ব্রা-কেট স্বরলিপিটি কীভাবে কাজ করে?

Question

কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমগুলি তাদের বিবরণে প্রায়শই ব্রা-কেট স্বরলিপি ব্যবহার করে। এই সমস্ত বন্ধনী এবং উল্লম্ব লাইনগুলির অর্থ কী? উদাহরণস্বরূপ: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

যদিও এটি গণিত সম্পর্কে তর্কযোগ্যভাবে একটি প্রশ্ন, বিশেষত কোয়ান্টাম গণনার সাথে ডিল করার সময় এই ধরণের স্বরলিপি ঘন ঘন ব্যবহৃত হয় বলে মনে হয়। আমি নিশ্চিত নই যে আমি এটি অন্য কোনও প্রসঙ্গে ব্যবহার করতে দেখেছি।

---

সম্পাদন করা

শেষ অংশটি দ্বারা, আমি বোঝাতে চাইছি যে লেক্টর বীজগণিতের জন্য মানক স্বরলিপি ব্যবহার করে ভেক্টর এবং অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলি বোঝানো সম্ভব এবং ব্রা-কেট স্বরলিপি ব্যবহার না করে এই বস্তুগুলি এবং অপারেটরগুলি ব্যবহার করে এমন কিছু অন্যান্য ক্ষেত্রগুলি বোঝায়।

এটি আমাকে এই সিদ্ধান্তে নিয়ে যায় যে কিছুটা পার্থক্য / কারণ রয়েছে কেন ব্রা-কেট বিশেষত কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমগুলি বোঝাতে কার্যকর। এটি সত্যিকারের দৃser়তা নয়, আমি এটি পর্যবেক্ষণ হিসাবে বোঝাতে চাইছি। "আমি নিশ্চিত নই যে আমি এটি অন্য কোথাও ব্যবহার করে দেখেছি" "এটি অন্য কোনও ক্ষেত্রে ব্যবহার হয় না" বলে একই বক্তব্য নয়।

Comments

সম্পর্কিত: কীভাবে $\TeX$ ব্রা-কেট স্বরলিপি ।

— নাট

Answer 1

অন্যদের দ্বারা ইতিমধ্যে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, একটি কেট কেবল একটি ভেক্টর। একটি ব্রাএটি ভেক্টরের হার্মিটিয়ান কনজুগেট। আপনি সাধারণ উপায়ে কোনও ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে পারেন।$\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

এখন মজা অংশ আসে: আপনি দুটি ভেক্টর স্কালে পণ্যের লিখতে পারেন এবং যেমন ।$\left|\psi\right>$$\left|\phi\right>$$\left<\phi\middle|\psi\right>$

আপনি ভেক্টরে অপারেটর প্রয়োগ করতে পারেন (সীমাবদ্ধ মাত্রায় এটি কেবল একটি ম্যাট্রিক্সের গুণ) ।$X\left|\psi\right>$

সব মিলিয়ে স্বরলিপিটি খুব কার্যকরী এবং স্বজ্ঞাত। আরও তথ্যের জন্য, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের উইকিপিডিয়া নিবন্ধ বা একটি পাঠ্যপুস্তক দেখুন।

Comments

"ব্রা হর্মিটিয়ান কনজুগেট।" কোন ভেক্টরের হার্মিটিয়ান কনজুগেট কী? এবং কেবলমাত্র অভ্যন্তরীণ পণ্য ভেক্টরগুলির এবং ? $\langle\phi|\psi\rangle$$\phi^\top \psi$$\phi$$\psi$

— ডেভেলারিস্ট

দুটি ধরণের ভেক্টর রয়েছে, কলাম ভেক্টর এবং সারি ভেক্টর। একটি কলাম ভেক্টরের হার্মিটিয়ান কনজুগেট হ'ল জটিল সংঘবদ্ধ উপাদানগুলির সাথে একটি সারি ভেক্টর এবং তদ্বিপরীত।

— jknappen - মনিকা

জটিল সংহত উপাদান?

— ডেভেলারিস্ট

ম্যাট্রিক্স উপাদান হিসাবে উপাদান। আপনি ভেক্টরগুলির সাথে কথা বলার সময় "উপাদান" শব্দটি ব্যবহার করতে পারেন যা বেশি স্বাভাবিক।

— jknappen - মনিকা

হ্যাঁ, হয় অভ্যন্তরীণ পণ্য , কিন্তু ভেক্টর স্থান জটিল, তাই সূত্র হয় না শুধু TRANSPOSE, Hermitian অনুবন্ধী জন্য ছুরি করে মনে রাখবেন, এটা। $\langle\phi|\psi\rangle$$\phi^\dagger\psi$

— jknappen - মনিকা

Answer 2

আপনি এবং দ্বি-মাত্রিক জটিল ভেক্টর স্পেসে থাকা কোয়ান্টাম বিটের দুটি "অর্থনরমাল বেস স্টেটস (" কেট "গুলি দ্বারা উপস্থাপিত) হিসাবে বিবেচনা করতে পারেন । আপনি যে লাইন এবং বন্ধনীগুলি দেখতে পাচ্ছেন তা হ'ল ব্রা-কেট নোটেশন ওরফে ডেরাক নোটেশন যা সাধারণত কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ব্যবহৃত হয়।$|0\rangle$$|1\rangle$

উদাহরণ হিসাবে একটি ইলেকট্রনের স্পিন-ডাউন রাষ্ট্রের প্রতিনিধিত্ব করতে পারে এবং স্পিন-আপ রাষ্ট্রের প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। তবে প্রকৃতপক্ষে ইলেক্ট্রন সেই দুটি রাজ্যের লিনিয়ার সুপারপজিশনে থাকতে পারে অর্থাৎ (এটি সাধারণত মতো স্বাভাবিক হয় ) যেখানে ।$|0\rangle$$|1\rangle$$|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$$\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$$a,b\in \Bbb{C}$

Answer 3

এই সমস্ত বন্ধনী এবং উল্লম্ব লাইনগুলির অর্থ কী?

স্বরলিপি অর্থ হুবহু একই জিনিস বা , অর্থাত্ এটি কোনও ভেক্টরকে বোঝায় যার নাম "v"। এটাই. আর কোনও রহস্য বা জাদু নেই, মোটেই নেই। প্রতীক "psi" নামক একটি ভেক্টরকে বোঝায়।$\left \lvert v \right \rangle$$\vec{v}$$\textbf{v}$$\left \lvert \psi \right \rangle$

প্রতীকটিকে "কেট" বলা হয়, তবে এটি ঠিক (এবং আমার মতে) একেবারেই অর্থের ক্ষতি ছাড়াই "ভেক্টর" বলা যেতে পারে।$\left \lvert \cdot \right \rangle$

যদিও এটি গণিত সম্পর্কে তর্কসাপেক্ষভাবে একটি প্রশ্ন, বিশেষত কোয়ান্টাম গণনার সাথে ডিল করার সময় এই ধরণের স্বরলিপি ঘন ঘন ব্যবহৃত হয়। আমি নিশ্চিত নই যে আমি এটি অন্য কোনও প্রসঙ্গে ব্যবহার করতে দেখেছি।

স্বরলিপিটি পদার্থবিজ্ঞানী ( পল ডিরাক ) আবিষ্কার করেছিলেন এবং তাকে "ডাইরাক নোটেশন" বা "ব্রা-কেট স্বরলিপি" বলা হয় । যতদূর আমি জানি, ডায়রাক সম্ভবত এটি কোয়ান্টাম মেকানিক্স অধ্যয়নের সময় আবিষ্কার করেছিলেন এবং তাই historতিহাসিকভাবে স্বরলিপিটি বেশিরভাগ কোয়ান্টাম মেকানিক্সে অর্থাৎ কোয়ান্টাম রাজ্যে প্রদর্শিত ভেক্টরগুলি বোঝাতে ব্যবহৃত হয়েছিল। ব্রা-কেট স্বীকৃতি কেবল কোয়ান্টাম গণনা নয়, কোনও কোয়ান্টাম মেকানিক্স প্রসঙ্গে মান is উদাহরণস্বরূপ, স্ক্রোডিঞ্জার সমীকরণ , যা কোয়ান্টাম সিস্টেমে ডায়নামিক্সের সাথে সম্পর্কিত এবং কয়েক দশক ধরে কোয়ান্টামের গণনার পূর্বাভাস দেয়, এটি ব্রা-কেট স্বরলিপি ব্যবহার করে রচিত হয়েছিল।

তদ্ব্যতীত, অন্যান্য লিনিয়ার বীজগণিত প্রসঙ্গে স্বরলিপিটি বেশ সুবিধাজনক এবং কোয়ান্টাম মেকানিকের বাইরেও ব্যবহৃত হয়।

Answer 4

এটি আমাকে এই সিদ্ধান্তে নিয়ে যায় যে কিছুটা পার্থক্য / কারণ রয়েছে কেন ব্রা-কেট বিশেষত কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমগুলি বোঝাতে কার্যকর।

ইতিমধ্যে একটি স্বীকৃত উত্তর এবং একটি উত্তর রয়েছে যা 'কেট', 'ব্রা' এবং স্কেলারের পণ্য স্বরলিপি ব্যাখ্যা করে।

আমি হাইলাইট করা এন্ট্রিটিতে আরও কিছু যুক্ত করার চেষ্টা করব। কোনটি এটিকে দরকারী / কার্যকর স্বরলিপি তৈরি করে?

ব্রা-কেট স্বরলিপিটি প্রথম যেটির জন্য প্রকৃতপক্ষে প্রচুর পরিমাণে ব্যবহৃত হয় তা হ'ল একটি ইগেনুয়েলের সাথে যুক্ত একটি সাধারণত (সাধারণত হার্মিটিয়ান) অপারেটরের ইগেনভেেক্টরকে বোঝানো। ধরুন আমরা আছে একটি eigenvalue সমীকরণ , এই চিহ্নিত করা যেতে পারে , এবং সম্ভবত কিছু অতিরিক্ত ট্যাগ যদি কিছু অবক্ষয় রয়েছে ।$A(v)=\lambda v$$A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$$k$$A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

আপনি পুরো কোয়ান্টাম মেকানিক্সের উপরে এই নিয়োগকৃত দেখতে পান, গতিবেগের ইউনিটগুলির উপর নির্ভর করে, বা একাধিক কণার অবস্থার উপর নির্ভর করে বা হিসাবে লেবেলযুক্ত থাকে ; ; বোস এবং ফার্মি সিস্টেমের জন্য অনেকগুলি বডি সিস্টেমের জন্য পেশা নম্বর উপস্থাপনা n_1 ; ; এক নজরে অর্ধেক কণা eigenstates সাধারণত গ্রহণ অপারেটর, কখনও কখনও লেখা যেমন এবং বা এবং শর্টহ্যান্ড হিসাবে ইত্যাদি$\left|\vec{k}\right\rangle$$\left|\vec{p}\right\rangle$$\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$$\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$$S_z$$\left|+\right\rangle$$\left|-\right\rangle$$\left|\uparrow\,\right\rangle$$\left|\downarrow\,\right\rangle$$\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; এর eigenfunctions যেমন গোলাকার সুরবিজ্ঞান এবং ফাংশন সুবিধামত যেমন লেখা হয় সঙ্গে এবং$L^2$$L_z$$\left|l,m\right\rangle$$l=0,1,2,\ldots$$m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

স্বরলিখনের সুবিধার্থে একটি জিনিস, তবে স্বরলিপি সহ বীজগণিত ম্যানিপুলেশনগুলির মধ্যে 'লেগো' অনুভূতিও রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ স্পিন অর্ধ অপারেটরটিকে নোটেশনে , মতো একটি রাজ্যে অভিনয় করে সহজভাবে করে$S_x$$S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$$\left|\uparrow\right\rangle$

$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$$

যেহেতু এবং । ।$\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$$\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

কোয়ান্টাম অ্যালগোরিদমগুলির জন্য এটি কী কাজে আসে?

বলুন যে আমাদের কাছে একটি কুইটের জন্য উপযুক্ত দুটি স্তরের সিস্টেম রয়েছে; এটি দ্বিমাত্রিক জটিল ভেক্টর স্পেস যার ভিত্তিটি এবং । আমরা যখন বলি, তা ভেবে এই ফর্ম qubits, সিস্টেম একটি বড় স্থান লাইভ টেন্সর পণ্য স্থান, রাজ্যের । ডায়রাক স্বরলিপিটি এখানে বরং ব্যবহারযোগ্য হতে পারে, ভিত্তি রাজ্যগুলি একটি এবং শূন্যের স্ট্রিং দ্বারা লেবেলযুক্ত হবে এবং একটি সাধারণত একটি রাষ্ট্রকে বোঝায় যেমন , এবং বলুন যে আমাদের কাছে কিছুটা ফ্লিপ অপারেটর রয়েছে যা আন্তঃসংযোগ করে$V$$\left|0\right\rangle$$\left|1\right\rangle$$n$$V^{\otimes n}$$\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$$X_i$$1\leftrightarrow 0$ উপর 'ম বিট, এই বরং কেবল কাজ করতে পারেন উপরের স্ট্রিং যেমন ও অপারেটরদের একটি সমষ্টি গ্রহণ বা অভিনয় রাজ্যগুলির সুপারপজিশন ঠিক সরলভাবে কাজ করে।$i$$X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

সামান্য সতর্কতা: state হিসাবে লিখিত একটি রাষ্ট্রের অর্থ সর্বদা , উদাহরণস্বরূপ যখন আপনার সাথে দুটি অভিন্ন ফের্মিয়ন থাকে তরঙ্গ ক্রিয়াকলাপগুলি এবং লেবেলগুলির সাথে কিছু বেস সেট সেট করে, তারপরে কেউ ফার্মিয়নের স্লটার নির্ধারক স্থিতি লিখতে পারে শর্টহ্যান্ডে বা এমনকি । ।$\left|a,b\right\rangle$$\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$$\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$$\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ $\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

Answer 5

Ket স্বরলিপি উপায়ে একটি ভেক্টর যাই হোক না কেন ভেক্টর স্থান আমরা এই ধরনের আট 3-বিট স্ট্রিং সব জটিল রৈখিক সমন্বয় স্থান হিসাবে কাজ করছি, , , , ইত্যাদি , যেমন আমরা ব্যবহার পারে একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারের রাজ্যগুলির প্রতিনিধিত্ব করতে। অপরিচ্ছন্ন si অর্থ হ'ল একই জিনিস thing কেট নোটেশনটি আংশিকভাবে জোর দেওয়ার জন্য দরকারী, উদাহরণস্বরূপ, সুদের ভেক্টর স্পেসের একটি উপাদান, এবং আংশিকভাবে তার খাঁটির জন্য সংমিশ্রণে ব্রা স্বরলিপি।$|\psi\rangle$$000$$001$$010$$\psi$$|\psi\rangle$$|010\rangle$

ব্রা স্বরলিপিমানে দ্বৈত ভেক্টর বা covector -a রৈখিক কার্মিক scalars করার ভেক্টর থেকে, বা রৈখিক মানচিত্র, একটি ভেক্টর এ যার মানকে হয় অভ্যন্তরীণ পণ্য এর সঙ্গে , cutely লিখিত । এখানে আমরা একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যটির অস্তিত্ব ধরে নিয়েছি, যা স্বেচ্ছাচারী ভেক্টর স্পেসগুলিতে প্রদত্ত নয়, তবে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে আমরা সাধারণত হিলবার্ট স্পেসে কাজ করি যা সংজ্ঞায়িতভাবে একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য রয়েছে। কোনও ভেক্টরের দ্বৈতকে কখনও কখনও এটির (হার্মিটিয়ান) ট্রান্সপোজও বলা হয়$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$\psi$$\phi$$\langle\psi|\phi\rangle$, কারণ ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনায়, একটি ভেক্টর একটি কলামের সাথে মিলিত হয় এবং একটি অভ্যাসকারী একটি সারিটির সাথে মিল রাখে এবং আপনি যখন গুন করেন তখন আপনি একটি স্কেলার পান। (Hermitian অংশ মানে ম্যাট্রিক্স পক্ষান্তরিত ছাড়াও, আমরা তার এন্ট্রি-সত্যিই ঠিক যার আরও ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা পক্ষান্তরিত করা হয় এর অনুবন্ধী জটিল নেওয়া জটিল নম্বর ।)$\mathrm{row} \times \mathrm{column}$$\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$$a + b i$

অন্যভাবে লেখা থাকলে,, আপনি পেতে বাইরের পণ্য এর সঙ্গে , কর্তৃক প্রদত্ত নিজেই ভেক্টর স্থান রৈখিক রূপান্তর হতে সংজ্ঞায়িত । যে দেওয়া একটি ভেক্টর , এটা আইশ ভেক্টর ভেতরের পণ্য দ্বারা দেওয়া স্কালে দ্বারা । যেহেতু প্রশ্নযুক্ত ক্রিয়াকলাপগুলি সম্মিলিত, তাই আমরা প্রথম বন্ধনীগুলি সরিয়ে ফেলতে পারি এবং নির্বিঘ্নে লিখতে পারি$|\psi\rangle\langle\phi|$$\psi$$\phi$$|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$$\theta$$\psi$$\langle\phi|\theta\rangle$

$$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$$ অপারেশন জড়িত হয় না , সাধারণ বিনিময় তবে: অর্ডার reversing অনুবন্ধী জটিল উৎপাদ , প্রতিস্থাপন দ্বারা । মিশ্রণে ফেলে দেওয়া জায়গাগুলিরও অন্যান্য রূপান্তর হতে পারে, যেমন , যা লিনিয়ার ফাংশনাল পূর্ববর্তী হিসাবে সমানভাবে পড়া যায়লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন , ভেক্টর প্রয়োগ করা হয়েছে$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$$a + b i$$a - b i$$\langle\psi|A|\phi\rangle$$\langle\psi|$$A$$|\phi\rangle$, বা লিনিয়ার ক্রিয়ামূলক মূল্যায়ন হিসাবে ভেক্টর স্থানান্তকরণের দ্বারা প্রাপ্ত এ রৈখিক রূপান্তর দ্বারা ।$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$A$

স্বরলিপিটি মূলত কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয়; গণিতবিদরা কেবলমাত্র লেখার ঝোঁক যেখানে পদার্থবিদরা লিখতে পারেন ; cove for ল্যাঙ্গেল; অভ্যন্তরীণ পণ্যের জন্য হয় বা ; এবং পদার্থবিদরা । রেঙ্গেল দ্বারা কী নোট করবে for$\psi$$|\psi\rangle$$\psi^*$$\langle\psi|$$\langle\psi,\phi\rangle$$\psi^*\phi$$\psi^*A\phi$$\langle\psi|A|\phi\rangle$