আনুমানিক একক ম্যাট্রিক্স

আমার কাছে বর্তমানে ২ টি ইউনিট্রিক ম্যাট্রিক রয়েছে যা আমি কম কম পরিমাণ কোয়ান্টাম গেট দিয়ে ভাল নির্ভুলতার সাথে আনতে চাই to

আমার ক্ষেত্রে দুটি ম্যাট্রিক রয়েছে:

নট গেটের বর্গমূল (বিশ্বব্যাপী পর্যায় অবধি) $জি = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} আমি & 1 \\ 1 & আমি \end{matrix}) = ই^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{এক্স}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$ওয়াট = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

আমার প্রশ্নটি নিম্নলিখিত:

কীভাবে কম কোয়ান্টাম গেট সম্ভব এবং ভাল নির্ভুলতার সাথে এই নির্দিষ্ট ম্যাট্রিকগুলি অনুমান করতে পারি?

আমি যা চাই তা তা পাওয়ার সামর্থ্য রয়েছে:

আমি বেশ কয়েকটি দিন / সপ্তাহের সিপিইউ সময় এবং প্রচুর র‍্যাম ব্যবহার করতে পারি।
আমি গাণিতিক কৌশলগুলি অনুসন্ধান করতে 1 বা 2 টি মানব দিন অতিবাহিত করতে পারি (শেষ অবলম্বনে, এজন্য আমি এখানে প্রথমে জিজ্ঞাসা করি)। এই সময়ের মধ্যে প্রথম পয়েন্টের জন্য ব্যবহৃত হাইপোথিক্যাল অ্যালগরিদমগুলি বাস্তবায়নের যে সময়টি আমার প্রয়োজন হবে তা অন্তর্ভুক্ত করে না।
আমি ক্ষয়টি প্রায় সঠিক হতে চাই। আমার এই মুহুর্তে কোনও লক্ষ্য নির্ভুলতা নেই, তবে উপরের দুটি গেটগুলি আমার সার্কিট দ্বারা ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছে এবং আমি ত্রুটিগুলি খুব বেশি জমতে চাই না।
আমি ক্ষয়টি সম্ভব সবচেয়ে কম কোয়ান্টাম গেট ব্যবহার করতে চাই। এই পয়েন্টটি মুহুর্তের জন্য গৌণ।
একটি ভাল পদ্ধতি আমাকে কোয়ান্টাম গেটের সংখ্যা এবং আনুমানিকের নির্ভুলতার মধ্যে যে বাণিজ্যটি করতে চাই তা চয়ন করতে দেয়। যদি এটি সম্ভব না হয় তবে কমপক্ষে $10^{-6}$ (ট্রেস আদর্শের নিরিখে) এর যথার্থতা সম্ভবত (আগে বলা হয়েছে, আমার অনুমান নেই তাই আমি এই প্রান্তিকের বিষয়ে নিশ্চিত নই) প্রয়োজনীয়।
গেট সেট হল: ${এইচ, এক্স, ওয়াই, জেড, {আর}_{φ}, এস, টি, {আর}_{এক্স}, {আর}_{Y}, {আর}_{z- র}, সি এক্স, সোয়াপ, iSWAP, \sqrt{সোয়াপ}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ সঙ্গে $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ বর্ণনা অনুযায়ীউইকিপিডিয়া, $R_A$ কুঠার থেকে সম্মান সঙ্গে ঘূর্ণন $A$ ( $A$ পারেন হয় $X$ , $Y$ বা $Z$ এবং) $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & আমি & 0 \\ 0 & আমি & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ ।

যে পদ্ধতিগুলি সম্পর্কে আমি জানি:

সলোভে-কেতায়েভ অ্যালগরিদম। আমার এই অ্যালগরিদমের একটি বাস্তবায়ন আছে এবং ইতিমধ্যে বেশ কয়েকটি ইউনিটারি ম্যাট্রিক্সে এটি পরীক্ষা করেছি। অ্যালগরিদম এমন ক্রম উত্পন্ন করে যা বেশ দীর্ঘ এবং বাণিজ্য বন্ধ [কোয়ান্টাম গেটের সংখ্যা] ভিএস [আনুমানিক যথাযথতা] যথেষ্ট প্যারামিট্রিসেবল নয়। তবুও, আমি এই গেটগুলিতে অ্যালগরিদম কার্যকর করব এবং আমার প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে এই প্রশ্নটি সম্পাদনা করব।
দুই কাগজপত্র 1-qubit গেট পড়তা এবং এন-qubit গেট পড়তা । আমার এই অ্যালগোরিদমগুলি পরীক্ষা করাও দরকার।

সম্পাদনা: "বর্গমূল না এর" আরও প্রকট করার জন্য প্রশ্ন সম্পাদনা করা হয়েছে।

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Nelimee
সূত্র

আপনার কি কোনও নির্দিষ্ট গেট সেট মনে আছে এবং আপনি কি

/ স্থানীয়ভাবে / সরাসরি কুইটে প্রয়োগ করতে পারবেন না এমন কোনও কারণ রয়েছে ?

G

$G$

— মিত্রান্দির

আমার মনে রাখা গেট-সেটটি সুনির্দিষ্ট করে সম্পাদনা করার জন্য :)

— নীলিমি

দেখে মনে হচ্ছে ডাব্লু ডান স্কয়ার্ট (এসডব্ল্যাপ) + এক সিএনওটি + সিঙ্গল-কুইট গেট দিয়ে করা যায়।

— নরবার্ট শুচ

আপনি কী করতে চাইছেন তা সম্পর্কে আমি আগ্রহী, যদি আপনি বিবরণে কিছু মনে করেন না।

— psitae

এই দুটি গেট কোয়ান্টাম সার্কিটগুলিতে খুব সাধারণ হ্যামিল্টনীয়দের (কেবল 1 টি স্পার্স হ্যামিলটোনীয়দের সাথে সত্যিকারের প্রবেশ বা শুধুমাত্র কল্পিত এন্ট্রি সহ) অনুকরণ করতে উপস্থিত হচ্ছে। এই বিষয়ে যে থিসিসটি বিস্তৃত হয়েছে তা পাওয়া বেশ শক্ত। আমি খুঁজে পেয়েছি একমাত্র উপায় এখানে একটি অনুলিপি জিজ্ঞাসা এবং আপনার মেলবক্সে একটি উত্তর জন্য অপেক্ষা করুন :)

— নীলিমে

আপনি প্রয়োগ করার জন্য দুটি বিশেষত সাধারণ ম্যাট্রিক বেছে নিয়েছেন।

প্রথম ক্রিয়াকলাপ (জি) এক্স গেটের কেবলমাত্র বর্গমূল (বৈশ্বিক পর্যায়ে):

$R_X(\pi/2)$

দ্বিতীয় অপারেশন (ডাব্লু) অন্যথায়-পরিচয় ম্যাট্রিক্সের মাঝের 2x2 ব্লকের একটি হাদামারড ম্যাট্রিক্স x যে কোনও সময় আপনি এই 2x2-এর-মাঝারি প্যাটার্নটি দেখেন আপনার উচিত "সিএনওটি দ্বারা নিয়ন্ত্রিত অপারেশন" ভাবা উচিত think এবং এটি এখানে কার্যকরভাবে কাজ করে (দ্রষ্টব্য: আপনাকে লাইনগুলি অদলবদল করতে হতে পারে; আপনার শেষের কনভেনশনের উপর নির্ভর করে):

সুতরাং একমাত্র আসল সমস্যা হ'ল নিয়ন্ত্রিত হাডামারড অপারেশন কীভাবে বাস্তবায়ন করা যায়। একটি হাদামারড হ'ল এক্স + জেড অক্ষের চারপাশে 180 ডিগ্রি ঘূর্ণন। আপনি এক্স অক্ষের কাছে এক্স + জেড অক্ষটি স্থানান্তর করতে Y অক্ষের চারপাশে 45 ডিগ্রি ঘূর্ণন ব্যবহার করতে পারেন, সিএইচ স্থানে একটি সিএনওটি করুন, তারপরে অক্ষটি সরিয়ে নিন:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— ক্রেগ গিডনি
সূত্র

$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

নির্মাণটি এই অর্থে সর্বোত্তম যে এটিতে দুটি সিএনটি গেট এবং সর্বাধিক 12 টি একক কুইবিট গেটের প্রয়োজন (সত্যিকারের দুটি কুইবিট গেটের সর্বাধিক সাধারণ ক্ষেত্রে)। নির্মাণটি হোমোমর্ফিজম ভিত্তিক:

এস হে (4) \approx এস ইউ (2) \times এস ইউ (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

ওয়াট = এম ইউ {এম}^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

এই নির্মাণটি ব্যবহার করে, ভাতান এবং উইলিয়ামসের দেওয়া সম্পূর্ণ গেট বাস্তবায়ন হ'ল:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— ডেভিড বার মোশে
সূত্র

এই গেটগুলির কোনওটির জন্যই আনুমানিক অনুক্রমের প্রয়োজন হয় না। কোনও দুর্দান্ত প্রচেষ্টা ছাড়াই আপনি আপনার নির্দিষ্ট গেট সেটগুলির সাহায্যে এগুলি ঠিক বাস্তবায়ন করতে পারেন implement

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
সূত্র