ওরাকলের সাথে সম্পর্কিত বিকিউপি থেকে এনপি পৃথক করা

Question

আমি এই বক্তৃতা নোটটির দিকে চেয়ে ছিলাম যেখানে লেখক এর মাঝে একটি ওরাকল বিচ্ছেদ দেয়$\mathsf{BQP}$ এবং $\mathsf{NP}$। "কীভাবে স্ট্যান্ডার্ড ডায়াগোনালাইজেশন কৌশলগুলি এই কঠোর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে" সে ইঙ্গিত করেছেন তিনি।

কেউ কি কোনও তির্যক কৌশলটি বিশদভাবে ব্যবহার করতে হবে? ধ্রুপদী জটিলতার ক্লাসের বাইরে কিছু রাখার জন্য এবং বাইরে কিছু রাখার ক্ষেত্রে যেগুলি ব্যবহার করা হত তার মধ্যে স্বজ্ঞাতভাবে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য থাকতে হবে$\mathsf{BQP}$। বিশেষত, গ্রোভারের অ্যালগরিদম সর্বোত্তম হওয়ার কারণে, আমি একটি তির্যক কৌশলটি সন্ধান করছি যাতে আমরা একটি ওরাকল তৈরি করতে পারি$A$ কিসের জন্য $\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$।

Answer 1

এটা আমার মনে হচ্ছে যে diagonalisation যুক্তি হল যে ব্যবহার করা যেতে পারে শুধুমাত্র সামান্য একটি প্রমিত এক থেকে ভিন্ন, যেমন  এই ধরনের খুঁজে পাওয়া যেতে পারে যেমন বেকার-ফুলকা-Solovay উপপাদ্য সম্পর্কে বক্তৃতা নোট ( অর্থাত , সেখানে ওরাকেল আছে , যার জন্য এবং ওরাকেল যার জন্য )। মূলত, আপনাকে কীভাবে 'ইঞ্জিনিয়ার' অ্যাডভারসিয়াল ইনপুটটি একটু অন্যরকমভাবে বর্ণনা করতে হবে।$A$$\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$$A$$\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$

এখানে কিভাবে আমরা একটি ওরাকল অস্তিত্বের প্রমাণ এই পদ্ধতির ব্যবহার হতে পারে এর , যার জন্য$A$$\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$ । যে কোন ওরাকল জন্য$A$, একটি ভাষা সংজ্ঞায়িত করুন

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ এটা স্পষ্ট যে $L_A \in \mathsf{NP}^A$ সাধারণ কারণে যে কোনও ননডেটেরিমেন্টিক টিউরিং মেশিনটি ইনপুটটি ফর্মের কিনা তা পরীক্ষা করতে পারে $1^n$ কিছুর জন্য $n$, এবং তারপরে একটি স্ট্রিং অনুমান করুন $z \in \{0,1\}^n$ কিসের জন্য $A(z,0) = (z,1)$ যদি তাই $z$বিদ্যমান। লক্ষ্য তা দেখানো$L_A$ বহুবর্ষীয় সময়ে স্থির ত্রুটি সহ, ইউনিফর্ম ইউনিটারি সার্কিট পরিবার দ্বারা, ব্যবহার করে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না $O(2^{n/2})$ অনুসন্ধান সমস্যার উপর নিচে আবদ্ধ।

1. দিন $c,N > 0$ ওরাকলগুলির সাথে অনুসন্ধানের সমস্যাটি এমন হোন $n$বিট ইনপুটগুলির কমপক্ষে প্রয়োজন $c 2^{n/2}$ সবার জন্য সঠিকভাবে সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য ওরাকল অনুসন্ধানগুলি (কমপক্ষে 2/3 সম্ভাব্যতার সাথে) $n > N$।
   
   

2. দিন $\mathbf C^{(1)}\!$, $\mathbf C^{(2)}\!$, $\ldots$ সমস্ত ইউনিটেরিয়াল ওরাকল সার্কিট পরিবারের একটি গণনা হতে $\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$যেমন সার্কিটের গেট-সিকোয়েন্স $C^{(k)}_n\!$ ভারপ্রাপ্ত $n$-বিটক ইনপুটগুলি সময়মতো কঠোরভাবে কম উত্পাদন করা যায় $c 2^{n/2}$। (এই সময়সীমাটি 'অভিন্নতা' শর্তের সাথে সম্পর্কিত, যেখানে আমরা সার্কিটগুলিতে আগ্রহী হব, বহু-কালীন সময়ে একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক টিউরিং মেশিন দ্বারা গণনা করা যেতে পারে - আমরা এখানে আরোপের চেয়ে আরও শক্তিশালী শর্ত these এই সার্কিট পরিবারগুলির গণনা করা যেতে পারে, কারণ উদাহরণস্বরূপ, নির্ধারক টিউরিং মেশিনগুলির দ্বারা পরোক্ষভাবে তাদের প্রতিনিধিত্ব করে$\mathbf T^{(k)}$যা তাদের গেটের অনুক্রমগুলি তৈরি করে এবং সেগুলি গণনা করে )

   • গেটের অনুক্রমের বিবরণে রান-টাইম সীমা থেকে এটি নির্দিষ্টভাবে অনুসরণ করে $C^{(k)}_n$ চেয়ে কম আছে $c 2^{n/2}$ সবার জন্য দরজা $k$, এবং বিশেষত এর চেয়ে কম করে তোলে $c 2^{n/2}$ ওরাকল অনুসন্ধান।

   • কোন জন্য $n$, সার্কিট বিবেচনা করুন $C^{(n)}_n\!$। অনুসন্ধানের সমস্যার উপরের নীচে থেকে আমরা জানি এটির জন্য$n > N$ ওরাকল ফাংশনের সম্ভাব্য মান রয়েছে $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ ওরাকল দ্বারা মূল্যায়ন করা হয়, যেমন সম্ভাব্যতা 2/3 সহ, আউটপুট দ্বারা উত্পাদিত হয় $C^{(n)}_n\!$ ইনপুট এ $1^n$ কিনা এর সঠিক উত্তর নয় $\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$।

   • প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $n > N$, যেমন একটি ফাংশন নির্বাচন করুন $f_n$ কিসের জন্য $C^{(n)}_n$ এইভাবে "ব্যর্থ"।
     
     

3. দিন $A$ একটি ওরাকল হতে হবে যা আকারের ইনপুটগুলিতে $n > N$, মূল্যায়ন $f_{\!\!\:n\!\:}$।

নির্মিত হয়েছে $A$ এইভাবে, প্রতিটি সার্কিট পরিবার $\mathbf C^{(n)}$ সঠিকভাবে সিদ্ধান্ত নিতে ব্যর্থ $L_A$ কারও কারও জন্য কমপক্ষে 2/3 সম্ভাবনা রয়েছে $n > N$ (এবং অসীম অনেক যেমন $n$আসলে). তারপরে সার্কিট পরিবারের কেউ নেই$\mathbf C^{(k)}$ সঠিকভাবে সিদ্ধান্ত $L_A$ সমস্ত ইনপুটগুলিতে সাফল্যের সম্ভাবনা 2/3 দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে, যাতে $L_A$ সময় মতো গঠনমূলক কোনও ইউনিফারি সার্কিট পরিবার এ জাতীয় সীমানা দিয়ে সমাধান করতে পারে না $p(n)$।

সুতরাং, $L_A \notin \mathsf{BQP}^A$, যা থেকে এটি অনুসরণ করে $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$।