২ টি স্থানিক সিগন্যালের কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত প্রশ্ন

যতবারই আমি মনে করি আমি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স বুঝতে পেরেছি, অন্য কেউ এসেছেন অন্যরকম ফর্মুলা তৈরির মাধ্যমে।

আমি বর্তমানে এই নিবন্ধটি পড়ছি:

জে বেনস্টি, "প্যাসিভ অ্যাকোস্টিক সোর্স লোকালাইজেশনের জন্য অভিযোজিত ইগিনাল্যুয়ু পচনের অ্যালগরিদম" , জে অ্যাকোস্ট। SOC। অ্যাম। খণ্ড 107 , সংখ্যা 1, পৃষ্ঠা 384-391 (2000)

এবং আমি এমন একটি গঠন তৈরি করেছি যা আমি বেশ বুঝতে পারি না। এখানে, লেখক দুটি সিগন্যাল, , এবং মধ্যে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স নির্মাণ করছেন । এই দুটি সিগন্যাল বিভিন্ন সেন্সর থেকে। $x_1$ $x_2$

একটি সংকেতের কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য, আমি জানি যে আমরা এটি রিগ্রেশন ম্যাট্রিক্স গণনা করে পেতে পারি এবং তারপরে এটি একই ম্যাট্রিক্সের হার্মিটিয়ান দ্বারা গুণিত করতে পারি এবং মূল ভেক্টরের দৈর্ঘ্য দ্বারা ভাগ করে । এখানে কোভরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের আকারটি নির্বিচারে হতে পারে, সর্বোচ্চ আকার । $N$ $N\times N$

দুটি স্থানিক সিগন্যালের কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য, যদি আমরা প্রথম সারিতে প্রথম সংকেত রাখি, এবং ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারিতে দ্বিতীয় সংকেত রাখি, তারপরে তার হার্মিটিয়ান দ্বারা গুণিত করব, এবং দ্বারা , তবে আমরা একটি get পাই উভয় স্থানিক সংকেতের কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স। $N$ $2\times 2$

তবে এই গবেষণাপত্রে লেখক চারটি ম্যাট্রিকের মতো দেখতে কী গণনা করেছেন, , এবং , এবং তারপরে এগুলিকে একটি সুপার ম্যাট্রিক্সে রেখে কল করেছেন যে সমবায় ম্যাট্রিক্স । $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$ $R_2{}_2$

কেন এমন হয়? এখানে পাঠ্যের একটি চিত্র:

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

covariance

— Spacey
সূত্র

আপনার যদি প্রতিটি উপাদানগুলির মধ্যে দুটি সিগন্যাল ভেক্টর এবং থাকে তবে দুটি আলাদা জিনিস রয়েছে যা আমরা বিবেচনা করতে পারি। $x_1[n]$ $x_2[n]$ $N$

কীভাবে তুলনা করবেন? বিশেষ করে, যখন সংকেত হয় সশব্দ এবং গোলমালের হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে যৌথভাবে নিশ্চল (অথবা যৌথভাবে ওয়াইড-ইন্দ্রিয় নিশ্চল), এই পরিমাণে অনুমান করার জন্য গোলমাল ভাল শব্দ কোভ্যারিয়েন্স যত দুটি সংকেত মধ্যে ভেরিয়ানস ব্যবহার করা যেতে পারে এ কোনও নির্দিষ্ট নমুনা সময়। আপনি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এর শব্দটির ভেরিয়েন্স রয়েছে যা এর থেকে আলাদা হতে পারে $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$ $2\times 2$
$R_{2 \times 2} = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} & C \\ C & σ_{2}^{2} \end{matrix}] .$ $R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$ $x_1[n]$ $\sigma_1^2 = R_{1,1}$ $R_{2,2} = \sigma_2^2$ , এ শব্দের । কিন্তু শব্দ সহভেদাংক সঙ্গে সম্পর্কিত হয় । এখন আমরা সঙ্গে জিনিসগুলি করার পরিকল্পনা যদি ঠিক কি ঘটবে , উপেক্ষা যাই হোক না কেন এ ঘটতে চলেছে বা ইত্যাদি, তাহলে এই সব তথ্য আমরা প্রয়োজন। $x_2[n]$ $R_{1.2}=R_{2,1} = C$ $n$ $n-1$ $n+1$
শব্দটি শ্বেত গোলমাল হিসাবে পরিচিত (বা ধরে নেওয়া যায় না) যাতে বিভিন্ন স্যাম্পলিং তাত্ক্ষণিক শব্দগুলির নমুনাগুলি স্বতন্ত্র (এবং অতএব সম্পর্কহীন) থাকে বা আমরা কেবল অসম্পৃক্ত শব্দের নমুনাগুলি ধরে নিই, এমন তথ্য রয়েছে যা আমরা পারস্পরিক সম্পর্ক বিবেচনা না করে উপেক্ষা করছি মধ্যে এবং , বিভিন্ন সময় বা অবস্থানগুলি এ একই প্রক্রিয়া, এবং মধ্যে পারস্পরিক থেকে নমুনা এবং , বিভিন্ন সময় বা অবস্থানগুলি এ দুই প্রক্রিয়ার থেকে নমুনা। এই অতিরিক্ত তথ্য আরও ভাল প্রাক্কলন / সমাধান হতে পারে। এখন আমাদের কাছে মোট শব্দের নমুনা রয়েছে এবং তাই $x_1[n]$ $x_1[m]$ $x_1[n]$ $x_2[m]$ $2N$ $2N \times 2N$ covariance ম্যাট্রিক্স বিবেচনা। যদি আমরা লেখকরা যেভাবে বিষয়গুলি সাজিয়ে রাখি, আমাদের যেখানে এবং তাই যেখানে । লক্ষ্য করুন , ভব, হয় ক্রস কোরিলেশন ফাংশন এবং যদি থাকে $R_{\text{full}} = E[XX^T]$
$X = (x_{1} [1], x_{1} [2], \dots, x_{1} [N], x_{2} [1], x_{2} [2], \dots, x_{2} [N])^{T} = (x_{1}, x_{2})^{T}$ $X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$ $R_{full} = [\begin{matrix} R_{x_{1}, x_{1}} & R_{x_{1}, x_{2}} \\ R_{x_{2}, x_{1}} & R_{x_{2}, x_{2}} \end{matrix}]$ $R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$ $(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$ $(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$ $i \neq j$ এবং স্ব সংযুক্তি ফাংশন । শব্দের প্রসেসগুলি যদি বাদে শ্বেত এবং অসংরক্ষিত হয় , তবে যেখানে নেই পরিচয় ম্যাট্রিক্স, এবং এবং উপরের হিসাবে আইটেম 1 সংজ্ঞায়িত হয়। এই শব্দের মডেলটি কতটা বাস্তবসম্মত হতে পারে তা শেষ ব্যবহারকারীরা নির্ধারণ করার জন্য কিছু। তাহলে মডেল হল বাস্তবসম্মত, তারপর কিছুই দিকে তাকিয়ে অর্জন করা ম্যাট্রিক্স $i = j$ $n = m$ $R_{full} \to R_{simple} = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} I & C I \\ C I & σ_{2}^{2} I \end{matrix}]$ $R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$ $I$ $N\times N$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ $C$ $2N\times 2N$ $R_{\text{full}}$ যেহেতু সমস্ত তথ্য উপরে আইটেম 1 এর ম্যাট্রিক্স । ঠিক যদি মডেলটি অবাস্তব হয় তবে আমরা সম্পূর্ণ ম্যাট্রিক্স সমস্ত তথ্য ব্যবহার করতে (বা অক্ষম) এর উদ্দেশ্য করি না ; আমরা পার্ট 1 এর মাত্র Part এবং , যার জন্য আমাদের বা , কেবল । $2\times 2$ $R_{2\times 2}$ $2N\times 2N$ $R_{\text{full}}$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ $C$ $R_{\text{full}}$ $R_{\text{simple}}$ $R_{2\times 2}$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

ধন্যবাদ। প্রথমে, সিগমা (1) এ এন = 0 থেকে এন -1 এ বলা উচিত নয়? (I = 1 থেকে n পর্যন্ত নয়)।

— স্পেসি

আমি নিশ্চিত না যে আমি এখনও কীভাবে / কেন এটি এইভাবে করছি তা বুঝতে পারি। আপনি কি বলছেন যে (1), যেহেতু উভয় ভেক্টরের শোরগোল একে অপরের থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন, তাই আমাদের সেই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে হবে, এবং এইভাবে একটি 2x2 কো-ভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স পেতে হবে, তবে এটি দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (2), যেহেতু ভেক্টরগুলির শোরগোলগুলি স্বতন্ত্র নয়, আমাদের উভয় ভেক্টরকে একত্রিত করতে হবে এবং তার পরে তাদের কো-ভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করতে হবে? কেন যদিও? আমি ভয় করি আমি এখনও এখানে অনুপ্রেরণা বুঝতে পারি না ...

— স্পেসি

ধন্যবাদ আমি আবার এটি পড়তে হবে। এছাড়াও, সিগমার সাবস্ক্রিপ্ট অবশ্যই 'এন' হতে হবে, 'আমি' নয়।

— স্পেসি

আমি আগামীকাল আরও কিছু প্রশ্ন / মন্তব্য লিখব, তবে আপাতত, the , এবং এর 'অফিসিয়াল' নামগুলি কী? আমি ভাবতে পারছি না যে তাদের সবাইকে 'কো-ভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স' বলা হয়, যেহেতু এটি বিভ্রান্তির দিকে পরিচালিত করে (যেমন এই প্রশ্নের মূল প্রেরণা ছিল)। তাদের সাধারণত কী বলা হয়?

R_{2}_{x}_{2}, R_{full}

$R_2{}_x{}_2, R_{\text{full}}$

R_{simple}

$R_{\text{simple}}$

— স্পেসি

1) "যৌথভাবে স্থিতিশীল (বা যৌথভাবে প্রশস্ত-বোধগতি সম্পন্ন স্টেশনারি) হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে" এখানে, আপনার অর্থ কি এবং উভয়ই স্বতন্ত্র? ২) "কোনও নির্দিষ্ট নমুনা সময় দুটি সংকেতের শব্দদ্বয়ের পাশাপাশি আওয়াজগুলির স্ববিরোধের অনুমান করুন।" এখানে কোনও নির্দিষ্ট নমুনার সময়টির অর্থ কী? 2x2 গণনা করার জন্য, আমরা উভয় সংকেতের সর্বকালের নমুনাগুলি ব্যবহার করছি ... 3) "এখন আমাদের কাছে মোট 2N গোলমাল নমুনা রয়েছে," আমি অনুমান করি যে 'ঠিক' দ্বারা আমরা দু'টি স্থানিককে কেবল মিলিত করতে পারি তা বুঝতে পারি না যে মত সংকেত। আমাদের কেন এটি করার অনুমতি দেওয়া হচ্ছে?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

— স্পেসি