জটিল এক্সফোনেনশিয়ালগুলি কি এলটিআই সিস্টেমগুলির একমাত্র কর্মক্ষেত্র?

12

সেখানে একটি রৈখিক সময় পরিবর্তিত (LTI) সিস্টেম যে একজন eigenfunction একটি উদাহরণ না একটি জটিল সূচকীয়? জাস্টিন রোমবার্গের ইগেনফিউশনস অফ এলটিআই সিস্টেমস বলে যে এই জাতীয় ইগনফিউকশন রয়েছে, তবে আমি এর সন্ধান করতে পারছি না।

linear-systems theory eigendecomposition

— বিনোদ
সূত্র

9

একটি এলটিআই সিস্টেমের সমস্ত ইগেনফিউশনগুলি জটিল তদন্তের ক্ষেত্রে বর্ণিত হতে পারে এবং জটিল এক্সপেনশনালগুলি সিগন্যাল স্পেসের সম্পূর্ণ ভিত্তি তৈরি করে। যাইহোক, যদি আপনি যে একটি সিস্টেম আছে অধ: পতিত , যার অর্থ আপনি মাত্রা> 1 এর eigensubspaces তারপর সংশ্লিষ্ট eigenvalue subspace থেকে ভেক্টর সব রৈখিক সমন্বয় হয় eigenvectors আছে। এবং বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সিগুলির জটিল ক্ষতিকারক রৈখিক সংমিশ্রণগুলি এখন আর জটিল এক্সপেনশেনশিয়াল নয়।

খুব সাধারণ উদাহরণ: এলটিআই সিস্টেম হিসাবে পরিচয় অপারেটর 1-এ ইগেনাল্যুয়েজ 1 সহ ইগেনসস্পস্পেস হিসাবে পুরো সিগন্যাল স্পেস রয়েছে That এতে বোঝা যায় সমস্ত ফাংশন ইগেনফিউশনস।

— Jazzmaniac
সূত্র

1

অবশ্যই নাল ফাংশন ব্যতীত :) কেবল মজা করছি

— লরেন্ট ডুভাল

1

$\operatorname{sinc}$

sinc (টি) ≜ \frac{পাপ (π টি)}{π টি}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— সিএসআর
সূত্র

2

এটি বরং বিপরীত: নিয়মটি হল যে এলটিআই সিস্টেমগুলিতে ইজেনস্পস্পেসগুলি হ্রাস করা যায় এবং সেইজন্য ইগেনভেেক্টরগুলি যেগুলি জটিল ক্ষতিকারক নয়। আসল আউটপুট সহ একটি সিস্টেম বিবেচনা করুন। তারপরে , যার অর্থ যদি আসল এবং তবে আপনার ইতিমধ্যে একটি দ্বিমাত্রিক ইয়েজেনসস্পেস রয়েছে এবং আসল সাইনটি আইজেনভেেক্টর। এর অর্থ এমন কোনও এলটিআই সিস্টেম যার একটি পর্যায়ের প্রতিক্রিয়া রয়েছে যা জন্য একাধিক হয়ে যায় । ব্যতিক্রমের চেয়ে নিয়মটিই এটি।

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— জাজমানিয়াক

1

প্রকৃতপক্ষে, কোনও খাঁটি সূচকটি একটি এলটিআই সিস্টেমে একটি স্বভাবজাত কাজ। আপনি যদি দ্রুত পরিমাণের পরিমাণের সাথে যোগাযোগ করতে আপত্তি করেন না , তবে সূচকীয় জটিল বা আসল হওয়ার জন্য কোনও তাত্ত্বিক প্রয়োজন নেই ।

\infty

$\infty$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন 21

1

আমি জানি আমি আপনার উত্তর সম্পাদনা করেছি (শব্দার্থবিজ্ঞানের সাথে এটি আরও স্পষ্ট এবং আরও সঠিক করে তুলতে) তবে আপনার উত্তরটি ভুল হয়েছে। হয় না একটি সাধারণ LTI সিস্টেমের জন্য একটি সাধারণ eigenfunction। এটা হল যে আছে নির্দিষ্ট LTIs জন্য একটি eigenfunction কিন্তু অন্যরা জন্য নয়।

sinc (টি) ≜ \frac{পাপ (π টি)}{π টি}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন 21

1

স্পষ্টতই "আপনি যদি পরিমাণের সাথে দ্রুত aching" কাছে পৌঁছাতে আপত্তি করেন না তবে "সিগন্যাল স্পেস যা সাধারণত বিবেচিত হয় ... স্কয়ার ইন্টিগ্রেটেবল ফাংশনের অনমনীয় হিলবার্ট স্পেস" এর মত নয়। আমি যা বলছি তা হল যদি আপনার ইনপুট হয় তবে আপনার আউটপুট (যেখানে ল্যাপ্লেস হয় এলটিআই আবেগ প্রতিক্রিয়া রূপান্তর । আমার কাছে ইগনফানশনের মতো দেখাচ্ছে। তবে আপনি সিএসআরের স্পেসিফিকেশন সম্পর্কে সঠিক।

এক্স (টি) = ই^{গুলি টি}

$x(t) = e^{st}$

Y (টি) = এইচ (গুলি) \cdot এক্স (টি)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন 19

1

@ ফ্যাট 32, একটি ভাল আচরণের ফাংশন স্থান দাবি করা স্থায়িত্বের পক্ষে নয় এবং এটি অপ্রয়োজনীয় বা স্বেচ্ছাচারিতা থেকে দূরে। সিগন্যাল প্রক্রিয়াকরণ তত্ত্বের বেশিরভাগ দরকারী ফলাফল ভাল আচরণ করা সংকেত ফাঁকা জায়গাগুলির উপর নির্ভর করে। বর্ণালী উপপাদ্য ( en.wikedia.org/wiki/Spectral_theorem ) বিশেষত দরকারী , এবং এই উপপাদ্যের জন্য নির্দিষ্ট ফাংশন স্থান প্রয়োজন, যার মধ্যে সম্ভাব্য পছন্দ। আপনি যদি এই গাণিতিক কাঠামোটি প্রয়োগ করতে চান (এবং আমাকে বিশ্বাস করুন, আপনি চান), তবে আপনি যে সিগন্যালগুলিকে ইগেনসাইনাল হিসাবে প্রস্তাব করেছেন তা আপনি গ্রহণ করতে পারবেন না।

L^{2}

$L^2$

— জাজমানিয়াক

0

আমি ভেবেছিলাম আমি আমার প্রতিক্রিয়াটি পরিষ্কার করে দিয়েছি --- দৃশ্যত :-) নয়। মূল প্রশ্নটি ছিল, "একটি এলটিআই সিস্টেমের জন্য জটিল ক্ষতিকারক ছাড়াও কি আইজিএনজাইনাল রয়েছে?" উত্তরটি হল, যদি সিস্টেমটি এলটিআই হ'ল তবে অন্য কোনও কিছুই জানা যায় না, তবে কেবলমাত্র স্বীকৃত ইগনেসাইনালই হ'ল জটিল তদন্তকারী। নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, সিস্টেমে অতিরিক্ত অতিরিক্ত আইজিন সিগন্যালও থাকতে পারে। আমি যে উদাহরণ দিয়েছি তা হ'ল আদর্শ এলপিএফ সহ এমন একটি ইজেনসিগনাল। নোট করুন যে সিন্স ফাংশনটি একটি স্বেচ্ছাসেবী এলটিআই সিস্টেমের একটি ইজেনজিনাল নয়। আমি এলপিএফ এবং সিনকে একটি তুচ্ছ মামলার উদাহরণ হিসাবে উদাহরণ দিয়েছি --- x (টি) = y (টি) একজন গণিতবিদকে সন্তুষ্ট করবে তবে ইঞ্জিনিয়ার নয়: ->। আমি নিশ্চিত যে জটিল ক্ষতিকারক ছাড়াও অন্যান্য নির্দিষ্ট অ-তুচ্ছ উদাহরণের সাথে ইজিঞ্জিনাল হিসাবে অন্যান্য সংকেত থাকতে পারে।

এছাড়াও, কোস এবং পাপ সাধারণভাবে, আইজিন সিগন্যাল নয়। যদি কোস (ডাব্লুটি) প্রয়োগ করা হয় এবং আউটপুটটি কোস (ডাব্লুটি + থিটা) হয়, তবে এই আউটপুটটি ধ্রুবক বার হিসাবে ইনপুট হিসাবে প্রকাশ করা যায় না (বাদে থিটা 0 বা পাই বা এ = 0), যা শর্ত সিগন্যালটি আইজিন সিগন্যাল হওয়ার জন্য প্রয়োজন। এমন শর্ত থাকতে পারে যার অধীনে কোস এবং পাপ আইজিন সিগন্যাল, তবে এগুলি বিশেষ ক্ষেত্রে এবং সাধারণ নয়।

সিএসআর

— সিএসআর
সূত্র

আপনি কি নিশ্চিত যে আপনি আমার উত্তরটি আপনার অন্য উত্তরে বুঝেছেন? মুল বক্তব্যটি হ'ল আসল এলটিআই সিস্টেমগুলির জন্য এটি ইজেনসিনগাল হিসাবে আসল সাইন থাকার আশা করা যায়। এর অর্থ এই নয় যে সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সমস্ত সাইনগুলি আইজেনসাইনাল। আমি স্পষ্টতই সুনির্দিষ্ট শর্তটি দিয়েছিলাম যার জন্য তারা এ জাতীয়, এবং কেন এই শর্তটি বেশিরভাগ এলটিআই সিস্টেমের দ্বারা পূরণ করা হয় তা ব্যাখ্যা করেছি।

— জাজমানিয়াক

এছাড়াও, ভুলে যাবেন না যে আপনি অর্থটি কিছুটা পরিবর্তন করতে আপনার উত্তর সম্পাদনা করেছেন। "একটি যৌক্তিক স্থানান্তর ফাংশনের জন্য অন্য কোনও আইজিন সিগন্যাল নেই" থেকে "স্বেচ্ছাচারী সিস্টেমগুলির জন্য সাধারণ ইগেন সিগন্যাল ছাড়াও নেই .." থেকে নেওয়া পদক্ষেপটি বেশ বড়। সুতরাং লোকেরা আপনার প্রতিক্রিয়াটি সঠিকভাবে বুঝতে পারে নি এমনভাবে লাগিয়ে দেওয়া কিছুটা।

— জাজমানিয়াক

0

বৃত্তাকার প্রতিসাম্য সহ লেন্সগুলির মতো স্থানিকভাবে অদম্য বহুমাত্রিক বস্তু। একে ফুরিয়ার বেসেল এক্সপেনশন বলা হয়। সময়ের জন্য কোনও টি নেই তবে কনভোলশন ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন সম্পর্ক ধরে