বীকৃতি জানাতে পারেন (+1)⋅(+1)⋅(−1)⋅(+1)⋅(−1)=+1 সাইন কনভেনশন ব্যবহার করে একই সমতা গণনা উপস্থাপন হিসাবে ।
ব্যায়াম।(−1,−1,+1,−1) এবং (+1,−1,+1,+1) এর 'সমতা' গণনা করুন । এগুলি কি একই রকম?
সাইন বিট ব্যবহার প্যারিটি চেক
{0,1} -বিট কনভেনশন ইন, সমতা চেক যাতে আমরা রৈখিক রূপান্তরের যেমন জটিল সমতা কম্পিউটেশন বুঝতে পারেন, দুই বুলিয়ান ভেক্টর একটি ডট পণ্য হিসাবে একটা চমৎকার উপস্থাপনা আছে। সাইন-বিটস-এ স্থানান্তরিত করে, আমরা একটি উল্লেখযোগ্য স্তরে লিনিয়ার বীজগণিতের সংযোগটি অনিবার্যভাবে হারিয়ে ফেলেছি , কারণ আমরা অঙ্কের পরিবর্তে পণ্য নিচ্ছি। একটি গণনার স্তরে, কারণ এটি স্বরলিপিটি কেবলমাত্র একটি পরিবর্তন, তাই আমাদের আসলে খুব বেশি চিন্তা করতে হবে না। তবে খাঁটি গাণিতিক স্তরে, প্যারিটি চেক ম্যাট্রিক্সের সাথে আমরা কী করছি সে সম্পর্কে আমাদের আবার কিছুটা ভাবতে হবে।
আমরা যখন সাইন বিট ব্যবহার করি, তখনও আমরা লক্ষণগুলি ± 1 এর পরিবর্তে 0 ও 1 এর ম্যাট্রিক্স হিসাবে 'প্যারিটি চেক ম্যাট্রিক্স' উপস্থাপন করতে পারি। কেন? একটি উত্তর হ'ল বিটগুলির সমতা যাচাইয়ের বর্ণনা দেওয়ার জন্য একটি সারি ভেক্টর বিটগুলির ক্রমগুলির চেয়ে আলাদা ধরণের: এটি ডেটাতে কোনও ফাংশন বর্ণনা করে, ডেটা নিজেই নয়। 0 এবং 1 এর অ্যারের এখন একটি আলাদা ব্যাখ্যা দরকার - সমষ্টিতে রৈখিক সহগের পরিবর্তে , তারা কোনও পণ্যতে এক্সটারের সাথে মিলে যায়। আমাদের যদি সাইন বিট থাকে (s1,s2,…,sn)∈{−1,+1}n , এবং আমরা একটি সারিতে-ভেক্টর কর্তৃক প্রদত্ত একটি সমতা চেক গনা করতে চান(b1,b2,…,bn)∈{0,1} , সমতা চেক তারপর নির্ণয় করা হয়
(s1)b1⋅(s2)b2⋅[⋯]⋅(sn)bn∈{−1,+1},
যেখানে রিকল যে s0=1 সকলের জন্য s । সঙ্গে {0,1} -bits হিসাবে, আপনি সারি মনে করতে পারেন (b1,b2,…,bn) মাত্র একটি 'মাস্ক' যা নির্ধারণ করে যা বিট প্রতিনিধিত্ব sj সমতা করার জন্য একটি অ তুচ্ছ অবদান করতে গণনার।
ব্যায়াম। ( + 1 , - 1 , - 1 , - 1 , - 1 , + 1 , - 1 ) তে সমতা পরীক্ষার ফলাফল (0,1,0,1,0,1,0) গণনা করুন ।(+1,−1,−1,−1,−1,+1,−1)
সমষ্টি হিসাবে ইগেনভ্যালু।
কারণ কেন বা আরো বিন্দু, আমরা যেভাবে যে তথ্য অ্যাক্সেস বর্ণনা করতে পারে - আমরা কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব কথায় সঙ্কেতাক্ষরে লিখা বিট করতে চান কারণ উপায় যে তথ্য কোয়ান্টাম রাজ্যের মধ্যে সংরক্ষিত হয় না। বিশেষত, আমরা স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিতে অনেক কথা বলতে পারি, তবে এটি কেন অর্থবহ তা হ'ল কারণ আমরা কোনও পর্যবেক্ষণযোগ্য পরিমাপ করে সেই তথ্যটি বের করতে পারি ।
এই পর্যবেক্ষণযোগ্য কেবল প্রজেক্টর হতে পারে |1⟩⟨1|, যেখানে|0⟩ eigenvalue 0 এবং হয়েছে|1⟩ eigenvalue 1 আছে, কিন্তু এটা প্রায়ই পাউলি ম্যাট্রিক্স পরিপ্রেক্ষিতে কিছু বর্ণনা করতে পছন্দ সহায়ক। এই ক্ষেত্রে, আমরা eigenbasis মান ভিত্তি সম্পর্কে কথা বলতে হবেZ অপারেটর, যে ক্ষেত্রে আমরা আছে|0⟩ হিসাবে +1জেড এর -eigenvectorএবং|1⟩ -1 যেমনজেড এর -eigenvector।
সুতরাং: আমাদের সাইন-বিটসের উত্থান হয়েছে (এক্ষেত্রে, ইগেনভ্যালুগুলি) একটি কুইজেটে সংরক্ষিত তথ্যের প্রতিনিধিত্ব হিসাবে। আরও ভাল, আমরা এটি এমনভাবে করতে পারি যা মানক ভিত্তির সাথে সুনির্দিষ্ট নয়: আমরা 'কনজুগেট' ভিত্তিতে সঞ্চিত তথ্য সম্পর্কে কথা বলতে পারি, কেবল রাষ্ট্রটি X আদিবাসী কিনা এবং এটির কী আঞ্চলিক মূল্য আছে তা বিবেচনা করেই আমরা কথা বলতে পারি । কিন্তু এর চেয়ে, আমরা একটি এর eigenvalues কথা বলতে পারি বহু-qubit এনকোডিং হিসাবে পাউলি অপারেটর দলগুলো একাধিক বিট - টেন্সর পণ্য Z⊗Z অ্যাক্সেস করার একটি উপায় প্রতিনিধিত্ব করে সাইন-বিট পণ্য, that is to say the parity, of two qubits in the standard basis.
In this sense, the eigenvalue of a state with respect to a multi-qubit Pauli operator — if that eigenvalue is defined (i.e. in the case that the state is an eigenvalue of the Pauli operator) — is in effect the outcome of a parity calculation of information stored in some choice of basis for each of the qubits.
Exercise. What is the parity of the state |11⟩ with respect to Z⊗Z? Does this state have a well-defined parity with respect to X⊗X?
Exercise. What is the parity of the state |+−⟩ with respect to X⊗X? Does this state have a well-defined parity with respect to Z⊗Z?
Exercise. What is the parity of |Φ+⟩=12√(|00⟩+|11⟩) with respect to Z⊗Z and X⊗X?
Stabiliser generators as parity checks.
We are now in a position to appreciate the role of stabiliser generators as being analogous to a parity check matrix.
Consider the case of the 7-qubit CSS code, with generators
Generatorg1g2g3g4g5g61XZ2XZ3XXZZTensor factors4XZ5XXZZ6XXZZ7XXXZZZ
I've omitted the identity tensor factors above, as one might sometimes omit the 0s from a {0,1} matrix, and for the same reason: in a given stabiliser operator, the identity matrix corresponds to a tensor factor which is not included in the 'mask' of qubits for which we are computing the parity. For each generator, we are only interested in those tensor factors which are being acted on somehow, because those contribute to the parity outcome.
Now, the 'codewords' (the encoded standard basis states) of the 7-qubit CSS code are given by
|0L⟩∝|1L⟩∝|0000000⟩+|0001111⟩+|0110011⟩+|0111100⟩+|1010101⟩+|1011010⟩+|1100110⟩+|1101001⟩=∑y∈C|y⟩,|1111111⟩+|1110000⟩+|1001100⟩+|1000011⟩+|0101010⟩+|0100101⟩+|0011001⟩+|0010110⟩=∑y∈C|y⊕1111111⟩,
where C is the code generated by the bit-strings 0001111, 0110011, and 1010101. Notably, these bit-strings correspond to the positions of the X operators in the generators g1, g2, and g3. While those are stabilisers of the code (and represent parity checks as I've suggested above), we can also consider their action as operators which permute the standard basis. In particular, they will permute the elements of the code C, so that the terms involved in |0L⟩ and |1L⟩ will just be shuffled around.
The generators g4, g5, and g6 above are all describing the parities of information encoded in standard basis states.
The encoded basis states you are given are superpositions of codewords drawn from a linear code, and those codewords all have even parity with respect to the parity-check matrix from that code.
As g4 through g6 just describe those same parity checks, it follows that the eigenvalue of the encoded basis states is +1 (corresponding to even parity).
This is the way in which
'with the observation about the similarities between the parity check matrix and the generator the exercise is "self evident"'
— because the stabilisers either manifestly permute the standard basis terms in the two 'codewords', or manifestly are testing parity properties which by construction the codewords will have.
Moving beyond codewords
The list of generators in the table you provide represent the first steps in a powerful technique, known as the stabiliser formalism, in which states are described using no more or less than the parity properties which are known to hold of them.
Some states, such as standard basis states, conjugate basis states, and the perfectly entangled states |Φ+⟩∝|00⟩+|11⟩ and |Ψ−⟩∝|01⟩−|10⟩ can be completely characterised by their parity properties. (The state |Φ+⟩ is the only one which is a +1-eigenvector of X⊗X and Z⊗Z; the state |Ψ−⟩ is the only one which is a −1-eigenvector of both these operators.) These are known as stabiliser states, and one can consider how they are affected by unitary transformations and measurements by tracking how the parity properties themselves transform. For instance, a state which is stabilised by X⊗X before applying a Hadamard on qubit 1, will be stabilised by Z⊗X afterwards, because (H⊗I)(X⊗X)(H⊗I)=Z⊗X.
Rather than transform the state, we transform the parity property which we know to hold of that state.
You can use this also to characterise how subspaces characterised by these parity properties will transform.
For instance, given an unknown state in the 7-qubit CSS code, I don't know enough about the state to tell you what state you will get if you apply Hadamards on all of the qubits, but I can tell you that it is stabilised by the generators g′j=(H⊗7)gj(H⊗7), which consist of
Generatorg′1g′2g′3g′4g′5g′61ZX2ZX3ZZXXTensor factors4ZX5ZZXX6ZZXX7ZZZXXX
This is just a permutation of the generators of the 7-qubit CSS code, so I can conclude that the result is also a state in that same code.
There is one thing about the stabiliser formalism which might seem mysterious at first: you aren't really dealing with information about the states that tells you anything about how they expand as superpositions of the standard basis. You're just dealing abstractly with the generators. And in fact, this is the point: you don't really want to spend your life writing out exponentially long superpositions all day, do you? What you really want are tools to allow you to reason about quantum states which require you to write things out as linear combinations as rarely as possible, because any time you write something as a linear combination, you are (a) making a lot of work for yourself, and (b) preferring some basis in a way which might prevent you from noticing some useful property which you can access using a different basis.
Still: it is sometimes useful to reason about 'encoded states' in error correcting codes — for instance, in order to see what effect an operation such as H⊗7 might have on the codespace of the 7-qubit code. What should one do instead of writing out superpositions?
The answer is to describe these states in terms of observables — in terms of parity properties — to fix those states. For instance, just as |0⟩ is the +1-eigenstate of Z, we can characterise the logical state |0L⟩ of the 7-qubit CSS code as the +1-eigenstate of
ZL=Z⊗Z⊗Z⊗Z⊗Z⊗Z⊗Z
and similarly, |1L⟩ as the −1-eigenstate of ZL.
(It is important that ZL=Z⊗7 commutes with the generators {g1,…,g6}, so that it is possible to be a +1-eigenstate of ZL at the same time as having the parity properties described by those generators.)
This also allows us to move swiftly beyond the standard basis: using the fact that X⊗7 anti commutes with Z⊗7 the same way that X anti commutes with Z, and also as X⊗7 commutes with the generators gi, we can describe |+L⟩ as being the +1-eigenstate of
XL=X⊗X⊗X⊗X⊗X⊗X⊗X,
and similarly, |−L⟩ as the −1-eigenstate of XL.
We may say that the encoded standard basis is, in particular, encoded in the parities of all of the qubits with respect to Z operators; and the encoded 'conjugate' basis is encoded in the parities of all of the qubits with respect to X operators.
By fixing a notion of encoded operators, and using this to indirectly represent encoded states, we may observe that
(H⊗7)XL(H⊗7)=ZL,(H⊗7)ZL(H⊗7)=XL,
which is the same relation as obtains between X and Z with respect to conjugation by Hadamards; which allows us to conclude that for this encoding of information in the 7-qubit CSS code, H⊗7 not only preserves the codespace but is an encoded Hadamard operation.
Thus we see that the idea of observables as a way of describing information about a quantum states in the form of sign bits — and in particular tensor products as a way of representing information about parities of bits — plays a central role in describing how the CSS code generators represent parity checks, and also in how we can describe properties of error correcting codes without reference to basis states.