বিলিনিয়ার ট্রান্সফর্মের বিকল্প আছে?

অ্যানালগ ফিল্টারের উপর ভিত্তি করে ডিজিটাল ফিল্টার ডিজাইন করার সময় আমরা সাধারণত বিলিনিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করি । একটি বিযুক্ত স্থানান্তর ফাংশন আনুমানিক করার এনালগ থেকে (ক্রমাগত) স্থানান্তর ফাংশন আমরা বিকল্প $D_a(z)$ $A(s)$

z = \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2}

$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$

যেখানে নমুনার সময়কাল। বিকল্পভাবে, পৃথক স্থানান্তর ফাংশন আমরা স্থানান্তর ক্রিয়াকলাপ পারি $T$ $A_a(s)$ $D(z)$

s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}

$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$

এই জাতীয় রূপান্তর সম্পাদনের বিকল্প পদ্ধতি আছে কি? আরও ভাল অনুমান আছে?

continuous-signals discrete-signals transfer-function

— Phonon- র
সূত্র

এনলগ ফিল্টারগুলি স্থিতিশীল হয় যদি মেরুগুলি এস-প্লেনের বাম অর্ধেক অংশে থাকে (বাম দিকে চিত্র) এবং খুঁটিগুলি ইউনিট বৃত্তের (ডানদিকে চিত্র) ভিতরে থাকে তবে ডিজিটাল ফিল্টারগুলি স্থিতিশীল থাকে। সুতরাং গাণিতিকভাবে অ্যানালগ থেকে ডিজিটাল রূপান্তর করার জন্য যা দরকার তা হ'ল একটি ম্যাপিং (কনফর্মাল?) অর্ধ-স্থান থেকে ইউনিট ডিস্কে এবং অক্ষটি ইউনিট বৃত্ত । যে কোনও রূপান্তর যা এটি করে দ্বিপক্ষীয় রূপান্তরের বিকল্প হওয়ার সম্ভাব্য প্রার্থী। $\jmath\Omega$ $\vert z\vert=1$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

সুপরিচিত দুটি পদ্ধতির নাম হ'ল ইমালস ইনভেরিয়েন্স পদ্ধতি এবং ম্যাচযুক্ত জেড-ট্রান্সফর্ম পদ্ধতি । ধারণাগতভাবে, এই দুটিই একটি ধ্রুবক তরঙ্গরূপের নমুনা দেওয়ার মতো যা আমরা পরিচিত। by এবং জেড রূপান্তরকে জেড as হিসাবে রূপান্তরিত উল্টো ল্যাপ্লেসকে চিহ্নিত করে , এই দুটি পদ্ধতিই এনালগ ফিল্টারের আবেগ প্রতিক্রিয়া হিসাবে গণনা করে $\mathcal{L}^{-1}$ $\mathcal{Z}$

a (t) = L^{- 1} {A (s)}

$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$

এবং নমুনা বিরতি নমুনা দেওয়া যা পর্যাপ্ত পরিমাণে যাতে আলিয়াসহ এড়াতে পারে। ডিজিটাল ফিল্টারের স্থানান্তর ফাংশন তারপর নমুনা ক্রম থেকে প্রাপ্ত হয় যেমন $a(t)$ $T$ $a[n]$

D_{a} (z) = Z {a [n]}

$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$

তবে দুজনের মধ্যে মূল পার্থক্য রয়েছে।

আবেগ চালিত পদ্ধতি:

এই পদ্ধতিতে, আপনি অ্যানালগ স্থানান্তর ফাংশনটিকে আংশিক ভগ্নাংশ হিসাবে প্রসারিত করুন ( পিটারের সাথে উল্লিখিত মিলিত জেড ট্রান্সফর্মটিতে নয় ) হিসাবে

A (s) = \sum_{m} \frac{C_{m}}{s - α_{m}}

$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$

যেখানে কিছু ধ্রুবক এবং হচ্ছে খুঁটি। গাণিতিকভাবে, ডিনোমিনেটরের চেয়ে কম ডিগ্রীর একটি সংখ্যার সাথে যে কোনও স্থানান্তর ফাংশন আংশিক ভগ্নাংশের যোগ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে । কেবলমাত্র লো-পাস ফিল্টারগুলি এই মানদণ্ডটি পূরণ করে (উচ্চ-পাস এবং ব্যান্ডপাস / ব্যান্ডস্টপ কমপক্ষে একই ডিগ্রি থাকতে পারে), এবং তাই অন্য ফিল্টারগুলি ডিজাইনের জন্য প্ররোচিত আক্রমণকারী পদ্ধতি ব্যবহার করা যায় না। $C_m$ $\alpha_m$

এটি ব্যর্থ হওয়ার কারণটিও বেশ স্পষ্ট। ডিনোমিনেটরের মতো একই ডিগ্রিটির সংখ্যায় যদি আপনার বহুভুজ থাকে, তবে আপনার একটি মুক্ত স্থায়ী ধ্রুবক শব্দ থাকবে, যা বিপরীত রূপান্তরকরণের পরে, একটি বদ্বীপ ফাংশন দেবে যা নমুনা দেওয়া যায় না।

যদি আপনি বিপরীত ল্যাপ্লেস এবং ফরোয়ার্ড জেড ট্রান্সফর্মগুলি পরিচালনা করেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে মেরুগুলি হিসাবে as রূপান্তরিত হয়েছে যার অর্থ যদি আপনার অ্যানালগ ফিল্টার স্থিতিশীল হয় তবে ডিজিটাল স্থিতিশীল থাকবে । সুতরাং এটি ফিল্টার স্থিতিশীলতা সংরক্ষণ করে। $\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

মিলেছে জেড-ট্রান্সফর্ম

এই পদ্ধতিতে, অনুপ্রবেশের প্রতিক্রিয়াটিকে আংশিক ভগ্নাংশ হিসাবে বিভক্ত করার পরিবর্তে, আপনি মেরু এবং জিরো উভয়কে manner এবং হিসাবে একই রূপে (মিলিয়ে) একটি সাধারণ রূপান্তর করেন (স্থিতিশীলতা ), দিচ্ছে $\beta_m\to e^{\beta_m T}$ $\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

A (s) = \frac{\prod_{m} (s - β_{m})}{\prod_{n} (s - α_{n})} ⟶ \frac{\prod_{m} (1 - z^{- 1} e^{β_{m} T})}{\prod_{n} (1 - z^{- 1} e^{α_{n} T})}

$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$

এই দুটি পদ্ধতির সীমাবদ্ধতা আপনি সহজেই দেখতে পাবেন। ইমপালস ইনগ্রায়েন্ট কেবল তখনই প্রযোজ্য যদি আপনার ফিল্টারটি কম পাস হয় এবং ম্যাচযুক্ত জেড-ট্রান্সফর্ম পদ্ধতিটি ব্যান্ডস্টপ এবং ব্যান্ডপাস ফিল্টারগুলিতে প্রযোজ্য (এবং নাইকুইস্ট ফ্রিকোয়েন্সি পর্যন্ত উচ্চ পাস)। তারা নমুনা হার দ্বারা অনুশীলনেও সীমাবদ্ধ (সর্বোপরি, আপনি কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টে যেতে পারেন) এবং এলিয়াসিংয়ের প্রভাবগুলিতে ভোগেন।

বিলিনিয়ার ট্রান্সফর্মটি বাস্তবে বাস্তবে সর্বাধিক ব্যবহৃত পদ্ধতি এবং উপরের দুটিটি একাডেমিক স্বার্থের জন্য আরও বেশি। অ্যানালগে ফিরে রূপান্তর হিসাবে, আমি দুঃখিত তবে আমি জানি না এবং সেখানে খুব বেশি সহায়ক হতে পারে না কারণ আমি খুব কমই এনালগ ফিল্টার ব্যবহার করি।

— Lorem Ipsum
সূত্র

বাহ বাহ ..... এই বিষয়টিতে আমি এটি দেখলাম সেরা ব্যাখ্যা। ভাগ করে নেওয়ার জন্য অনেক ধন্যবাদ. সুন্দর কাজ.

বেসেল ফিল্টারগুলির জন্য ম্যাচযুক্ত জেড ট্রান্সফর্মটি আরও ভাল কারণ বেসেল ফিল্টারগুলির গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হ'ল তাদের ফ্ল্যাট গ্রুপ দেরি, তাদের ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নয়

— এন্ডোলিথ

থেকে পর্যন্ত ম্যাপিং করার অনেকগুলি উপায় রয়েছে । নিয়ন্ত্রণ সম্প্রদায় কিছু জিনিস এটা সম্পর্কে বলার আছে। $s$ $z$

কয়েকটি উদাহরণ হ'ল:

ম্যাচযুক্ত জেড-ট্রান্সফর্ম

এখানে, ডোমেন স্থানান্তর ফাংশনটি আংশিক ভগ্নাংশ প্রসারণ হিসাবে লেখা হয়েছে: $s$

Y (s) = \frac{a_{0}}{s + s_{0}} + \frac{a_{1}}{s + s_{1}} + . . .

$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$

এবং আংশিক ভগ্নাংশ প্রসারণের প্রতিটি অংশের রূপান্তর সরাসরি ব্যবহার করে করা হয়:

s + s_{n} = 1 - z^{- 1} \exp (- s_{n} T)

$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$

সিম্পসন এর বিধি

বিলিনিয়ার ট্রান্সফর্মের একটি ব্যাখ্যা হ'ল এটি ট্র্যাপিজয়েডাল রুল ব্যবহার করে আনুমানিক সংহতকরণ দ্বারা অবিচ্ছিন্ন থেকে পৃথক সময় থেকে রূপান্তর করার একটি উপায় ।

আনুমানিক সংহতকরণের জন্য আরও সঠিক কৌশলটি সিম্পসনসের বিধি ব্যবহার করে। যদি এই আনুমানিক ব্যবহার করা হয় তবে ফলস্বরূপ ম্যাপিংটি হ'ল:

s = \frac{3}{T} \frac{z^{2} - 1}{z^{2} + 4 z + 1}

$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$

— পিটার কে
সূত্র

সিম্পসনের নিয়ম, মূলত চতুষ্কোণ প্রবাহ (যেখানে ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম লিনিয়ার)?

— পিটার মর্টেনসেন

@ পিটার মর্টেনসেন: হ্যাঁ, বেশ!

— পিটার কে।

আপনার মিলিত জেডটি কি লরেম ইপসামের থেকে আলাদা? আমি অন্য কোথাও আংশিক ভগ্নাংশের ক্ষয় দেখতে পাচ্ছি না।

— এন্ডোলিথ

@endolith আমার উত্তরে উইকিপিডিয়া লিঙ্কটি দেখুন। আমি এখান থেকে পেয়েছি। 😂 আমি লরেমের আগে উত্তর দিয়েছি, এবং এটি সম্পাদনা করি নি।

— পিটার কে।