কোনও ফাংশনের নমুনাগুলি থেকে টেলর সিরিজের সহগগুলি অনুমান করুন

Question

বলুন যে আমার কাছে ফাংশন পরিমাপ রয়েছে , এ কিছু শব্দ নিয়ে নমুনাযুক্ত , এটি টেলর সিরিজের সম্প্রসারণের দ্বারা প্রায় হতে পারে। আমার পরিমাপ থেকে সেই বিস্তারের জন্য সহগের অনুমানের কোনও গ্রহণযোগ্য উপায় আছে কি?$y = y(x)$$x_i$

আমি ডেটাগুলিকে বহুবর্ষের সাথে ফিট করতে পারি, তবে এটি একেবারেই ঠিক নয়, কারণ টেলর সিরিজের জন্য আপনার কেন্দ্রীয় বিন্দুর নিকটবর্তী হওয়ার পরিমাণ আরও ভাল হওয়া উচিত, x = 0 বলুন। প্রতিটি পয়েন্টকে সমানভাবে সমানভাবে ফিট করে তোলা।

আমি আমার প্রসারণের সময়ে ডেরিভেটিভসের বিভিন্ন ক্রমগুলিও অনুমান করতে পারি, তবে তারপরে কী ফিল্টার ব্যবহার করতে হবে এবং প্রত্যেকটির জন্য কতগুলি ফিল্টার সহগ রয়েছে সে সম্পর্কে আমার সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত। বিভিন্ন ডেরাইভেটিভসের ফিল্টারগুলির কি কোনওভাবে একত্রে ফিট হওয়া দরকার?

সুতরাং কেউ কি এর জন্য প্রতিষ্ঠিত পদ্ধতি সম্পর্কে জানেন? কাগজপত্রের ব্যাখ্যা বা উল্লেখগুলি প্রশংসা হবে।

শোধন

নীচের মন্তব্যের প্রতিক্রিয়া হিসাবে, আমার নমুনাটি অসীম ফাংশন থেকে একটি আয়তক্ষেত্রাকার উইন্ডো, এটি অগত্যা ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ নয় তবে শক্তিশালী উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান নেই। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আমি অনুমানের একটি প্যারামিটারের কার্যকারিতা হিসাবে (একটি চিকিত্সার আল্ট্রাসাউন্ড সিগন্যালে স্থানচ্যুতি পরিমাপ করা) এর পরিমাপটি পরিমাপ করছি (অন্তর্নিহিত টিস্যুর বিকৃতি বা স্ট্রেনের স্তর)। বিকৃতির ফাংশন হিসাবে বৈকল্পিকতার জন্য আমার কাছে একটি তাত্ত্বিক টেলর সিরিজ রয়েছে এবং আমি এটি সিমুলেশন থেকে যা পাই তার সাথে তুলনা করতে চাই।

অনুরূপ খেলনার উদাহরণ হতে পারে: আপনার ln (x) এর মতো একটি ফাংশন রয়েছে বলে এক্স এর ব্যবধানে কিছুটা শব্দ যোগ করার সাথে নমুনাযুক্ত। এটি কী ফাংশন তা আপনি জানেন না এবং আপনি এর টেলর সিরিজটি x = 5 এর কাছাকাছি অনুমান করতে চান। সুতরাং ফাংশনটি আপনার আগ্রহী পয়েন্টের আশেপাশের অঞ্চলের জন্য আস্তে আস্তে এবং ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয় (বলুন 2 <x <8) তবে এটি অঞ্চলের বাইরে খুব সুন্দর নয়।

উত্তরগুলি সহায়ক হয়েছে, এবং কিছু ধরণের স্বল্প-বর্গক্ষেত্রের বহুপক্ষীয় ফিট সম্ভবত গ্রহণের পথ। একটি আনুমানিক টেলর সিরিজটি সাধারণ বহুবর্ষীয় ফিটের চেয়ে কী আলাদা করে তোলে, যদিও এটি হ'ল উচ্চতর অর্ডার শর্তগুলি ছাঁটাই করতে সক্ষম হওয়া উচিত এবং আপনার প্রাথমিক পয়েন্টটি সম্পর্কে একটি ছোট পরিসরের মধ্যে বহুবর্ষটি এখনও মূল ফাংশনটির আনুমানিক হওয়া উচিত।

সুতরাং সম্ভবত পদ্ধতির প্রাথমিক বিন্দুর নিকটবর্তী কেবলমাত্র ডেটা ব্যবহার করে একটি লিনিয়ার বহুবর্ষীয় ফিট করতে হবে, তারপরে আরও কিছুটা ডেটাযুক্ত চতুর্ভুজ ফিট, ঘনকটি খানিকটা বেশি ব্যবহার করে ইত্যাদি etc.

Comments

কিছু প্রশ্ন (যা প্রাসঙ্গিক বা নাও হতে পারে): নমুনা দিয়ে আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে ফাংশনটি কিছু Fs / 2 ফ্রিকোয়েন্সি নীচে ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ ছিল? আপনার নমুনাগুলি কি অসীম ফাংশন, পুনরাবৃত্তি ফাংশন, বা সম্পূর্ণ ফাংশনের একটি আয়তক্ষেত্রাকার উইন্ডো?

— হটপাউ

দিলীপ তার উত্তরে যেমনটি উল্লেখ করেছেন, টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ ব্যবহার করে আপনার সমস্ত নমুনা বিন্দুতে ফাংশনের ডেরাইভেটিভ সম্পর্কে জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। আমি মনে করি আপনি এর ডেরিভেটিভগুলির জন্য আপনার তাত্ত্বিক ভাবটি ব্যবহার করতে পারেন , তবে এটি আপনার তত্ত্বটি নিশ্চিত করতে একটি স্বতন্ত্র সিমুলেশন ব্যবহারের উপযোগিতা কিছুটা হ্রাস করে। উচ্চতর অর্ডার শর্তাবলীর সাথে টেলর সিরিজের আচরণকে সর্বোত্তমভাবে অনুকরণ করার জন্য, বহুবর্ষীয় ফিটগুলির বিবিধ আদেশগুলি ব্যবহার করে আপনি যে পরামর্শ দিয়েছেন তার মতো একটি পদ্ধতি কার্যকর হতে পারে। $y(x)$

— জেসন আর

Answer 1

সঠিক বহুবর্ষীয় ফিটিংয়ের পরিবর্তে, আপনি স্বল্প-বর্গক্ষেত্রের ফিট ব্যবহার করতে পারেন , যা নির্দিষ্ট অর্ডারের বহুপদী খুঁজে পাবে যা ফিট এবং মাপা জোড়াগুলির মধ্যে মোট স্কোয়ার ত্রুটি হ্রাস করে । এটি ফিটের উপর শব্দগুলির প্রভাব হ্রাস করতে সহায়তা করতে পারে।$(x_i,y_i)$

( ) ডোমেনের মান ফাংশনটির পরিমাপ দেওয়া , একটি বহুবচিক অর্ডার বেছে নিন (যদি , তবে আপনি ঠিক নীচে চলে যান) বহুবর্ষীয় ফিটিং, পয়েন্টগুলি স্বতন্ত্রভাবে একটি ম অর্ডার বহুপদী নির্ধারণ করে )। তারপরে, পছন্দসই বহুবর্ষীয় সহগ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম স্থাপন করুন :$y_i$$y = f(x)$$x_i$$i = 0, 1, \ldots , N$$M \le N$$M = N$$N$$M$$p_k$

$$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$$

পরিমাপকে ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর আকারে সাজিয়ে ন্যূনতম স্কোয়ার সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে:

$$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$$

সর্বনিম্ন-স্কোয়ার বহুপদী সহগ এর ভেক্টর উত্পন্ন করে যা উপরের রৈখিক ব্যবস্থায় মোট স্কোয়ার ত্রুটি হ্রাস করে। সমাধান হিসাবে গণনা করা যেতে পারে:$\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

$$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$$

উল্লেখ্য যে, ম্যাট্রিক্স মূল্য এছাড়াও হিসাবে পরিচিত হয় pseudoinverse ম্যাট্রিক্স । এরপরে আপনি চান এমন কোনও মানগুলিতে বহুবর্ষের মূল্যায়ন করতে আপনি সর্বনিম্ন-বর্গাকার বহুপদী গুণাগুণ ভেক্টর use ব্যবহার করতে পারেন ।$(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$$\mathbf{A}$$\mathbf{\tilde p}$$x$

Comments

ইক্যুইস্পিডড অ্যাবসিসাসের ক্ষেত্রে, এটি আপনার ডেটাতে স্যাভিটস্কি-গোলে স্মুথিং প্রয়োগ করা থেকে আলাদা নয়।

একটি সুন্দর উত্তরের জন্য প্লাস 1। এলএসই সত্যিই খুব সর্বব্যাপী।

— তারিন জিয়াআই

Answer 2

আপাতত আওয়াজ উপেক্ষা করুন।

প্রদত্ত পয়েন্ট যেখানে স্বতন্ত্র সংখ্যা, আপনি যেমনটি বলতে পারেন, এই পয়েন্টগুলির মাধ্যমে সর্বাধিক এ একটি বহুপদী ডিগ্রি ফিট করতে পারেন । উদাহরণস্বরূপ, ল্যাংরেজ অন্তরঙ্গকরণ এটি একটি মানক পদ্ধতি। তবে, এটি বিশ্বাস করা হয় যে পয়েন্টগুলি আসলে একটি বক্ররেখার যেখানে অগত্যা একটি বহুবর্ষ নয় (যেমন, এটি বা ইত্যাদি) এবং আপনি এই ফাংশনটির জন্য টেলর সিরিজটি খুঁজে পেতে চাই । ভাল, এর আশেপাশে এর জন্য টেলর সিরিজ বিকাশ করা $n+1$$(x_i,y_i)$$x_i$$f(x)$$n$$y=g(x)$$g(x)$$e^x$$(x+a)/(x+b)$$g(x)$$g(x)$$x=0$বলুন, এর মান এবং ডেরাইভেটিভসের মান এ যে সব পরিচিত হয় যখন মান হয় এ পয়েন্ট । এমনকি যদি কিছু যাতে পরিচিত হয়, এটা এখনও প্রয়োজনীয় হয় অনুমান জন্য$g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$$x=0$$g(x)$$n+1$$x_i$$x_i = 0$$i$$g(0)$ $g^{(k)}(0)$$k=1, 2, \ldots$

নির্বাচিত পয়েন্টগুলিতে এর মানগুলি থেকে এ ফাংশনটির ডেরিভেটিভসের মূল্য নির্ধারণের জন্য সংখ্যা বিশ্লেষণে একটি সু-অধ্যয়নিত সমস্যা, এবং ব্যবহৃত সূত্রগুলি সহজেই উপলব্ধ। কি না বিস্তারিতভাবে বর্ণনা, অথবা আরো সাধারণভাবে, এই সূত্রের সান্নিধ্যের মধ্যে সব সময়ে উল্লেখ না, যে এই সূত্র দ্বারা প্রাপ্ত হয় একটি বহুপদী ঝুলানো পরিচিত পয়েন্ট এবং আনুমানিক হিসাব হিসাবে । অন্য পন্থা বলো,$g(x)$$x=0$$g(x_i)$$h(x)=\sum_k h_kx^k$$g^{(k)}(0)$$h^{(k)}(0) = k!h_k$

থেকে পয়েন্ট এর , তখন আমরা টেলর সিরিজ বিকশিত করতে পারেন কেবল ডিগ্রী মেয়াদ , এবং ছেঁটে ফেলা টেলর সিরিজ শুধু , বহুভুজ যা পয়েন্টের সাথে ফিট ছিল ।$n+1$$(x_i,g(x_i))$$g(x)$$g(x)$$n$$h(x)$$n+1$

সুতরাং, একটি বহুবর্ষ ফিটিং মানে কি? স্ট্যান্ডার্ড ফিট হ'ল লরেঞ্জ ইন্টারপোলেশন যা কোনও গোলমাল না হলে ভাল কাজ করে, পয়েন্টগুলি সমানভাবে হয়, এবং হল এর মাঝারি মান । যদি গোলমাল উপস্থিত থাকলে, একটি লিস্ট স্কোয়ারগুলির ডিগ্রী একটি বহুপদী উপযোগীতা (দেখুন JasonR দ্বারা উত্তর বিস্তারিত জানার জন্য) প্রায়ই ভাল, এবং আমরা উপস্থ সঠিকতা জোর দেওয়া করতে চান তাহলে , একটি ভরযুক্ত least- স্কোয়ার ফিট ব্যবহার করা যেতে পারে। দূরত্বে থেকে ত্রুটি শর্তের চেয়ে এর আশেপাশের পয়েন্টগুলি থেকে ত্রুটির শর্তাদি ওজন হ্রাসকরণ অ্যালগরিদমকে কাছাকাছি আরও ভাল ফিট তৈরি করতে বাধ্য করে$x_i$$0$$x_i$$m < n$$x=0$$0$$0$ দরিদ্র নির্ভুলতার ব্যয়ে থেকে দূরে । অবশ্যই, এমন একজনকে nayayers যারা পৃথক ওজনকে (বা কোনও ওজনই না) পছন্দ করে তাদের বিরুদ্ধে ওজনীয় ফাংশনের পছন্দকেও রক্ষা করতে হবে।$0$

উদাহরণ: প্রদত্ত পয়েন্ট , Lagrange, ক্ষেপক সূত্র দেয় যেখানে এবং এর "তিনটি -point "প্রথম এবং দ্বিতীয় ব্যুৎপন্ন জন্য সূত্র ছক Abramowitz এবং Stegun এর 25.2 দেওয়া গাণিতিক ফাংশন এর হ্যান্ডবুক, যে Lagrange, ক্ষেপক সূত্র হল একটি ফাংশন জন্য ছেঁটে ফেলা টেলর সিরিজ যেমন যে ।$3$$(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

$$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$$ $x$$x^2$$g(x)$$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$