আমরা কি সমান্তরাল প্রক্রিয়াগুলি চালিয়ে গ্রোভারের অ্যালগরিদমকে গতি বাড়িয়ে দিতে পারি?

Question

ক্লাসিক্যাল কম্পিউটিংয়ে, আমরা যথাসম্ভব সমান্তরাল কম্পিউটিং নোড চালিয়ে কী অনুসন্ধানটি (উদাহরণস্বরূপ এইএস) চালাতে পারি।

এটা পরিষ্কার যে আমরা অনেক গ্রোভারের অ্যালগোরিদমও চালাতে পারি।

আমার প্রশ্ন ; ক্লাসিক্যাল কম্পিউটিংয়ের মতো একাধিক গ্রোভারের অ্যালগরিদম ব্যবহার করে গতি বাড়ানো কি সম্ভব?

Answer 1

নিশ্চয়ই! আপনার কল্পনা করুন$K=2^k$ অনুসন্ধান ওরাকল এর অনুলিপি $U_S$যে আপনি ব্যবহার করতে পারেন। সাধারণত, আপনি ক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করে অনুসন্ধান করবেন

$$H^{\otimes n}(\mathbb{I}_n-2|0\rangle\langle 0|^{\otimes n})H^{\otimes n}U_S,$$ একটি প্রাথমিক অবস্থা থেকে শুরু $(H|0\rangle)^{\otimes n}$। এটি সময় লাগে$\Theta(\sqrt{N})$। (আমি ব্যাবহার করছি$\mathbb{I}_n$ বোঝাতে $2^n\times 2^n$ পরিচয় ম্যাট্রিক্স.)

আপনি এটি দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারে $2^k$ সমান্তরাল অনুলিপি, প্রতিটি দ্বারা একটি দ্বারা সূচিত $x\in\{0,1\}^k$, ব্যবহার

$$\left(\mathbb{I}_k\otimes H^{\otimes (n-k)}\right)\mathbb{I}_k\otimes(\mathbb{I}_{n-k}-2|0\rangle\langle 0|^{\otimes (n-k)})\left(\mathbb{I}_k\otimes H^{\otimes (n-k)}\right)U_S$$ এবং একটি রাষ্ট্র থেকে শুরু $|x\rangle(H|0\rangle)^{\otimes(n-k)}$ এগুলি চালানোর জন্য প্রয়োজনীয় সময়টি হ্রাস করা হবে $O(\sqrt{N/K})$, প্রয়োজন ব্যয় $K$ গুন বেশি জায়গা।

স্কেলিং অর্থে, কেউ এটিকে অপ্রাসঙ্গিক ফলাফল হিসাবে বিবেচনা করতে পারেন। আপনার যদি নির্দিষ্ট সংখ্যক ওরাকল থাকে,$K$, তারপরে আপনি একটি স্থির ($\sqrt{K}$) উন্নতি (ঠিক যেমন, আপনার যদি থাকে) $K$ সমান্তরাল ক্লাসিকাল কোর, আপনি যে সর্বোত্তম উন্নতি পেতে পারেন তা হ'ল একটি উপাদান $K$), এবং এটি স্কেলিং পরিবর্তন করে না। তবে এটি মৌলিক চলমান সময়কে বদলে দেয়। আমরা জানি গ্রোভারের অ্যালগরিদম হুবহু অনুকূল। এটি একটি একক ওরাকল দিয়ে নিখুঁত ন্যূনতম সময় নেয়। সুতরাং, আপনি একটি পেয়ে জেনে$\sqrt{K}$ সময়ের মান উন্নতি একটি নির্দিষ্ট চলমান সময়ের একটি নির্দিষ্ট মানের সেই মানদণ্ডের সাথে সম্পর্কিত $N$।

Comments

তবে আপনি যদি এটি করেন তবে শাস্ত্রীয় পারফরম্যান্সের সাথে তুলনা তার কিছু অর্থ হারিয়ে ফেলে, তাই না? সর্বোপরি, আপনি অপারেশন চালিয়ে ক্লাসিকাল অনুসন্ধানের গতিও বাড়িয়ে দিতে পারেন যা প্রদত্ত কিনা তা পরীক্ষা করে$x$সমস্ত ইনপুট সমান্তরাল লক্ষ্য। এর জন্য উপলভ্য সংস্থানগুলি সম্পর্কে স্পষ্টতই অতিরিক্ত অনুমানের প্রয়োজন, তবে একই রকম অনুমান যা আপনার যুক্তিতে তৈরি হয়েছে

— GMS

$N$ অনন্ত যায় কিন্তু $K$না. আপনার সমস্যাটি বড় হয়ে যায় তবে আপনার সংস্থানগুলি খুব কম থাকে remain

— এহুসাইন

এই উত্তরটি সঠিক (যদিও এটি ড্যাফটুলি সতর্ক করে বলে অনুকূল নয়)। এটি শাস্ত্রীয় সার্কিট জটিলতায় যেমন সমান্তরালীর দিকে মনোযোগ দেয় তেমনই। সমান্তরালতার কারণে যদি আপনি দ্রুত গতি অর্জন করতে চান তবে আপনি সার্কিটের গভীরতার দিকে তাকাবেন (কারণ একাধিক প্রক্রিয়া সমন্বয় সাধন হ্রাস পাচ্ছে না করে মোট কাজ না)। তাতেও কিছু আসে যায় না$K$ধ্রুবক --- হয় আপনি সমান্তরালকরণ থেকে গভীরতার উন্নতিতে আগ্রহী, বা আপনি নন। কোয়ান্টাম গণনার মতোই, কেবল কোনও সমস্যায় আরও বেশি কম্পিউটার নিক্ষেপ করা যাদুতে সমস্ত কিছু দ্রুততর করে না!

— নিল দে বৌদ্রাপ

Answer 2

এক অর্থে, যদি আমরা এটি বিভিন্ন নোডের সমান্তরালভাবে করছিলাম তবে আপনি দৌড়ানোর জন্য সময় সাশ্রয় করবেন। তবে যদি আমরা জটিলতার কথা বলি (এটি আমরা সাধারণভাবে স্পিডআপকেই উল্লেখ করি), আমাদের কিছুটা বিশ্লেষণ প্রয়োজন।

আপনি সম্মত হন যে আমাদের সম্পর্কে প্রয়োজন $\sqrt{N}$অ সমান্তরাল ক্ষেত্রে জন্য অপারেশন। বলুন আমাদের দুটি নোড রয়েছে এবং আমরা এন উপাদানগুলির তালিকাটিকে আকারের দুটি তালিকায় পৃথক করি$N_1,N_2$। সাব-তালিকাগুলিতে অনুসন্ধান প্রায় লাগে$\sqrt{N_1},\sqrt{N_2}$।

তবে, আমাদের তা আছে

$$\sqrt{N} = \sqrt{N_1+N_2} \le \sqrt{N_1} + \sqrt{N_2}$$

এবং আপনাকে এখনও যাচাই করতে হবে যে সমান্তরাল প্রক্রিয়াগুলি যেটি আপনাকে ফিরে আসে তার মধ্যে কোন আউটপুট ফেরত আসে। এটি জটিলতায় একটি ধ্রুবক যুক্ত করে যাতে আমরা সাধারণত এটির মধ্যে লুকিয়ে থাকি$O$ স্বরলিপি।

যাইহোক, এটি এখনও আকর্ষণীয় হবে বিশেষত যদি আমাদের ক্লাস্টার হার্ডওয়্যার করতে হয় কারণ আমরা সংখ্যা বা অন্য কোনও সীমাবদ্ধতায় সীমাবদ্ধ।

Comments

এন 1 = এন 2 এর জন্য এটি এখনও একটি বৈষম্য: স্কয়ার্ট (2) *

— বর্গফুট

ওহ আসলে। আমার মাথায় $ \ sqrt {a b} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} $ আমি ভেবেছিলাম। মাঝরাতে এবং ক্লান্ত হয়ে পড়লে আমার উত্তর দেওয়া বন্ধ করা উচিত। যে ইশারা জন্য ধন্যবাদ।

— সিন্ডা

@ কানাডা: জটিলতার কমপক্ষে দুটি ভিন্ন ধারণা রয়েছে, উভয়ই গতি বাড়ানোর সাথে সম্পর্কিত to একটি আকার জটিলতা, এবং একটি গভীরতা জটিলতা। অন্যথায় নির্দিষ্ট না করা পর্যন্ত আমরা প্রায়শই আকারের জটিলতা বিবেচনা করতে পছন্দ করি তবে গভীরতা জটিলতা এখনও এমন কিছু যা কোয়ান্টাম কম্পিউটেশনাল জটিলতায় খুব বেশি আগ্রহী, উদাহরণস্বরূপ এমবিকিউসি [arXiv: কোয়ান্ট-পিএইচ / 0301052 , আরএক্সিভি: 0704.1736 ] এবং এর সাম্প্রতিক ফলাফলগুলি নিঃশর্ত গভীরতার বিচ্ছেদ [আরএক্সিব: 1704.00690 ]।

— নিল দে বিউড্রাপ

@ নিলদেবিউড্র্যাপ আমি ভেবেছিলাম লোকেরা গভীরতার জটিলতায় আরও বেশি নজর রাখবে। তবে গ্রোভারের জন্য আকার এবং গভীরতার জটিলতা একই ক্রম সম্পর্কে। এটি সমস্যার আকারের চতুর্ভুজ (সাধারণত এন উপাদানগুলির তালিকার আকার হিসাবে দেখা যায়)। আপনি কি এখানে আমার পদ্ধতির সঠিক না বলে মনে করেন?

— সিন্ডা

আপনি যা কিছু ভুল করছেন তা বলছেন না , আমি কেবল এটিই নির্দেশ করছি যে আপনি আকারের জটিলতার উপর অযথা জোর দিচ্ছেন এবং সত্যিকারের গভীরতার জটিলতার সুবিধাকে কার্যকর করছেন না। খুব আকর্ষণীয় হয় না যদি আপনি কেবল এটিই করেন$k \in O(1)$ সমান্তরাল গ্রোভার প্রক্রিয়াগুলি, তবে ড্যাফটুলির উত্তর হিসাবে (এবং ক্লাসিকাল পোস্ট-প্রসেসিং বিবেচনা করে) গভীরতার জটিলতা থেকে যায় $\sqrt N$ প্রতি $\log(k) \sqrt{N/k}$ জন্য $k(N) \in \Omega(1)$ সমান্তরাল গ্রোভার প্রক্রিয়া, যা একটি ফ্যাক্টর দ্বারা উন্নতি হয় $\sqrt{k}/\!\!\;\log(k)$(লগ ফ্যাক্টরটি সনাক্তকরণ থেকে আসে যা কোনও প্রক্রিয়া সমাধান খুঁজে পেয়েছে) found

— নিল দে বিউড্রাপ